Физика / 6.______________
.pdf
В.М.Клименко. Електростатика 152
Теорема Остроградського-Гауса стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнену поверхню S дорівнює
r r |
Q |
. |
(6) |
Ф = ∫∫ EdS = |
ε0 |
||
|
|
|
Дійсно, використовуючи те, що поверхня SV замкнена і ΩS = 4π, (5) запишемо у вигляді
|
4π |
|
dΦ = ∫∫ EndS = kdq ∫ dω. |
(7) |
|
SV |
0 |
|
ΩS |
|
|
В (7) інтеграл ∫ dω= 4π і |
|
|
0 |
|
|
dΦ = kdq4π = 4πkρdV . |
(8) |
|
Інтегруючи у (8) dq по об'єму VS і підставляючи вираз для k = 4πεε1 0 ,
одержимо
|
|
Φ = |
∫∫ |
En dS = |
1 |
4π |
∫∫∫ |
ρdV = |
Q |
||
|
|
|
|
4πε |
0 |
|
ε |
0 |
|||
і остаточно |
SV |
|
|
VS |
|
|
|
||||
|
|
r |
r |
Q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
Φ = ∫∫ EdS = |
ε0 |
|
|
||||
що й треба було довести. |
|
SV |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Фізичний зміст теореми Остроградського-Гауса полягає в тому, що |
|||||||||
за |
її |
допомогою, при відомій напруженості електростатичного поля |
|||||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
у просторі поля. Такий |
|
E |
= E(r) , можна визначити розподіл зарядів q(r) |
||||||||||
зв'язок існує лише у випадку центральних сил, величина яких обернено пропорційна відстані між точковими джерелами центральних сил.
Визначення. Якщо точка знаходиться від площини (циліндра) на відстані значно меншій ніж лінійні розміри площини (циліндра), то площина (циліндр) називається нескінченно великою (довгим) по відношенню до даної точки. При цьому розуміємо, що дана точка знаходиться також достатньо віддалено від границь площини (циліндра).
§6. Провідники та діелектрики
1.Провідники. До провідників електричного струму відносять метали
провідники першого роду та електроліти провідники другого роду й іонізовані гази. В металах носіями струму є вільні електрони, в електролітах
В.М.Клименко. Електростатика 153
додатні та від'ємні іони, у іонізованому газаі додатні іони та електрони. Іонами називаються заряджені атоми, які можуть мати надлишок електронів відносно числа протонів або недостачу. У випадку електроліту додатні іони називають аніонами, а від'ємні катіонами. В цьому розділі з провідників розглянемо лише метали. Метал являє собою кристалічну решітку , створену іонами металу, що міститься в газі вільних електронів. При утворенні кристалічної решітки, орбіти валентних електронів охоплюють сусідні атоми і в силу тотожності електронів уже не можна визначити якому атомові належить той чи інший електрон. Це означає, що валентні електрони, в межах кристала, можуть вільно пересуватися по всьому кристалу від одного атома до другого. Саме ця обставина лежить у понятті вільні електрони провідника. Якщо зарядити метал, то електричне поле усередині нього відсутнє. У противному воно було б джерелом направленого руху вільних електронів у провіднику, що буде суперечити закону збереження енергії. Таким чином можна стверджувати, що при внесенні зарядів на провідник,
вони будуть розміщуюватися тільки на поверхні металу. Розподіл цих зарядів і електричне поле не зміняться, якщо вилучити середину матеріалу провідника. Наприклад, напруженість електростатичного поля у просторі між різнойменно зарядженими металічними нескінченно довгими циліндрами з лінійною густиною заряду λ і радіусами r1 i r2 визначається лише зарядом внутрішнього циліндра, тобто
де r1 ≤ r ≤ r2 .
зарядженими і радіусами
сфери, тобто
де r1 ≤ r ≤ r2 .
E = 2πελo r ,
Або електростатичне поле у просторі між двома різнойменно
металічними сферами, що мають спільний центр, і зарядом q r1 i r2 напруженість визначається лише зарядом внутрішньої
E = |
q |
, |
|
4πεo r 2 |
|||
|
|
Оскільки поле усередині металу відсутнє, то пустотілий металевий провідник, наприклад, металева сітчаста клітка, при роботі спеціалістів із високою напругою, майже повністю екранує зовнішнє електричне поле.
