Физика / 8._________
.pdf
В.М.Клименко. Магнетизм 223
§ 50. Явище електромагнітної індукції
1.Закон Фарадея
будь-яка зміна у часі величини магнітного потоку Фm через контур призводить до виникнення в ньому ЕРС індукції, яка пропорційна швидкості зміни магнітного потоку
εi = − |
dФm |
. |
(1) |
|
|||
|
dt |
|
|
2.Правило Ленца
при будь-якій зміні магнітного потоку Фm крізь поверхню, натягнуту на замкнутий контур провідника, в останньому виникає індукційний струм такого напрямку, що потік вектора індукції його магнітного поля Фі протидіє зміні зовнішнього магнітного потоку Фm. Тобто, якщо зовнішній магнітний потік зменшується, то магнітний потік поля індукційного струму через контур збільшується в тому ж напрямі і навпаки, при збільшенні зовнішнього магнітного потоку, індукований магнітний потік збільшується у протилежному напрямкові.
За законом Ома ЕРС εi індукції можна записати через індукційний струм Іі та опір контуру R
Ii = |
dq |
, εi = IiRi . |
(2) |
|
dt |
||||
|
|
|
В результаті одержимо вираз для величини заряду dq, що проходить за час dt через провідник при зміні магнітного потоку на величину dΦm
dq = − |
dФm |
. |
(3) |
|
|||
|
R |
|
|
Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо величину заряду, що проходить через контур при зміні магнітного потоку з Φm1 до Φm2
∆q = − |
∆Φm |
, |
(4) |
|
|||
|
R |
|
|
де ∆q = q2 − q1, ∆Φm = Φm2 − Φm1.
3. Закон Фарадея й закон збереження енергії.
Якщо замкнений провідникr довжиною dl із струмом
І помістити у магнітне поле B , то під дією сили Ампера провідник буде переміщуватися (див.Малr .22). При переміщенні провідника за час dt на dr він перетне магнітний потік dФ=B(drdl)=BdS і при цьому буде виконана робота δА=ІdФ. Ця робота виконується за рахунок електрорушійної сили ε, що створює струм у провіднику. В цілому енергія джерела йде на подолання
В.М.Клименко. Магнетизм 224
опору провідника (виділення джоулевого тепла в провіднику) та роботу сили Ампера
|
|
|
εIdt = RI2dt + IdΦ. |
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
З одержаного рівняння, можна записати закон Ома у вигляді |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε+ (− |
dΦ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
I = |
|
|
|
|
|
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dΦ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вираз |
у чисельнику |
містить |
складову |
− |
, |
яка |
має |
розмірність |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
електрорушійної сили і називається ЕРС індукції |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εi |
= − |
dΦ |
. |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Таким чином, розглядаючи окремий випадок зміни |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
магнітного потоку через контур провідника, із закону |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
збереження енергії ми одержали вираз закону Фарадея. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4.Закон Фарадея й електронна теорія. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Нехай |
|
|
у |
|
|
магнітному полі |
r |
прямолінійний |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
провідник |
довжини |
|
|
L |
рухається |
із |
швидкістю |
r |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
||||||||||||||||||||||||||
|
r |
r r |
(див.Мал.23). На вільні електрони провідника діє сила |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
Лоренця FЛ = −e[VB]. Ця сила перемістить електрон за час dt на dl у своєму |
|||||||||||||||||||||||||||||||
напрямкові. Сила Лоренця є сторонньою силою і вона створює ЕРС |
εi , |
яка |
|||||||||||||||||||||||||||||
дорівнює |
роботі |
δA / q |
по |
перенесенню |
|
одиничного |
заряду на шляху |
dl. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
Роботу |
δA |
||
Швидкість переміщення провідника дорівнює V |
= dr / dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||
сторонніх сил по перенесенню одиничного заряду в провіднику на drl |
можна |
||||||||||||||||||||||||||||||
записати у вигляді |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
δA = FЛdl |
= −e ([VB] dl) = eVBdl |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
δA = eBdl dr |
= eBdS/ dt = e |
dΦ |
|
, |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де dS = dr dl поверхня, |
яку перетинає елемент провідника dl за час dt, |
||||||||||||||||||||||||||||||
dΦ = BdS = d(BS) |
|
|
магнітний |
|
потік |
через |
|
поверхню |
dS, |
а |
|||||||||||||||||||||
r r |
r r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|[VB]|= VB i [VB]|| −dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З (8) можна одержати ЕРС індукції у провіднику за визначенням |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
εi = |
|
δA |
|
= − |
dФ |
. |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином, і у цьому окремому випадку зміни магнітного потоку, ми також одержали вираз для закону Фарадея.
