Физика / 11._____ ______

Квантова оптика

§ 29. Теплове випромінювання та його рівноважність

Дослідним шляхом установлено, що усі тіла, що мають відмінну від 0 температуру Т, випромінюють електромагнітні хвилі. Теплове випромінювання це електромагнітне випромінювання тіла, що має температуру Т>0. Випромінювання відбувається за рахунок внутрішньої

теплової енергії тіла. Теплове випромінювання знаходиться в динамічній рівновазі з внутрішньою енергією тіла: при збільшенні температури тіла збільшується енергія випромінювання і навпаки, при зменшенні температури тіла зменшується енергія випромінювання.

Теплове випромінювання має такі інтегральні та диференціальні характеристики

Енергетична світність енергія RT, що випромінюється за одиницю часу через одиничний переріз, на всіх дожинах хвиль, в усіх напрямках (у тілесному куті в 2π стр). Енергетична світність є інтегральною характеристикою теплового випромінювання.

Світловий потік або інтенсивність випромінювання енергія світла,

що поширюється за одиницю часу з одиничної площі поверхні. Світловий потік є інтегральною характеристикою теплового випромінювання.

Випромінювальна здатність. В інтервалі частот dνенергетична світність пропорційна dν

dRνT = rνTdν.

Коефіцієнт пропорційності rνT називається випромінювальною здатністю, який чисельно дорівнює енергетичній світності тіла в одиничному інтервалі

Для аналізу теплового випромінювання вводиться модель абсолютно чорного тіла (АЧТ) – це тіло, яке при всіх температурах і на всіх частотах

має поглинальну здатність a*νT = 1. Жодне з тіл у природі не може вважатися

абсолютно чорним, але найкращим наближенням до нього може бути порожнина сфери з малим отвором, яку показано на Мал.40. Електромагнітний промінь, що заходить усередину сфери, після численних поглинань і віддзеркалень, практично не вийде з порожнини сфери. Така порожнина буде мати поглинальну здатність aνT =1.

§30. Закони теплового випромінювання

1.Закон Кірхгофа. Дослідним шляхом Кірхгоф установив, що

відношення випромінювальної здатності тіл до їх поглинальної здатності при температурі Т на частоті ν не залежить від природи тіла й визначається універсальною функцією частоти ν й температури тіла

де f(ν,T) випромінювальна здатність АЧТ. Функцію f(ν,T) називають

також універсальною функцією Кірхгофа. Залежність функції Кірхгофа від частоти представлена на Мал.41.

М.Планк в 1900 р встановив (див. нижче) явний вид функції Кірхгофа

Розподіл поглинальної здатності по частоті ν тіла можна одержати експериментально, а інтегрування провести чисельними методами.

2. Закон Cтефана - Больцмана. Енергетична світність абсолютно чорного тіла R* пропорційна четвертій степені його температури

експериментально установив в 1879 році Й.Стефан, а теоретичне обґрунтування у 1884 році дав Л.Больцман.

3. Закон випромінювання Віна. Наближений закон теплового випромінювання в залежності від температури установив німецький фізик Він. За Віном випромінювальна здатність тіла пропорційна кубу частоти ν

νT T

де f(Tν) деяка функція від частоти й температури. Такий вид приймає

граничний вираз формули М.Планка (2) при великих частотах ν.

4. Закон зміщення Віна. Він довів, що положення максимуму λmax універсальної функції Кірхгофа f(ν,T) задовольняє співвідношенню

при підвищенні температури тіла максимум його теплового випромінювання зміщується в бік менших довжин хвилі (величина λmax зменшується) і

навпаки.

5. Формула Релея - Джінса. З точки зору класичної фізики, випромінювання АЧТ можна представити як реалізацію сукупності просторових стоячих електромагнітних хвиль в обмеженому об’ємі з відповідними частотами. Останні визначаються граничними умовами.

Число dnω таких стоячих хвиль на частоті

ω в одиничному об’ємі при двох можливих поляризаціях дорівнює

Вважаючи, що на кожну коливальну ступінь свободи приходиться енергія кТ, енергію в інтервалі частот від ω доω+ dω можна записати у вигляді

Вираз (8) є формулою РелеяДжінса. В області великих частот (малих довжин хвиль λ) енергетична світність за (8) прямує до нескінченності, що різко розходиться з експериментом (див. Мал.42.). Цю розбіжність у класичній фізиці названо ультрафіолетовою катастрофою. В області малих частот формула Релєя-Джінса збігається з граничним виразом для формули М.Планка при hν << kT . Крім того, із теорії М.Планка випливає, що на одну коливальну ступінь свободи приходиться енергія

ekT −1

яка залежить від частоти ω, замість енергії kT за класичною теорією, якою користувалися при виведенні формули (8).

6. Гіпотеза та формула Планка. В 1900 році М.Планк висунув гіпотезу, що енергія електромагнітного поля є дискретною і складається з порцій (квантів) енергії ε. Пізніше було встановлено, що

називається перекресленою або просто сталою Планка, або сталою Дірака, який її увів уперше. Повна енергія випромінювання на частоті ω кратна (10) і дорівнює

З цієї точки зору Планк розглянув випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла за наступною схемою.

За розподілом Больцмана ймовірність P( εn ,T) того, що енергія на частоті ω має n квантів ε=ћω можна записати так

де

а середнє значення енергії <ε> на цій частоті можна представити так

n=0

Уведемо змінну x = hkTω і припустимо, що х може змінюватися неперервно.

