Физика / 6.______________

В.М.Клименко. Електростатика 143

Розрахуємо значення а, при якому похибка при розляді диска, як нескінченної площини, не перевищує 0,05

Приклад 1. Яка робота виконується при перенесенні точкового заряду q=20 нКл з нескінченності в точку, яка знаходиться на відстані r=0.01 м від поверхні кулі з радіусом R=0.01 м з поверхневою густиною заряду σ =10 µКл/м2.

Дано: q = 20 10−9 Кл, r =10−2 м, R =10−2 м, σ =10−5 Кл м−2 , A-?

Розв'язок

1). Заряд кулі

3). Робота по перенесенню заряду з нескінченності в точку, що відстоїть від центра кулі на відстані L дорівнює

A = q(ϕ − ϕ∞ ) = qϕ =1.13 10−4 Дж.

Приклад 2. Два точкових заряди q1 =27 нКл та q2 =-10 нКл перебувають у повітрі на відстані d=10 см один від одного.

Визначити:

а) напруженість поля, утвореного цими зарядами в точках А, В і С, розташування яких відносно зарядів показано на малюнкові 6 (відстані дано в сантиметрах);

б) силу, з якою поле, утворене зарядами q1 та q2 діє на заряд q1 =-1.7 нКл , вміщений у точку С;

в) потенціал поля в точці С;

В.М.Клименко. Електростатика 144

г) знайти точку D, в якій будь-який точковий заряд буде знаходитись в рівноважному стані. .

Розв’язок а). Напруженість електричного поля Е в якійсь точці поля, створеного

двома зарядами, визначається за принципом суперпозиції полів, тобто дорівнює векторній сумі напруженостей, що створює кожен з зарядів

r

де E1 — напруженість поля, створеного зарядом q1 , E2 — напруженість поля, створеного зарядом q2 . Абсолютна величина напруженості поля, створеного точковим зарядом q, визначається за формулою

де г — відстань від заряду до точки, в якій визначається напруженість поля; ε0 — електрична стала; ε — діелектрична проникність середовища.

Напрямок напруженості електричного поля визначається за таким правилом: напруженість поля, створеного позитивним зарядом, напрямлена від заряду, а поля, створеного негативним зарядом, — до заряду. Скориставшись цим правилом, а також формулами (1) та (2), знаходимо напруженості поля в точках А, В і С (див.Мал.6).

Умовимось відстані від точки поля до заряду позначати так rА1 — відстань від точки А до заряду q1 і т.п. Таким чином маємо

rA1 = 0.04м,rB1 = 0.05м,rC1 = 0.09м,rC2 = 0.07м,ε0 =8.85 10−12 Ф/ м

Підставивши числові значення величин у формулу (2) та обчислюючи,

В.М.Клименко. Електростатика 145

r r

Вектори EA1 та EA2 лежать на одній прямій і однаково направлені тому

результуюча напруженість Е матиме той самий напрям (на кресленні — праворуч від точки А) й чисельно дорівнюватиме сумі абсолютних значень напруженостей, що додаються, тобто

EA = EA1 + EA2 =17.7 104 B/ м.

результуюча напруженістьr ЕВ матиме напрямок більшої напруженості, тобто в напрямку EВ (на малюнку — ліворуч від точки В) й чисельно

дорівнюватиме різниці абсолютних значень напруженостей, які додаються, тобто

EВ = EВ1 − EВ2 =9.32 104 B/ м.

туюча напруженість збігатиметься за величиноюr r та напрямом з діагоналлю паралелограма, утвореного векторами EC1 та EC2 .

Абсолютне значення результуючої напруженості ЕС знайдемо з векторного трикутника (див. мал.6).

Підставивши числові значення величин у формулу (3), дістанемо

EC = 9 108 +3.24 108 −2 3 104 1.8 104 = 3.1 104 В/м

б). Силу, яка діє на заряд, вміщений в точку поля С, знаходимо за формулою

Підставивши в (4) числові значення величин, одержимо

F =5.27 10−5 H .

В.М.Клименко. Електростатика 146

Напрямок сили F, що діє в електричному полі на заряд, збігається з напрямом напруженості поля, якщо цей заряд позитивний, і протилежнийr

йому, якщо заряд негативний. rУ нашому випадку вектор сили F протилежний до напрямку вектора EC (див. мал.6).