В.М.Клименко. Магнетизм 225
§ 51. МГД – генератор
Генератор, що безпосередньо перетворює внутрішню енергію плазми у електричну називається магніто-гідродинамічним генератором (МГД - генератор). В основі МГД - генератора лежить явище електромагнітної індукції. В камері, при згоранні палива, утворюється сильно іонізований газ (плазма) із високою температурою Т. Частина внутрішньої енергії газу реалізується в кінетичну і газ витікає з камери через вузьке сопло, що збільшує швидкість витоку газуr (див.Мал.24). У
поперечному магнітному полі B , під дією сили Лоренця, додатні іони відхиляються до катода К, а електрони до анода А і через навантаження R у електричному колі потече струм І.
Таким чином, в МГД - генераторі електричний струм створюється складовими зарядами плазми і виконує роботу за рахунок їх кінетичної енергії.
§ 52. Вихрове електричне поле та його циркуляція
|
|
|
|
r |
|
Залежність індукції магнітного поля B від часу викликає у просторі |
|||||
змінне електричне |
поле, яке можна |
характеризувати напруженістю |
поля |
||
r |
Електрорушійна |
сила |
εi може бути записана |
через |
|
сторонніх сил E . |
|||||
r |
|
|
|
|
|
напруженість E як |
r |
r |
|
|
|
|
εi = ∫Edl , |
(1) |
|
||
|
L |
|
|
|
|
де інтегрування проводиться по деякому замкненому контуру L. Потік |
|||||
вектора магнітної індукції через поверхню SL, яку стягує контур L, можна |
|||||
представити як інтеграл |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Φm = ∫ BdS . |
(2) |
|
||
|
|
SL |
|
|
|
Підставивши в закон Фарадея вирази для ЕРС індукції та магнітного потоку |
||||||
одержимо циркуляцію напруженості індукованого поля у вигляді |
||||||
r r |
∂Φ |
|
|
r |
r |
|
m |
= −∫ |
∂B |
(3) |
|||
∫ Edl = − |
|
dt |
dS. |
|||
L |
∂t |
S |
|
|
||
Електричне поле, циркуляція напруженості якого відмінна від нуля, називається вихровим. Таким чином напруженість змінного електричного поля індукції є вихровим. У зв’язку з тим, що циркуляція напруженостіr
кулонівського поля дорівнює нулю, то у виразі (3) під вектором E можна розуміти як суперпозицію кулонівського поля та поля сторонніх сил.
В.М.Клименко. Магнетизм 226
§ 53. Явище електромагнітної самоіндукції
Якщо в контурі протікає струм І, то навколо нього створюється магнітне поле з індукцією В. Магнітний потік індукції цього поля через контур пропорційний величині струму в ньому
Фm =LI. |
(1) |
Коефіцієнт пропорційності L називається |
індуктивністю контуру і її |
величина визначається його конфігурацією (геометрією). Це явище назвали самоіндукцією. Якщо в колі протікає змінний струм І, або змінюється конфігурація кола, то в ньому виникає ЕРС самоіндукції
Es = − |
dФ |
|
−L |
dI |
|
−I |
dL |
(2) |
dt |
m = |
|
+ |
. |
||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
Напрямок Еs такий, що поле струму самоіндукції протидіє зміні магнітного потоку Фm .
