Физика / 2._________ __ _____

Q= γπT = λπ = πNe .

Приклад. В експерименті з фізичним маятником, що являє собою циліндр, підвішений на осі, перпендикулярній його основі на відстані а=0,08 м від центра, проведено вимірювання часу релаксації τ та числа повних коливань Nτ за τ. Радіус циліндра R=0,15 м, маса m=1,5 кг, τ=45 с, Nτ=95. Визначити логарифмічний декремент згасання, добротність, період коливань та власну частоту коливань маятника.

де ϕ є дійсною частиною х: ϕ = Re(x). Розв'язок рівняння шукаємо у вигляді x = AeiΩt . Знайдемо похідні від х по t

З (7) знаходимо розв'язок рівняння коливань фізичного маятника у вигляді

ϕ= Re(x)

ϕ= ϕ0 (Ω) cos(Ωt − α) ,

де амплітуда коливань

є функцією частоти Ω примусової сили. Ця функція має максимум в точці Ωmax , яка відповідає точці мінімуму квадрата модуля числа Z:

ρ2 = (ω02 − Ω2 )2 + 4γ2 Ω2 .

Положення максимуму функції ϕ(Ω) знайдемо, прирівнявши похідну від ρ2 нулю

Механічний резонанс явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань (див.

Мал.), коли частота змушуючої сили наближається до резонансної Ωрез, якою

є частота Ωmax= ω20 − 2γ2 .

Механічний резонанс для швидкості явище різкого зростання амплітуди швидкості вимушених коливань. Можна показати що це явище наступає тоді, коли частота змушуючої сили наближається до резонансної

Ωрез = ω02 − γ2 .

Загальним розв'язком неоднорідного диференціального рівняння коливань є сума загального розв'язку однорідного рівняння та частинного розв'язку неоднорідного рівняння:

Через час t, більший часу релаксації τ, за рахунок експоненціального згасання, першим доданком в (10) можна знехтувати й вважати, що встановилися вимушені коливання.

§ 51. Додавання двох коливань одного напрямку

Для додавання двох коливань одного напрямку застосуємо метод векторної діаграми. Математично це виражається в знаходженні суми двох векторів, довжини яких чисельно рівні амплітудам коливань, із подальшим знаходженням проекції х результуючого вектора (див. Малюнок 28). Цю процедуру проведемо в такому вигляді:

Одержаний результат випливає з наступного міркування. Рівняння для х1 та х2 можна записати у експоненціальному вигляді:

x1 = a1 exp[i(ωt + α1 )], x2 = a2 exp[i(ωt + α2 )],

і тоді

x = a1 exp[i(ωt + α1 )] + a2 exp[i(ωt + α2 )]

комплексних чисел знаходиться в комплексній площині, як сума двох векторів, що визначають ці числа. Звідси амплітуда

Два коливання з частотами ω1=ω2=ω називаються когерентними, якщо

різниця їх фаз є сталою величиною, тобто

∆Φ = Φ2 − Φ1 = (ω2 − ω1 )е + (α2 − α1 ) = const .

При додаванні двох когерентних гармонічних коливань результуюче коливання буде гармонічним із тією ж частотою ω.

В залежності від значення різниці початкових фаз δ, амплітуда результуючого коливання може змінюватися в межах від a =| a1 − a2 | , коли

cosδ = −1 δ = ±(2n +1)π, n = 0,1,2,..., до a = a1 + a2 ,

коли ж

cosδ =1 δ = ±2nπ, n = 0,1,2,... .

У другому випадку коливання відбуваються у фазі, і їх сума дає максимум, а в першому випадку коливання відбуваються в протифазі, і їх сума має мінімум.

§ 52. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань

Додавання двох взаємно перпендикулярних за напрямком коливань точки математично зводиться до знаходження траєкторії руху точки на площині F(x,y)=0, методом виключення часу t, як параметру. Наприклад, розглянемо коливання матеріальної точки, яке задається на площині рівняннями

x = a cosωt

i

y = bcos(ωt − α) .

Проведемо очевидну послідовність операцій виключення параметра t:

y = ba x

При додаванні N гармонічних коливань одного напрямку з кратними частотами ωn=nω, n=1,2,3,... одержимо періодичні, гармонічні коливання з періодом Т=2π/ω. І, навпаки, кожне періодичне коливання з періодом Т можна представити як суму нескінченного числа простих гармонічних коливань із частотами, кратними основній частоті ω= 2π/ T .

