Физика / 8._________
.pdf
В.М.Клименко. Магнетизм 193
Глава ІІ. Магнетизм
§ 33. Визначення магнітного поля
1. Магнітне силове поле
При виникненні в провіднику електричного струму, в його околиці виникає силове поле, яке діє на рухомі заряди та інші провідники із струмом. Таке силове поле одержало назву магнітного. По своїй природі магнітні силові поля існують і в околиці деяких середовищ, що мають назву магнетиків. На сьогодні визначено, що магнітне поле - це результат кулонівської взаємодії зарядів, що рухаються.
2. Магнітний момент плоского контуру із струмом.
Для визначення силових характеристик магнітного поля, можна ввести пробний пристрій на зразок пробного заряду qo, який застосовується для вивчення електричного поля. Таким пристроєм є магнітний контур. Це може бути, наприклад, мала прямокутна рамка площею S із сталим
струмом I. |
Характеристикою контуру із струмом є |
|
|
r |
|
магнітний момент P , що визначається так |
||
r |
r |
(1) |
P = nSI , |
||
де вектор nr − одиничний додатній вектор нормалі до поверхні S, із кінця якого напрямок струму в контурі буде проти годинникової стрілки. Малість плоского контура полягає у тому, що його розміри малі у порівнянні з вдстанями від нього до джерел магнітного поля (наприклад, струмів).
3. Індукція магнітного поля. |
|
|
Внесення контуру в магнітне |
поле викликає появу механічного |
|
r |
|
|
моменту сил M , що діють на нього. Силовою характеристикою поля є вектор |
||
індукції магнітного поля В, який визначається із виразу |
||
r |
rr |
(2) |
M =[PB]. |
||
Орієнтуючи контур у просторі, можна знайти максимальне значенняr величини моменту сили Мmax і тим самим визначити величину вектора B так
|
В = Mmax/P. |
(3) |
||
Одиницею вимірювання індукції є тесла |
|
|||
|
[B] = |
H |
= Tл. |
|
r |
A м |
|||
|
|
|||
За напрямок B |
приймається напрямок магнітного моменту в положенні, |
|||
|
r |
|
|
|
коли величина моменту сили M дорівнює нулю.
В.М.Клименко. Магнетизм 194
|
4. Силові лінії магнітного поля. |
|
Графічно магнітне поле зображується за допомогою силових ліній, які |
мають такі властивості: |
|
r |
• силові лінії є замкнені, а їх напрямок збігається з напрямком індукції |
B , який можна визначити пробним контуром,r
• у кожній точці силової лінії вектор B направлений по дотичній до силової лінії,
• силові лінії не перетинаютьсяr, бо у противному в точці перетину, за наявністю двох дотичних, напрямок B був би не визначеним,
• густина силових ліній γ = dN у площині dS , нормальній до них, dS r
чисельно дорівнює величині індукції B
В=γ. (4)
Силові лінії магнітного поля можнаr проявити за допомогою залізних опилок, які мають магнітний момент p , як це показано на Мал.26а для колового
струму, Мал.26б для соленоїда-котушки з струмом та на Мал.26в силові лінії плоского магніта. У магніта силові лінії виходять із північного магнітного полюса N та входять в південний магнітний полюс S.
Замкненість силових ліній відображає той факт, що досі не знайдено магнітних "зарядів" (монополів Дірака), як джерел магнітного поля. При діленні магніта на дві частини його полюси не розділяються.
Зауваженняr . На заряджену частинку із зарядомr q, що рухається з швидкістюr rVr, у магнітному полі з індукцією B буде діяти лоренцівська сила F = q[VB] , яка буде спрямляти її рух перпендикулярно до силовій
лінії.
Приклад 1. В однорідне магнітне поле з індукцією 10 Тл помістили квадратну рамку із стороною а=5 см. Вектор індукції В утворює з вектором нормалі до площини рамки кут α=600. Визначить обертовий момент сили, що діє на рамку, якщо в ній протікає струм І=2 А.