Як приклад, розглянемо магнітний потік через довгий соленоїд. Індукція магнітного поля соленоїда
B =µ0nI , |
(3) |
де n густина витків, І струм в соленоїді. З урахуванням (3) магнітний потік через соленоїд буде таким
Φm = NBS = LI , |
(4) |
де
L =µ0 NSn =µ0n(lS)n =µ0n2V −
індуктивність соленоїда, а V=lS об'єм соленоїда .
Якщо соленоїд знаходиться в магнітному середовищі з магнітною проникливістю µ, то індуктивність соленоїда буде
L =µ0µn2V . |
(5) |
Приклад 1. Соленоїд із V = 4.5 10−4 м3 |
має поперечний переріз |
S =10−3 м2 та N =103 витків. Обчислити величину індукції магнітного поля В та намагніченість середовища в середині соленоїда, якщо в ньому тече струм I=2 А, а його індуктивність L=4 мГн.
Дано |
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок |
|
|||
I=2 А |
l = V , |
n = N , |
L =µµ0n2V , µ = |
|
L |
, H=nI, B =µµ0H , |
||||||
L=4 мГн |
|
|||||||||||
|
µ0n2V |
|||||||||||
S |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
V=4.5 10-4 м3 |
B = |
LI |
|
, J = ( |
L |
|
−1)nI . |
|
|
|
||
l=0.45 м |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S=10-3 м2 |
|
nV |
|
µ0n2V |
|
|
|
|||||
N=103 |
J = χH = (µ-1)nI , |
J = ( |
L |
−1)nI . |
|
|||||||
B-? |
µ0n2V |
|
|
|||||||||
J-? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: B =8 10−3 Тл, L =1.9 103 A/м |
|||||||||||
В.М.Клименко. Магнетизм 227
Приклад 2. В котушці з індуктивністю L =5 10−2 Гн тече струм I = 4cos3.5πt A . Запишіть вираз для ЕРС самоіндукції та її максимальне значення.
Дано |
|
Розв'язок |
|
|
L =5 10−2 Гн I = 4cos3.5πt A |
ε= −L dI |
= 0.7πsin 3.5πt B , |
εmax = 0.7π B |
|
Е-?, Еmax-? |
||||
dt |
|
|
§ 54. Явище електромагнітної взаємоіндукції. Трансформатор
Якщо в обмеженому просторі знаходяться два контури і в першому з них виникає змінний струм І1, то в другому індукується ЕРС взаємоіндукції
εвi2 |
= −L21 |
dI1 |
. |
(1) |
|
||||
|
|
dt |
|
|
Аналогічний процес відбувається, якщо в другому контурі тече змінний струм І2, то
ε |
|
= −L |
dI2 |
. |
(2) |
|
|
||||
|
вi1 |
12 |
dt |
|
|
Коєфіцієнти L12 = L21 − називаються коефіцієнтами взаємоіндукції і
їх величина залежить від конфігурації контурів та їх взаємного розташування. Величини взаємоїндукції визначаються для конкретних приладів окремо.
Трасформатори. На явищі взаємної індукції створено трансформатори прилади за допомогою яких можна підвищувати чи понижувати змінні напругу або струм. Трансформатор складається з первинної та вторинної обмоток, які мають відповідно N1 та N2 витків, намотаних на замкненому залізному осередді. Якщо до первинної обмотки підключити змінну напругу U1, то в ній виникне змінний струм І1, який у свою чергу створить в осередді магнітний потік через один виток Ф. Цей потік буде пронизувати вторинну обмотку і при його зміні в ній утвориться напруга
U2 = N2 |
dФ |
. |
(3) |
||
|
|
||||
В той же час можна записати що |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
||
U1 = N1 |
dФ |
. |
(4) |
||
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
Одержуючи вирази для напруг, ми знехтували омічним опором обох обмоток та втратою енергій на вихрові струми. За цих припущень потужності в первинній та вторинній обмотках будуть однакові
U1I1 = U2I2 .