Коливання з частотами, більшими ω, називаються гармоніками. Сукупність таких гармонік утворює спектр коливань, який має дискретний характер. В той же час, неперіодичне коливання також можна представити у вигляді розкладу по гармонічним коливанням, в яких спектр частот буде неперервним (суцільним) із частотами в деякому інтервалі (ω1,ω2).

На малюнку 29 представлена суперпозиція двох близьких за частотами коливань з ∆ω=4π 10-2 рад/с і ω=2π 105 рад/с.

Хвилі

§ 54. Хвильові процеси

Хвиля процес розповсюдження коливань в середовищі зі швидкістю V. У процесі розповсюдження коливань від зовнішнього джерела частинки середовища здійснюють вимушені коливання. Поперечна хвиля це хвиля, де зміщення частинок y перпендикулярне швидкості V, якщо у паралельне Vхвиля поздовжня. Швидкість хвилі залежить від сили взаємодії між частинками середовища - чим більша сила взаємодії, тим більша швидкість хвилі. Для невеликих зміщень частинок ці сили є пружними. Для твердого тіла

V= Eρ ,

де Е модуль Юнга, ρ густина речовини. Для повітря (газу)

де γ стала адіабати, R універсальна газова стала, Т температура, µ маса моля речовини, ρ густина повітря (газу), Р тиск газу.

Хвильовий фронт геометричне місце точок середовища, до яких дійшли коливання. Плоскою називається хвиля, у якої хвильовий фронт є нескінченною площиною. Сферичною називається хвиля, у якої хвильовий фронт є сферою. Циліндричною називається хвиля, у якої хвильовий фронт обмежений скінченою площиною. Промінь це напрямок розповсюдження коливань.

§ 55. Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість

Рівняння хвилі, що розповсюджується в додатному напрямкові Ох,

Дійсно, нехай джерело коливань y = A cos(ωt + α) розміщено в початку

координат, і коливання розповсюджуються в додатному напрямкові осі ОХ із швидкістю

V. В точку з координатою х коливання прийдуть із запізненням на час розповсюдження t'= Vx , і тому рівняння коливання в цій точці в час t

запишеться так:

В (3) косинус є періодичною функцією з періодом 2πі тому можна визначити її період по координаті λ

За визначенням довжина хвилі відстань, на яку поширюється хвиля за період коливань Т: λ=VT. З (4) видно, що довжина хвилі λ є періодом просторового розподілу коливань частинок середовища при наявності в ньому хвилі.

Якщо коливання розповсюджуються в зворотному напрямі, то х замінюємо на -х і рівняння зворотної хвилі має вигляд

яка називається фазовою швидкістю розповсюдження фази коливань. Вона співпадає зі швидкістю розповсюдження коливань V.

вектор нормалі до хвильового фронту.

Дійсно, нехай джерелом коливань є нескінченно велика площина 1 (див. Мал. 30), що є хвильовим фронтом плоскоїr хвилі. Площина проходить через

початок координатr r із нормаллю n . Нехай рівняння коливання точок джерела має вигляд V V rr nr O O x

(2)

коливання в площині 2, яка знаходиться на відстані d від

Vd і будуть мати

Відстань між площинами визначається скалярним добутком d=nr, де r радіусвектор точки на площині. Тепер,

позначивши k r= nk, можна записати:

ξ = Acos(ωt − krr + α) ,

що й треба було довести.

Сферична хвиля. Рівняння сферичної хвилі має вигляд

y= Ar cos(ωt-kr).

Амплітуда сферичної хвилі зменшується обернено пропорційно відстані r від джерела хвиль, а енергія обернено пропорційна квадратові відстані.

Циліндрична хвиля. Циліндрична хвиля описується рівнянням плоскої хвилі з обмеженим деякою плоскою поверхнею хвильовим фронтом.

Спектр частот хвиль. Під частотним спектром хвилі розуміють сукупність частот, якими можна представити дану хвилю.

Хвиля з неперервним спектром частот хвиля, що містить значення частот коливань в деякому неперервному інтервалі частот від ω1 до ω2 (див.

Мал. 31).

Хвиля з лінійчатим спектром частот хвиля, що містить коливання дискретних значень частот (див. Мал. 32).

§ 57. Енергія хвилі та інтенсивність хвилі