Ця властивість провідників використовується для обладнання
електростатичного захисту людей при роботі з високовольтними лініями електропередачі та інше.
При внесенні провідника в електричне поле його вільні електрони переміщуються по провіднику назустріч полю, створюючи на зустрічній поверхні металу від'ємний заряд, а на протилежній стороні буде індукуватися додатній заряд іонів кристалічної решітки. Цей процес буде тривати доти,
В.М.Клименко. Електростатика 154
доки поле усередині металу не стане рівним нулю (Е = 0). Виникаючі при цьому на поверхні заряди називаються індукованими або наведеними.
Поверхня зарядженого провідника є еквіпотенціальною, бо у противному різниця потенціалів створила б електричне поле з відмінною від 0 тангенціальною складовою напруженості. Така напруженість підтримувала б направлений рух зарядів по поверхні провідника без джерела струму, що
суперечить закону збереження енергії. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Напруженість поля при поверхні зарядженого |
||||||||
|
провідника. Якщо на провіднику розмістити деякий |
||||||||
|
заряд, то він розподілиться на поверхні провідника з |
||||||||
|
деякою поверхневою густиною σ. Побудуємо на поверхні |
||||||||
|
провідника замкнену поверхню S у вигляді прямого |
||||||||
|
циліндра висотою ∆h та основою ∆S з нормаллю nr до |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
по нормалі nr |
основи (див.Мал.11). Вектор напруженості E направлений |
||||||||
зовні провідника (у середині поле відсутнє). |
За теоремою |
||||||||
|
r |
r |
rr |
|
де |
∆q = σ ∆S |
заряд у |
||
Остроградського-Гауса ∫∫ EdS =∫∫ EndS = ∆q / ε0 , |
|||||||||
|
S |
S |
|
|
r |
r |
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
середині циліндра. На поверхні основи циліндра n || E |
і nE = E , а на бічній |
||||||||
r r |
rr |
|
чином інтеграл |
по |
замкненій поверхні |
||||
поверхні n E |
i nE = 0. Таким |
||||||||
циліндра має відмінною від нуля складову |
по поверхні основи ∆S і потік |
||||||||
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ = ∫∫ EdS =∫∫ EndS = E∆S. |
Прирівнюючи |
цей |
вираз |
до |
∆q, |
одержимо |
|||
S ∆S
E= σ/ σ0 .
2.Діелектрики. Діелектриком називається речовина, яка при
звичайних умовах не проводить електричний струм, тобто в цій речовині на відміну від провідників додатні та від′ємні заряди зв′язані, а вільні носії струму практично відсутні.
Діелектрик називається неполярним, якщо у відсутності зовнішнього електричного поля центри "тяжіння" додатних і від'ємних зарядів у його молекулах співпадають. До них належать неполярні молекули, наприклад,
H2 , N 2 , O2 , CCl, CO2 , CH 4 і т.п.
Діелектрик називається полярним, якщо він складається з полярних молекул. Полярними називаються молекули ( H2 O, NH3 ,SO2 , CO ), в яких
центри "тяжіння" від'ємних та додатних зарядів у відсутності зовнішнього електричного поля не співпадають і така молекула має не рівний нулю
електричний дипольний момент ре. r
В електричному полі з напруженістю E центри "тяжіння" від'ємних та додатних зарядів неполярних молекул зміщуються один відносно одного і в них виникає (індукується) електричний дипольний момент і, як показують експериментальні дослідження, вектор дипольного моменту пропорційний напруженості електричного поля
В.М.Клименко. Електростатика 155
r |
|
pre = ε0 αE . |
(1) |
Коефіцієнт α називається коефіцієнтом поляризованості молекули.