Дано: В=10 Тл, а=5 см, α=600, I= 2 A, М-?
В.М.Клименко. Магнетизм 195
r r r
Розв′язок. P=IS=Ia2, M= Ia2Bcosα, M =[ P B ], M=PBcosα Підставивши відповідні значення величин, одержимо M=25 мН м
§34. Закон Бiо - Савара – Лапласа
1.Закон Бiо - Савара - Лапласа.
Біо та Савар експериментально дослідили величину індукції магнітного
поля dВ, створеного елементом електричного струму dl, а Лаплас узагальнив ці дослідження, зв’язавши відповідні величини у витончену формулу
r |
I [drl vr] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dB = k |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
µo |
|
|
|
|
Гн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k = |
=10−7 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
м рад |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а |
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Гн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µo = 4π 10−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
є магнітна стала, rr радіус-вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
положення |
точки спостереження |
||||||||||||||||
відносно елемента струму drl , І сила струму в провіднику. Напрямок |
drl |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
rr |
|
|
задається напрямком струму. Вектор dB ||[dl r] , |
||||||||||||||||
|
як векторний добуток двох векторів, є вектор |
||||||||||||||||
|
площині, яку вони утворюють, і направлений |
||||||||||||||||
|
так, що з його кінця поворот вектора drl до rr |
||||||||||||||||
|
найкоротшим |
|
|
|
шляхом |
|
видно |
проти |
|||||||||
|
годинникової |
|
стрілки |
(див.Мал.27). Величина |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора dB дорівнює |
I dl sin α |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dB = k |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Із закону Біо-Савара-Лапласа випливає |
|||||||||||||||
|
принцип суперпозиції, який визначає, що |
||||||||||||||||
r |
магнітне поле, створене декількома струмами, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
має індукцію B , яка визначається векторною сумою N індукцій |
Bi , |
||||||||||||||||
створених кожним струмом Ii окремо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
i=N r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = ∑ Bi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо взяти деякий провідник із струмом, то індукція магнітного поля в |
||||||||
точці, що визначається вектором r, тепер може бути записана у вигляді |
||||||||
r |
r |
2 |
I [drl |
vr] |
|
|
||
B = ∫ dB = ∫ k |
|
|
|
|
, |
(2) |
||
r |
3 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
В.М.Клименко. Магнетизм 196
де інтеграл береться по заданій довжині провідника із струмом з точки 1 до точки 2.
У магнітних середовищах, у порівнянні з вакуумом, величина індукції |
||
r |
збільшується в µ разів і становить |
|
магнітного поля B0 |
||
|
r |
r |
|
B =µB0 . |
|
Коефіцієнт µ називається магнітною проникливістю середовища. |
||||
r |
|
|
|
|
Індукція B є силовою характеристикою магнітного поля. Для зручності |
||||
розрахунків інших rхарактеристик поля введено |
r |
|||
поряд з індукцією B ще |
||||
напруженість поля H , яка визначається так |
|
|||
r |
r |
|
|
|
B |
|
|
||
H = |
|
. |
(3) |
|
µµ0 |
||||
|
|
|
||
Нижче буде докладніше розглянуто визначення та зміст напруженості магнітного поля.
Магнітне поле заряду, що рухається.