В.М.Клименко. Магнетизм 228
Порівнюючи вирази для напруг та потужностей, одержимо
U |
2 |
= |
N2 |
U |
, |
I |
2 |
= |
N1 |
I . |
(5) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
N1 |
1 |
|
|
|
|
N2 |
1 |
|
||
Коефіцієнт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k = |
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
називається коефіцієнтом трансформації. Якщо k>1, то трансформатор підвищуючий, у противному понижуючий.
Приклад 1. Два соленоїди з L1 ==0.5 Гн та L2 =1.5 Гн однакової
довжини та із практично рівними поперечними перерізами вставлені один у другий. Визначити взаємну індукцію цих соленоїдів L12 .
Дано: L1=0.5 Гн, L2=1.5 Гн, L12-?
Розв'язок.
Якщо у першому соленоїді тече струм І1, то він створює магнітне поле з індукцією B1 =µµ0n1I1 і через другий соленоїд утвориться магнітний потік
Φ2 =SB1N2 =SN2µµ0n1I1 =µµ0n1I1V ,
де V= Sl-об′єм соленоїда. ЕРС взаємоіндукції дорівнює
ε2 |
= −L21 |
dI1 |
= − |
dФ2 |
= −µµ0n1n 2 V |
dI1 |
|
dt |
dt |
dt |
|||||
|
|
|
|
||||
Прирівнюючи коефіцієнти при похідних, одержимо |
|||||||
|
|
L21 = µµ0n1n2V . |
|||||
Запишемо вирази для густин витків через індуктивність соленоїда
n1 = |
L1 |
, n2 = |
L2 |
, n1 n2 = |
L1L2 |
|
µµ0V |
|
µµ0V |
|
µµ0V |
Тепер остаточно одержимо |
|
|
|
|
|
|
L21 = |
L1L2 |
= 0.75 = 0.87 Гн. |
|
|
§ 55. Процес релаксації у контурі з індуктивністю
Розглянемо електричний контур з омічним опором R та індуктивністю L (див мал.25). Залежність величини струму від часу t при вмиканні й вимиканні електрорушійної сили Е визначається величиною індуктивності L. Знайдемо цю залежність. При замиканні ключа К на контакт 2, в електричному колі виникне струм I. За законом Ома
ІR=εi + ε |
. Зважаючи, |
що |
εi = −L dI |
одержимо |
||
|
|
|
|
|
dt |
|
неоднорідне диференціальне рівняння |
|
|||||
|
dI |
+ γI = ε, γ = |
R |
. |
|
(1) |
|
dt |
|
|
|||
|
L |
L |
|
|
||
В.М.Клименко. Магнетизм 229
Розв'язком цього рівняння є сума загального розв'язоку однорідного рівняння
|
dI |
+ γI = 0 |
|
(2) |
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
та частинного розв'язку неоднорідного рівняння |
||||
|
|
dI |
+ γI = |
ε. |
|
|
dt |
|
L |
Розділивши змінні в однорідному рівнянні, одержимо |
||||
dI = −γdt . |
|
(3) |
||
q |
|
|
||
Після інтегрування одержимо |
|
|
||
ln I = −γt + ln A , |
(4) |
|||
або |
|
|
||
|
I = Ae−γt . |
|
(5) |
|
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді q=В і після |
|||
підстановки у диференціальне рівняння, одержимо |
|||
B = |
ε |
= I0 , |
(6) |
|
|||
|
R |
|
|
де І0 є сталий максимальний струм у колі при електрорушійній силі ε. |
|||
Остаточно розв'язок рівняння буде мати вигляд |
|
||
I = Ae−γt + I0 . |
(7) |
||
а). Якщо в момент часу t=0 струм I=0, то стала A =- Io і після |
|||
нескладних перетворень одержимо |
|
||
I = Io (1 − e−γt ) . |
(8) |
||
б). Якщо в момент часу t=0 струм мав величину І=І0 при вимкненій |
|||
електрорушійній силі ε (ε=0), то розв'язок буде мати вигляд |
|||
I = Ae−γt . |
(9) |
||
Після підстановки початкових значень знайдемо, що стала А = І0 і тоді
I = Ioe−γt .