Вектор поляризації діелектрика. Кількісною мірою поляризації
діелектрика служить вектор поляризації |
|
|||
r |
1 |
|
r |
|
P = |
|
∑ pei , |
(2) |
|
|
||||
|
∆V ∆V |
|
|
|
де prei електричний дипольний |
момент |
і-ої молекули, ∆V об'єм |
||
діелектрика. Сума береться по всім молекулам, які знаходяться в об'ємі ∆V . Таким чином вектор поляризації чисельно дорівнює дипольному моментові одиниці об'єму діелектрика. У звичайних умовах поляризація полярного діелектрика відсутня, тому що внаслідок хаотичного теплового руху молекул напрямки їх дипольних моментів рівномірно розподілені по всім
N |
r |
напрямкам простору і ∑ prei = 0 , тобто і вектор поляризації |
P дипольного |
i=1 |
|
діелектрика також дорівнює нулю. |
|
Експериментальні дослідження показали, що вектор |
поляризації як |
неполярного так і полярного діелектрика при невеликих напруженостях
зовнішнього поля можна записати у вигляді |
|
|
|
||
r |
r |
r |
|
|
|
P = nε0 αE = χε0 E , |
(3) |
|
|
||
де n концентрація молекул, |
χ = nα |
нерозмірна |
величина, що |
||
називається діелектричною |
сприйнятливістю середовища, |
r |
середня |
||
E |
|||||
напруженість поля усередині діелектрика. У неполярного діелектрика також χ=nα. У зовнішніх електричних полях у полярного діелектрика відбувається переорієнтація диполів молекул із хаотичного визначених тепловим рухом напрямків у напрямкові зовнішнього поля і поляризованість полярного діелектрика можна представити у вигляді
r |
|
1 |
N |
r |
r |
|
|
P |
= |
|
< ∑ pei >= n < pe >, |
(4) |
|||
V |
|||||||
де < pre > середнє |
|
i=1 |
|
|
|
||
значення |
вектора |
дипольного моменту молекули у |
|||||
малому об'ємі ∆V. Якщо енергія диполя в електричному полі pei E << kT , то величина середнього дипольного моменту молекули дорівнює
r |
p2 |
r |
|
|
< pe > = |
e |
E , |
(5) |
|
3kT |
||||
|
|
|
при цьому діелектричну сприйнятливість полярного діелектрика можна записати у вигляді
np2
χ = e (6) 3ε0 kT
формула Дебая-Ланжевена. Зауважимо, що при поляризації дієлектрика зовнішнє поле виконує роботу
В.М.Клименко. Електростатика 156
E2 r
A = ∫ PdE ,
E1
яку при невеликих напруженостях можна обчислити таким чином
E2 |
|
1 |
|
|
|
|
E2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
A = ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
εo χEdE = |
|
εo χE |
|
|E1 |
= |
|
(PE)2 − |
|
(PE)1 |
||||
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
∆(PE) . |
|
(7) |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця робота йде на створення енергії поляризованого діелектрика.
r
§ 7. Напруженість поля E нескінченно великої зарядженої
площини та її потенціал
1. Напруженість поля
Визначення. Якщо точка знаходиться від площини на відстані значно меншій ніж лінійні розміри площини, то площина називається нескінченно великою по відношенню до даної точки. При цьому розуміємо, що дана точка знаходиться також достатньоr віддалено від границь площини.
Напруженість поля E нескінченно великої зарядженої площини направлена перпендикулярно до поверхні площиниr , бо у противному
тангенціальна складова E τ напруженості була б
відмінна від 0 і стала б джерелом руху зарядів по поверхні, що суперечить закону збереження енергії. Окрім цього, зазначимоr , що поле
площини є однорідним ( E =const). За величиною напруженість поля зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ дорівнює
Е = |
σ |
. |
(6) |
|
|||
|
2εo |
|
|
Для доведення цього, розглянемо потік Ф вектора напруженості через поверхню циліндра, побудованого так, що його вісь площині, а перерізом циліндра є круг площеюr ∆S (див.Мал.12). На поверхні основиr циліндра
нормаль nroc || Er і ErdS = EdS , а на бічній поверхні nrб Er і ErdS = 0. Таким чином інтеграл по замкненій поверхні циліндра має відмінними від нуля
складові по поверхні двох основr∆rS і тому потік
Ф = ∫ EdS= 2 ∫ EdS = 2E∆S.