Струм
|
|
|
I = dQ |
= q dN |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в елементі провідника |
dl |
|
створюють dN |
електронів |
r |
із |
зарядом |
q=е, які |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||
рухаються з дрейфовою швидкістю V , причому |
|
dl = Vdt . За законом Біо - |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
Савара - Лапласаrці dN електронів створюють індукцію dB |
магнітного поля, |
|||||||||||||||||||||||||||||
а тому індукція B0 поля, створеного одним зарядом, може бути обчислена |
||||||||||||||||||||||||||||||
так |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||
|
I [dl |
r] |
|
|
|
|
dN [dl |
r] |
|
|
[ V |
r] |
|
|
|
|
||||||||||||||
dB = k |
|
|
|
|
|
|
= kq |
|
|
|
|
|
|
|
|
= kq |
|
|
|
|
dN = B0dN , |
|
||||||||
r |
3 |
|
|
|
|
dt |
r |
3 |
|
r |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dB |
, |
|
[ V |
r] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
B0 |
= |
|
|
|
|
|
B0 = kq |
r3 |
. |
|
|
|
|
(5) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
dN |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приклад 1. Радіус-вектор положення протона задається проекціями на |
||||||||||||||||||||||||||||||
осі декартових |
координат |
|
у |
|
вигляді |
rr |
={2t;4;5t 2 }. |
Знайти |
індукцію |
|||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магнітного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B0 , що створюється протоном у точці А з радіус-вектором |
||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ={5t 2 ;3t;4t 2 } у момент часу t=2 c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Знайдемо радіус-вектор r положення точки А відносно протона |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
={5t 2 |
− 2t;3t − 4;−t 2 }. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
r |
= R |
|
− r |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Знайдемо швидкість протона |
|
drr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
0 |
|
= |
{2; 0;10 t} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Розрахуємо векторний добуток
|
|
|
|
|
В.М.Клименко. Магнетизм |
|
|
|
|
|
197 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
ri |
rj |
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
10t |
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[Vr] = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5t2 − 2t 3t-4 -t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
rr |
r |
|
0 |
|
10t |
|
|
|
r |
|
|
2 |
|
10t |
|
|
r |
|
2 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
[Vr] = i |
3t-4 -t2 |
|
|
− j |
|
5t |
2 −2t |
|
-t2 |
|
+ k |
|
5t 2 −2t 3t-4 |
|
. |
||||||||||
|
|
rr |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
− 4) . |
||||
|
|
[Vr] |
= i 10t(4 |
−3t) + j (2t |
2 +10t2(5t − 2)) + k 2(3t |
||||||||||||||||||||||
4. Розрахуємо значення векторного добутку в t=2 с |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
rr |
r |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[Vr] = −i |
40 + j 328 |
+ k 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Знайдемо величину векторного добутку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
rr |
402 + 3282 + 42 |
= |
109200 =330,4542 м2 / c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
[Vr] = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. Обчислимо модуль вектора r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
rr(t = 2c) ={16;2; − 4}, |
rr = |
162 + 22 + 42 |
= |
276 =16,61 м |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 = 4585.26 м2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Обчислимо величину індукції магнітного поля протона, що рухається |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
[ V r] |
|
=10−7 |
1.6 10−19 |
|
330.45 |
|
|
|
=1.15 10−27 Тл. |
|||||||||||||||
|
|
B0 = kq |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4585.26 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
§ 35. Магнітне поле деяких провідників із струмами
r
Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для визначення індукції B магнітного поля, створюваного деякими провідниками з струмом.
1. Магнітне поле прямого провідника із струмом.