Час τ за який величина заряду зменшиться в е раз називається часом релаксації. Обчислимо величину τ. За визначенням маємо
|
I0 |
= e1 |
(10) |
|
I0e−γτ |
||
|
|
|
|
і звідси |
|
|
|
τ =1/ γ = L / R . |
(11) |
||
в). Якщо прийняти, що в б) під R=r розуміємо лише опір соленоїда, знехтувавши зовнішнім опором, то при зростанні зовнішнього опору до R ЕРС індукції можна представити у вигляді
В.М.Клименко. Магнетизм 230
εi = −L dI |
= γLI0e−γt = |
R εe−γt . |
(12) |
|
dt |
|
r |
|
|
Якщо R>>r, то εi буде значно більшою |
ε, унаслідок чого може виникнути |
|||
електричний пробій повітряного зазору вимикача й вихід його з ладу. Для уникнення цього явища, паралельно до вимикача підключають конденсатор. Приклад 1. Розрахуйте омічний опір соленоїда з індуктивністю
L =5 10−2 Гн, |
якщо за час t=0.5 с сила |
струму |
в ньому It досягає 0.7 |
||||||||||||
граничного значення I0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L =5 10−2 Гн |
|
0.7 I0 = I0 (1 −e |
− |
R |
t |
|
|
|
− |
R |
t |
|
|||
|
|
|
) , 0.7 |
=1−e |
L |
, |
|||||||||
It =0.7 I0 |
|
|
L |
|
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
L ln 0.3 |
|
|
|
|
|
|||||
R-? |
|
0.3 = e− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t , R = − |
|
|
|
|
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
R=1,2 Ом |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§56. Енергія магнітного поля
Увипадку нескінченно великого соленоїда, при протіканні в ньому струму І, магнітне поле зосереджується в середині об'єму соленоїда. Магнітний потік через соленоїд
Φ = LI. |
(1) |
Елементарна робота, що виконується при зростанні струму на dI у соленоїді
δA=ФdI = LIdI, |
(2) |
а при зростанні струму від 0 до І робота знаходиться інтегруванням
I |
LI |
2 |
A = ∫LIdI = |
. |
|
0 |
2 |
|
Ця робота створює енергію магнітного поля соленоїда
W |
= |
LI2 |
|
|
(3) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
і може бути записана у вигляді |
|
|
|
|||
W = |
|
B2V |
|
. |
(4) |
|
2µµ0 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Об'ємна густина енергії магнітного поля w = WV дорівнює
В.М.Клименко. Магнетизм 231
|
B2 |
|
1 |
|
µµ |
H2 |
|
|
w = |
|
= |
|
BH = |
0 |
|
. |
(5) |
2µµ0 |
2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||
Приклад 1. Визначить силу струму в соленоїді довжиною l=0.5 м,
поперечним перерізом S=3 10−3 м2 та індуктивністю L=0.2 Гн, якщо об′ємна густина енергії поля в соленоїді w=0.1 Дж.
Дано: l=0.5 м, S=3 10−3 м2, L=0.2 Гн, w=0.1 Дж, I-?
Розв'язок.
W = |
1 |
2 |
, w = |
W |
, V =Sl, w = |
1 Li2 |
, I = |
2wSl |
, I=0,039 A. |
2 |
LI |
V |
2 Sl |
L |
|||||
|
|
|
|
|
|