S ∆S
Усередині циліндра знаходиться заряд ∆q = σ∆S і тоді
В.М.Клименко. Електростатика 157
Φ = ∆q = σ ∆S . εo εo
Прирівнюючи вирази для Ф, маємо
2E∆S = σ ∆S
εo
і остаточно
E = σ . 2εo
Електростатичне поле, створене двома нескінченно великими різнойменно зарядженими площинами
(див.Мал.13) з однаковою величиною поверхневої густини заряду σ,
знаходиться між ними і його |
напруженість E = |
|
σ |
. Дійсно, |
як видно з |
|
|
||||
|
|
|
εo |
r |
|
Мал.13, за межами простору |
між площинами, |
напруженості |
поля E ± , |
||
створюваного кожною з них, взаємно протилежні і їх векторна сума дорівнює 0. У просторі між площинами напруженості поля Е± паралельні і величина їх векторної суми дорівнює
|
|
|
E = 2E ± = 2 |
σ |
= |
σ |
. |
(7) |
|
|
|
|
|
|
2εo |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
εo |
|
|
|
|
||
2. Потенціал поля нескінченно великої зарядженої площини. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай |
вісь Ох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нескінченно |
великій |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
зарядженій |
площині |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхневою |
густиною |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
заряду σ. Для знаходження |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
різниці |
потенціалів |
між |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точками, що знаходяться на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
відстанях х1 та х2 від |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
площини |
з |
d = x 2 − x1 , |
|
скористаємося зв'язком напруженості та потенціала поля |
|
|
|
||||||||
|
2 r |
r |
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 − ϕ2 = ∫ Edl |
= ∫ Edlcosα = ∫ Edx = E(x 2 − x1 ) = Ed . |
(8) |
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
x1 |
|
|
r |
|| Ох і dl cos α = dx , де α |
|||
Обчислюючи |
ϕ1-ϕr2, миrзважили на те, що E |
||||||||||
кут між векторами E |
rта dl (див.Мал.14 а). |
паралельними |
різнойменно |
||||||||
Якщо |
поле |
E |
створюється |
двома |
|||||||
зарядженими площинами, то різниця потенціалів всередині між площинами визначається також виразом (8) з відповідним значенням величини Е
(див.Мал.14б).
В.М.Клименко. Електростатика 158
r
§ 8. Напруженість поля E зарядженого циліндра та його потенціал
Визначення. Якщо точка знаходиться від циліндра на відстані значно меншій ніж лінійні розміри циліндра, то циліндр називається нескінченно довгим по відношенню до даної точки. При цьому розуміємо, що дана точка знаходиться також достатньо віддалено від кінців
циліндра. |
|
|
r |
|
Напруженість поля E нескінченно довгого |
||||
зарядженого циліндра (див.Мал.15) із радіусом основи r та |
||||
лінійною густиною заряду λ направлена по нормалі до |
||||
бічної поверхні циліндра, бо в противному тангенціальна |
||||
r |
|
|
|
|
складова E τ напруженості була б відмінна від 0 і була б |
||||
джерелом руху зарядів по поверхні, що суперечить закону |
||||
збереження енергії. За величиною |
|
|||
|
E = |
λ |
|
(1) |
|
2πεo R |
|||
|
|
|
||
для R > r. Для доведення цього, |
побудуємо на осі циліндра другий циліндр, |
|||
що охоплює перший, із твірною ∆l і радіусом основи R>r. На поверхні основи |
|||||||||||
циліндра |
нормаль |
до неї |
r |
r |
r |
r |
а |
на |
бічній поверхні |
||
noc E i nocE = 0, |
|||||||||||
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
nб || E i |
nбE = E . Таким чином інтеграл по замкненій поверхні циліндра має |
||||||||||
відмінною від нуля складову по бічній поверхні ∆S = 2πR∆l і потік |
|||||||||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = ∫ dФ = ∫ EdS = ∫ EdS = E∆S, Ф = E 2πR |
∆l |
|||||||
|
|
|
|
S |
∆S |
|
|
|
|
|
|
Усередині |
циліндра |
знаходиться |
заряд |
∆q = λdl |
і |
за |
теоремою Гауса- |
||||
Остроградського
Ф= ∆q = λ 2πR∆l .