Позначимо необхідні для розрахунку величини так, як це видно на Мал. 4, зробивши декілька зауважень. Точка спостереження А визначається радіус-вектором r відносно елемента струму dl, що направлений
до точки А. |
r |
r |
|
|
dl, |
||
Векторний добуток [dl |
r], для будь-якого |
||
задає напрямок dB по |
дотичній до кола |
з |
|
радіусом b, де b відстань точки А до струму. Площина кола струму. З точки А елемент dl видно під кутом dα, а кінці провідника із струмом утворюють із відповідними векторами rr кути α1 та α2’ . Через drr позначено довжину, опущеного з кінця drl на вектор rr . Для
визначення величини dB зробимо очевидні розрахунки, використовуючи геометрію Мал.28,
В.М.Клименко. Магнетизм 198
r |
r |
|
|
|
||
|[dl r]|= dl rsin α, sinα = b/r |
|
|
||||
|
dl = dr/sinα,dr = r dα. |
r |
r |
r |
||
|
|
|
|
|||
Підставивши ці значення у формулу Біо-Савара-Лапласа dB = kI [dl r]/ r3 , |
||||||
одержимо |
|
I |
|
|
|
|
dB = k |
sin α dα. |
(1) |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
b |
|
|
|
|
Для визначення величини індукції В в точці А за принципом суперпозиції,
проведемо інтегрування dB по змінній |
α |
у межах |
від |
α1 |
до |
α'2 |
|||||
(див.Мал.28) |
α'2kIsin α dα, B = k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B = 1 |
I |
(cos α1 −cos α'2 ). |
(2) |
|
|
|
|||||
b |
|
|
|
||||||||
b |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо зробити заміну α'2 |
= π − α2 , де |
|
α2 |
кут суміжний |
куту |
α'2 , |
то |
||||
одержимо для короткого провідника |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
B = k |
I |
(cos α1 + cos α2 ). |
(3) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
У випадку нескінченно великого провідника (b << довжини провідника L) кути α1,α2 →0 і тоді
|
|
|
B∞ = k |
2I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Магнітне поле колового струму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Нехай по провіднику у вигляді кола |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
радіуса R тече струм І. Визначимо за |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
допомогою закону Біо - Савара - Лапласа |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
індукцію магнітного поля В на осі контуру |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
в точці А, що створюється цим струмом |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(див Мал. 29). Виділимо два симетричних |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
відносно центру кола елементи струму drl |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
та drl ' , |
які |
r |
створюють відповідні вектори |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
|
|
r |
Ці |
вектори |
можна |
||||||
|
|
|
|
індукції dB |
|
dB' . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
та |
розкласти на складові вздовж ( ) та поперек ( ) осі контуру dB|| ,dB'|| |
|||||||||||||||||||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
dB ,dB' . Індукція B визначається векторною сумою dB по всім dl |
. З |
||||||||||||||||||||||
малюнка видно, |
що ця |
сума |
складається |
|
попарно |
із сум поперечних |
|||||||||||||||||
антипаралельних |
складових |
|
r |
|
r |
|
|
які |
|
|
взаємно |
знищуються |
та |
||||||||||
dB |
|
,dB' |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
паралельних складових dB|| ,dB'|| , тобто їх сума і є величиною індукції. За |
|||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напрямком вектор B направлений вздовж осі контуру. Із малюнка видно, що |
|||||||||||||||||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kIdl |
|
|
|
R |
|
|
|||
|
sinα = R/r, |[dl r]|= dl rsin π/ 2, dB|| |
|
= |
|
|
|
|
sinα = kIdl |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
r |
2 |
|
r3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В.М.Клименко. Магнетизм 199
Тепер знайдемо величину вектора індукції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
B = |
∫ |
dB |
|
= k IR |
dl =k IR 2πR |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|| |
|
|
|
|
r3 ∫ |
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 2πk |
IR2 |
= µ |
o |
IR2 |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
2r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо точка А співпадає з центром кола, то r |
= |
|
R |
і в центрі колового струму |
|||||||||||||||||||
буде |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = µo |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.Магнітне поле соленоїда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Соленоїд являє собою циліндр радіуса R довжиною L. На циліндр намотано |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рядками провідник, причому товщиною |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рядків можна знехтувати в порівнянні з |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
радіусом |
|
R |
(див.Мал.30). |
Кожний з |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
витків є круговим контуром, що |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
створює |
|
на |
|
осі |
соленоїда |
індукцію |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bk |
= |
2πk |
IR2 |
|
, де r - радіус-вектор витка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
від точки спостереження. Вектор Bk |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
направлений вздовж осі контуру для |
|||||||||||||||