в). Потенціал ϕ в даній точці електричного поля, створеного двома зарядами, дорівнює алгебричній сумі потенціалів ϕ1 та ϕ2 створених кожним з зарядів

Потенціал поля точкового заряду на відстані r від нього визначається за формулою

Підставивши в цю формулу відповідні числові значення величин, одержимо

ϕC = ϕ1 − ϕ2 =1.4 103 B .

г). На заряд q, вміщений у довільну точку електричного поля двох зарядів q1 та q2 , діють дві сили, величини яких визначаємо за законом Кулона

Щоб заряд q в точці D був у рівновазі, векторна сума сил F1 та F2 повинна дорівнювати нулю, тобто самі сили мають бути рівними за величиною й протилежними за напрямками. Це можливе тільки в тому випадку, якщо

В.М.Клименко. Електростатика 147

Підставивши в одержане рівняння числові значення й розв'язавши його відносно rD2 , одержимо

r'D2 =0,16 м, r''D2 = -0,04 м.

Другий корінь відкидаємо, оскільки він не задовольняє умові задачі. Таким чином, точка D, в якій заряд q перебуватиме у рівновазі, лежить на

прямій лінії, що проходить крізь заряди q1 і q2 , за зарядом q2 на відстані 0,16 м від нього.

§ 4. Електричний диполь та його поле

Якщо система з двох різнойменних точкових зарядів величиною q, відстань між якими l, розглядаються на відстані r>>l, то вона називається диполем. Величина l rплече диполя. Диполь характеризується вектором

дипольного моменту pr = ql , направленим від від'ємного заряду до додатного.

Важливість розгляду електричного поля диполя зумовлюється тим, що природні джерела електромагнітного випромінювання можна моделювати електричним диполем. Така модель може достатньо точно описати енергію джерел як функцію просторових координат та часу.

1. Потенціал електричного поля диполя

Знайдемо потенціал та напруженість електричногоr поля диполя в точці А з радіус-вектором r відносно середини плечаr диполя О та кутом ϑ між rr та моментом p

(див. Мал.7). Потенціал системи двох точкових зарядів у точці А дорівнює алгебраїчній сумі

В.М.Клименко. Електростатика 148

2. Напруженість електричного поля диполя

Якщо ввести підходящуr систему координат, то напруженість

електричного поля диполя E в точці А можна розрахувати за формулою r

E = −gradϕ,. Такою системою на площині може бути система базисних ортонормованих векторів err || rr та erϑ rr . Вектор erϑ направлений у сторону зростання кута ϑ. Оператор grad у цих координатах має складовими

При повороті диполя на кут dα, поле виконує роботу

δA = Mdα = pE sin αdα = −d(pE cos α) .

В.М.Клименко. Електростатика 150

Ця робота виконується зовнішим полем на створення механічної

потенціальної енергії Wм диполя в електричному

§5. Потік вектора напруженості, теорема Остроградського-Гауса та

їїзастосування

1. Просторовий (тілесний) кут

Розглянемо сферу і конус, вершина якого співпадає з центром сфери О, а твірна конуса більше радіуса сфери (див.Мал.9). Під тілесним (просторовим) кутом ω розуміють частину простору, обмежену бічною Sб поверхнею конуса. Мірою тілесного кута ω

є відношення поверхні сфери Sсф , вирізаної ним до квадрата радіуса r

Тілесний кут має одиницею вимірювання — стерадіан (стрд). Якщо вирізана конусом поверхня сфери Sсф дорівнює r 2 , то тілесний кут дорівнює

1 стрд. Увесь просторовий кут, що спирається на поверхню сфери Sсф = 4πr 2 дорівнює 4π стрд.

В.М.Клименко. Електростатика 151

Зауваження. Поверхня Sсф є перпендикулярною (нормальною) поверхнею

Потік вектора напруженості Е, створеного точковим зарядом dq для довільної поверхні S записується у вигляді

де ΩS − тілесний кут, що спирається на поверхню S.

3. Теорема Остроградського-Гауса

Нехай у вакуумі є система з М точкових qi та N макроскопічних електричних зарядів Q j . Оточимо укупність зарядів qi та Q j в об'ємі VS довільною замкненою поверхнею SV . Величина

оточеного заряду може бути записана як величина розподіленого в об'ємі заряду

Q = ∑ Qi +∑ qi = ∫∫∫ ρdV

N M VS

з густиною заряду ρ і елементарним зарядом dq =ρdV .