εo εo
Прирівнюючи вирази для Ф, маємо E 2πR∆l = λ |
∆l |
і остаточно |
|||||||
|
|||||||||
|
|
λ |
|
ε0 |
|
|
|
||
Е= |
|
. |
|
|
|
|
|
||
2 πε oR |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Потенціал поля нескінченно великого зарядженого циліндра. |
|||||||||
Розглянемо нескінченно довгий рівномірно заряджений циліндр радіуса R із |
|||||||||
лінійною густиною заряду τ. Зважаючи на те, що вектор |
r |
направлений |
|||||||
E |
|||||||||
уздовж радіальних прямих циліндра, |
|
|
r r |
= Edlcosα = Edr , |
|||||
можна записати Edl |
|||||||||
r |
r |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
де α кут між векторами E та |
dl |
(див.Мал.16), та E = |
|
, різницю |
|||||
2πεor |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
В.М.Клименко. Електростатика 159
потенціалів між точками, що знаходяться на відстанях r1 та r2 від осі циліндра ( r2 > r1 ≥ R ), можна записати у вигляді
2 |
r |
r |
r2 |
r2 |
λ |
|
|
|
λ |
|
|
r2 |
|
ϕ1 − ϕ2 = ∫ Edl |
= ∫ Edr =∫ |
|
|
|
dr = |
|
|
ln |
|
. |
|||
2πε |
o |
r |
2πε |
o |
r |
||||||||
1 |
|
|
r1 |
r1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
(2)
Якщо розглядаються два співвісні різнойменно заряджені металеві циліндри з радіусами r1 та r2 , то в просторі між ними поле
створюється лише зарядом внутрішнього циліндра з напруженістю
E= 2πελor ,
арізниця потенціалів між поверхнями циліндрів становить
ϕ − ϕ |
|
|
= |
|
λ |
|
|
ln |
r2 |
. |
(3) |
|||
|
|
2πε |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
o |
|
|
r |
|
||||
Якщо r1 = r, r2 = r + d, d << r , то |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
r2 |
|
|
|
|
|
+ d) d |
||||||||
ln |
|
= ln(1 |
||||||||||||
r |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
||||||
і |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ1 − ϕ2 |
= |
|
|
|
|
|
d = Ed . |
(4) |
||||||
|
2πεo r |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Цей результат збігається з випадком для різниці потенціалів для двох різнойменно заряджених нескінченних площин.
r
§ 9. Напруженість поля E зарядженої сфери та її потенціал
|
|
r |
|
|
|
Напруженість поля E зарядженої сфери радіуса r, що |
|||||
містить заряд q, для R>r |
направлена по радіальним прямим |
||||
(див.Мал.17) і за величиною дорівнює |
|
||||
E = |
|
q |
|
. |
(1) |
4πr 2 |
|
||||
|
εo |
|
|||
Для доведення цього результату розглянемо сферу радіуса R>r, центрr якої співпадає з центром зарядженої сфери. Нормаль n до сфери направлена по радіальнійr
прямій іr співпадає з напрямкомr напруженості поля E
(тангенціальна складова E відсутня), тому Enr = E =const на всій поверхні сфери. Запишемо потік напруженості
Ф = ∫ EdS = E∫ dS = E 4πR 2 . |
(2) |
S S
В.М.Клименко. Електростатика 160
За теоремою Остроградського-Гаусса
E 4πR 2 = q
ε0
і остаточно маємо
q
E = 4πεo R 2 ,
що й треба було довести. Цей результат збігається з напруженістю поля точкового заряду з тої причини, що задача має з сферичною симетрією розподілу макроскопічного заряду.