кожного із витків і |
величина індукції |
соленоїда В буде сумою усіх Вк. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислимо її значення, зробивши ряд |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
очевидних викладок із відповідними |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
позначеннями на малюнку 6. Елемент |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
довжини соленоїда dl має число витків |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dN = ndl. Величину dl можна виразити |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
через кут α між r та dl, як змінну так: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
|
dr |
|
|
= r |
dα |
, sinα = |
R |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей |
r |
елемент |
створює |
індукцію |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dB |
= Bk dN , яка дорівнює |
|
|
|
||||||||||||
|
|
dB = |
µoI n sin α dα. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
до α2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Провівши інтегрування dB по куту α від α1 |
, одержимо |
|
|
|
|||||||||||||||||||
B = ∫ dB = |
|
|
α' |
|
|
|
|
|
|
|
|
µoI n (cos α1 −cos α'2 ). |
|||||||||||
1 µoI n ∫2sin α dα = |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо зважити, що |
α'2 = π − α2 , то остаточно одержимо |
|
|
|
|||||||||||||||||||
В.М.Клименко. Магнетизм 200
B = |
1 |
µ I n (cosα + cosα |
2 |
) . |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
o |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нехай точка А має координату Х відносно центра соленоїда. Для цієї точки |
|
||||||||||||||||||||||||||
cos α1 = |
L / 2 − X |
|
, cos α2 = |
|
|
L / 2 + X |
|
. |
|
|
|
(8) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R2 + (L / 2 − X)2 |
|
|
|
R2 + (L / 2 + X)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
На Мал.32 |
представлено |
графік |
функції |
|
y = |
B(x) , |
|
|
пропорційній |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ0n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величині індукції В поля короткого соленоїда довжини L=14 см та радіусами |
|||||||||||||||||||||||||||
R1 = 0.5 см та R 2 |
= 7 см. Як видно з графіка, для R1 |
величина В в соленоїді |
|||||||||||||||||||||||||
є практично сталою. Для |
R 2 |
= 7 см індукція має максимум у центрі |
|||||||||||||||||||||||||
соленоїда і плавно спадає на кінцях. |
|
|
|
|
|
|
Для нескінченно довгого |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
соленоїда (R<<L) α1 та α2 →0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
і тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B∞ = µ0 nI. |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Саме таким є соленоїд із R1 = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0.5 см та L=14 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 1. По двох |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нескінченно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довгих |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
провідниках, |
відстань |
між |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
якими 3 см, течуть струми 5 А |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
та 9 А. Визначити магнітну |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
індукцію в точці А віддаленій |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
від першого провідника на 4 см |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
та 5 см від другого. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок |
|
|
|
|
|
||||||||
протилежних напрямках (див. Мал. 33а). |
|
а). |
|
Струми |
|
|
|
течуть |
|
у |
|||||||||||||||||
|
|
|
µ0I1 |
|
|
|
|
|
µ0I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
B = |
|
, B = |
|
, B |
= B |
1 |
+ B |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2πr1 |
|
|
1 |
|
2πr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
B = |
B2 |
+B2 |
+ 2B B |
cosβ , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
+r2 |
− d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
cosα = |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
, |
β = π − α, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2r1r2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
B = |
B2 |
+ B2 |
− 2B B |
2 |
cos |
α , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
В.М.Клименко. Магнетизм 201
B = |
µ |
0 |
I2 |
+ |
I2 |
− |
I I |
|
(r 2 |
+ r 2 |
− d2 ) |
|
1 |
1 |
1 2 |
||||||||
|
2π r2 |
|
r2 |
|
r2r2 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
B =1.63 10−5 Тл
б). Струми течуть в одному напрямкові (див. Мал. 33б). На відміну від випадку а), на цей раз β=α і тепер маємо
B =100 |
4π 10−7 |
25 |
+ |
81 |
+ |
45 |
(25 |
+81−9)Тл |
|
|
2π |
16 |
25 |
25 |
81 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B == 3.62 10−5 Тл |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Приклад 2. Площина кругового |
||||||
|
|
витка |
радіусом |
R=0.1 м |
паралельна |
|||||
|
|
нескінченному провіднику П, а нормаль до |
||||||||
|
|
поверхні витка проходить через провідник і |
||||||||
|
|
центр витка (див.Мал.34). Сила струму в |
||||||||
|
|
провіднику I1=2 А, а у витку І2=3 А. |
||||||||
|
|
Відстань провідника від витка d=0.3 м. |
||||||||
|
|
Визначить магнітну напруженість у центрі |
||||||||
|
|
витка. |
|
|
|
|
|
|
||
Дано: R= 0.1 м, I1 =2 A, I2 =3 A, d=0.3 м, Н-?