Тоді

ekT −1

Густина енергії, що приходиться на інтервал частот від ω доω+ dω дорівнює

ekT −1

Зважаючи на те, що

Використовуючи одержаний зв'язок, випромінювальну здатність АЧТ можна записати через довжину хвилі λ у виді

Властивості f(ω,T) у залежності від температури та частоти можна дослідити з наведеного нижче графіка на Мал.43 для деякої модельної функції

Формула Планка точно узгоджується з експериментом у всьому діапазоні частот ω. З графіка видно, що при збільшенні температури тіла

максимум зміщується в напрямку зростання частоти ω (х~ ω). Це відповідає

hω

закону Віна. При умові hω << kT маємо ekT = 1+ hkTω і формула Планка (20)

переходить у формулу Релея-Джінса (8).

§ 31. Розрахунок сталих Стефана - Больцмана та Віна за допомогою формули Планка

1. Стала Стефана-Больцмана. Повернувшись до змінної x = kTh ω, запишемо енергетичну світність АЧТ у вигляді

Інтеграл у (1) обчислюється аналітично і він дорівнює

Підставляючи (2) у (1), одержимо

Порівнюючи (3) із формулою Стефана-Больцмана R* = σT4 , знайдемо сталу Стефана-Больцмана

2. Стала Віна. Уведемо змінну х у такий спосіб

x = aλ,a = 2kTπhc ,λ = ax

Універсальна функція Кірхгофа може бути представлена як функція λ

Дійсно, прямі розрахунки дають

Рівнянню (7) задовольняють значення x = 0, x = ∞, які відповідають мінімумам функції f(λ,T), а значення х, що відповідає максимуму f(λ,T)

можна знайти, розв’язавши рівняння (7) графічно. Такий розв'язок (див. Мал.44.) дає x ≈ 4.9655 і тому

приймається за абсолютно чорне тіло, показує, що максимум випромінювальної здатності припадає на довжину хвилі λ = 480 нм.

Прийнявши радіус Сонця за r = 6.5 108 м, визначити:

а) потужність сумарного випромінювання; б) густину потоку енергії біля

поверхні Землі (відстань від Землі до Сонця L =1.5 1011 м; в) величину тиску на земну поверхню, зумовлену ним потоком енергії (коефіцієнт відбивання прийняти рівним нулю),

Р о з в' я з о к

а) Потужність сумарного або інтегрального випромінювання Сонця N дорівнює потужності, що випромінюється кожною одиницею поверхні Сонця

R, помноженій на площу поверхні Сонця S = 4πr2

N=RS.

Величина енергії, яку випромінює кожна одиниця площі абсолютно чорного тіла за одиницю часу, може бути обчислена за законом Стефана—Больцмана

R = σT4 ,

б) Густину потоку енергії біля земної поверхні можна визначити, враховуючи, що енергія, яка випромінюється щосекунди Сонцем, проходить крізь сферичну поверхню з радіусом L.. Знаючи, що густина потоку енергії є енергія, яка переноситься через одиницю площі за одиницю часу, запишемо w = 4πNL2 =1.4 кВтм2 .

в) Величина світлового тиску р зв'язана з густиною потоку енергії w та коефіцієнтом відбивання ρ співвідношенням

P = wc (ρ +1)

Згідно з умовою задачі коефіцієнт відбивання ρ дорівнює нулю, і тиск дорівнює

P = wc = 4.7 µПа.

§ 32. Оптична пірометрія

Пірометрія сукупність оптичних методів вимірювання температури за інтенсивністю теплового випромінювання тіл. Прилади, за допомогою яких проводиться таке вимірювання, називаються пірометрами. В оптичній пірометрії застосовуються методи, в основі яких лежать вимірювання за

енергетичною світністю R, випромінювальною здатністю та

спектральним розподілом енергії випромінювання тіл. У зв’язку з цим розрізнюють три види пірометричної температури тіл, через які розраховується звичайна температура тіла.

1. Радіаційна температура. Радіаційна температура Tрад тіла це температура АЧТ, при якій, його енергетична світність R* дорівнює енергетичній світності тіла R. Порівнювання проводиться термостовпчиком, підключеним до гальванометра, на який фокусується поверхня тіла, що досліджується. Прилад градуюють по АЧТ. Згідно закону Больцмана

де aT коефіцієнт сірості тіла. Наприклад, при істинній температурі вольфраму 3000 К його Трад = 2250 К.

2. Яскравісна температура. Яскравісна температура тіла Tяс це

яскравісним пірометром із зникаючою ниткою. Пірометр має відградуйовану лампочку. Нитка лампочки лежить у площині до осі приладу. В цю ж площину через світлофільтр із λ=660 нм фокусується поверхня тіла, що досліджується. Змінюючи реостатом напругу, яка живить лампочку, доводять її яскравість до яскравості тіла і в цю мить зображення нитки зникає на фоні поверхні тіла. Істинне значення температури обчислюється за формулою

можна знайти з таблиць. Наприклад, для вольфраму при Т=3000 К і λ=660 нм aλT =0.46. Обчислення за формулою (3) дає Тяскр=2700 К.

Формулу (3) можна одержати у такий спосіб. За визначенням яскравісної температури випромінювальні здатності тіла і АЧТ рівні, тобто

Тепер перерахунок яскравісної температури у температуру тіла для яскравісного пірометра проводиться за формулою