Потенціал зарядженої сфери. Потенціал зарядженої сфери радіуса
R із зарядом Q на відстані від центра r ≥ R дорівнює |
|
||||||||
|
ϕ = k Q . |
|
|
(3) |
|
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
Різниця потенціалів між точками, що знаходяться на відстанях r1 та r2 |
|||||||||
від центра дорівнює |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
ϕ1 − ϕ2 |
= Q ( |
− |
) |
. |
(4) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
r1 |
r2 |
4 πε o |
|
||||
Поле двох різнойменно заряджених сфер із радіусами r та R>r й зарядом Q створюється лише внутрішньою сферою, а тому різниця потенціалів між сферами дорівнює
|
ϕ1 − ϕ2 |
|
= Q ( |
1 − |
1 |
|
) |
1 |
|
|
|
. |
|
(5) |
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Якщо R = r + d, r >> d , то |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
4 πε o |
|
|
|
||||||||||
|
1 − |
1 |
|
|
|
R − r |
|
|
|
d |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
||||||||||||
і |
|
|
r |
|
|
|
|
|
rR |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= Q ( 1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Q |
|
|
|
||||
ϕ1 − ϕ2 |
− |
|
) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
d = |
Ed . |
(6) |
|||||||||
|
4 |
πε o |
|
|
4 |
πε o |
r 2 |
|||||||||||||||||
|
r |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Цей результат також збігається з випадком для різниці потенціалів для двох різнойменно заряджених нескінченних площин.
§ 10. Електростатичне поле в діелектрику
Якщо |
діелектрик |
помістити |
у зовнішнє |
електричне |
поле |
r |
з |
|
напруженістю |
r |
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
, то в |
ньому буде |
індукуватися |
внутрішнє |
поле |
E' |
||
(див.Мал.18), створене орієнтацією зв'язаних зарядів молекули: електрони
атомів розмістяться назустріч полю, а ядра за полем. Сумарне поле буде |
|
r r |
r |
мати напруженість E = E0 |
+ E'. Можна показати, що в ізотропних |
В.М.Клименко. Електростатика 161
|
r r |
|
безрозмірна |
діелектриках |
E = E0 |
/ ε, де ε =1 + χ |
|
величина, |
яка |
називається |
діелектричною |
проникливістю.
Дійсно, розглянемо поле в діелектрикові, що знаходиться між двома нескінченно великими різнойменно зарядженими пластинами площею S і
поверхневою |
густиною |
заряду |
σ |
(див.Мал.18). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
Напруженість |
поля |
E' r |
направлена в |
напрямкові |
||||||||
протилежному вектору E0 і величина результуючої |
||||||||||||
напруженості E = E0 − E' . |
Напруженість |
поля між |
двома |
різнойменно |
||||||||
заряджении паралельними пластинами є |
|
|
|
|
|
|
||||||
E0 |
= |
σ |
, |
E' = |
σ' |
, |
|
(1) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ε |
o |
|
ε |
o |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де σ' поверхнева густина зв'язаних зарядів діелектрика. Дипольний момент діелектрика дорівнює p = Qd = σ'Sd , d відстань між пластинами.
Величина вектора поляризації діелектрика |
|
|
|
|
|
||||||||
P = |
p |
= |
σ'Sd |
= |
σ'Sd |
|
= σ' . |
|
(2) |
||||
|
|
Sd |
|
||||||||||
|
V |
V |
|
|
|
|
|
|
|||||
З іншого боку, |
P = δε0 E . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Порівнюючи одержані вирази для Р, знайдемо, що |
|
||||||||||||
σ' = χε0 E |
i E' = σ' /ε0 |
= χE . |
|
(3) |
|||||||||
Таким чином остаточно маємо |
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
|
||||
Е = Е0 - Е' = Е0 |
- χЕ і E = |
|
, |
(4) |
|||||||||
ε |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Що й треба було довести.
§ 11. Індукція електростатичного поля D. Теорема Остроградського-Гауса для індукції
Для характеристики деяких властивостей електричного поля вводиться |
|||
|
|
|
r |
поняття електричного зміщення (індукції) електричного поля D . За |
|||
визначенням у вакуумі |
v |
r |
|
в ізотропному діелектрику |
D |
= ε0E , |
(1) |
v |
r |
|
|
|
D = εε0E . |
(2) |
|
Теорема Остроградського-Гауса для електричного зміщення є |
|||
|
r |
r |
|
|
∫ DdS = q , |
(3) |
|
S