Розв'язок: H1 = |
I1 |
=1.06 А/м, H2 = |
I2 |
=15 А/м, |
|
2πd |
2R |
||||
|
|
|
H = 
H12 + H22 , Н=15.04 А/м.
Приклад 3. Площина колового контуру з n=32 витками радіусом R=0.14 м розташована в площині магнітного меридіана Землі і містить у центрі компас (див.Мал.35). Визначити величину горизонтальної складової напруженості магнітного поля Землі, якщо при пропусканні струму в контурі І=0.123 А, магнітна стрілка компасу C відхиляється від положення рівноваги
на кут α = 420 .
Дано: α = 420 , I=0,123 А, n=32, R=0,14 м, HЗ −?
Розв'язок: Напруженість магнітного контуру його площині. Величина напруженості дорівнює
Hk = I2Rn =14.06 А/м.
З малюнку видно, що при ввімкненні струму в контурі, його поле та поле Землі утворять результуюче поле з напруженістю H у напрямку якого і відхилиться магнітна стрілка, утворюючи кут α із напруженістю магнітного
В.М.Клименко. Магнетизм 202
поля Землі. З прямокутного трикутника одержимо величину напруженості поля Землі
H З = tgHαk = tg1442.060 =15.62 А/м.
Примітка. За рахунок магнетиків в надрах, руху заряджених частинок та інших причин у навколишньому просторі Земля має власне магнітне поле з напруженістю поля Нз. Існують магнітні полюси Землі. Північний магнітний полюс позначається літерою N і він знаходиться на географічному півдні. На географічній півночі знаходиться південний магнітний полюс S. Пряма, що з'єднує магнітні полюси, називається магнітною віссю Землі. Силові лінії магнітного поля Землі виходять із північного полюса N і входять у південний полюс магнітний полюс. Силові лінії утворюють магнітні меридіани, а площина, що проходить через силові лінії та магнітну вісь, називається площиною магнітного меридіана. Магнітна стрілка, у відсутність інших джерел магнітного поля, завжди розташовується у площині магнітного меридіану. Під горизонтальною складовою напруженості Нз розуміють проекцію HЗ на горизонтальну площину, яка перпендикулярна
силі тяжіння Землі, бо саме ця складова взаємодіє з магнітною стрілкою компаса і сила взаємодії не врівноважується іншими силами.
§ 36. Циркуляція індукції магнітного поля
r
Під циркуляцією вектора B розуміють інтеграл по деякому
замкненому контуру L від скалярного |
|||
|
|
r |
|
добутку вектора B та елемента дуги |
|||
контуру drl |
r r |
|
|
Γ = ∫ Bdl . |
(1) |
|
|
L |
|
r |
|
|
|
|
|
Циркуляція індукції B дорівнює |
|
||
r r |
|
∑ Ik , |
|
Γ = ∫ Bdl |
=µ0 |
(2) |
|
L |
|
k |
|
де сума береться по усім струмам, котрі охоплює контур L. Для простоти, ми розглянемо плоский довільний контур,rплощинаr якого перпендикулярна струму І, як показано на Мал.36.
Вираз Bdl = Bdlcos(dϕ) = Brdϕ= dl', деrми поклали, що dl' дорівнює дузі кола
радіуса r, тобто dl'= rdϕ. Індукція B , яку створює струм І нескінченно довгого провідника на відстані r перпендикулярна rr і її величина дорівнює