Физика / 6.______________

В.М.Клименко. Електростатика 162

де q алгебраїчна сума вільних зарядів, що містяться усередині замкненої поверхні діелектрика S. Цей результат можна одержати, якщо в теоремі Остроградського-Гауса для напруженості поля, поряд із вільними, врахувати

зв'язані заряди q' = ∫ σ'dS поляризованих молекул, розташованих на поверхні

S

діелектрика з поверхневою густиною σ'. Усередині діелектрика звязані

S

§ 12. Граничні умови для електричного поля в діелектрику

Граничні умови для електричного поля при переході границі двох діелектриків із діелектричними проникливостями ε1 та ε2 мають вигляд

Індекс τ означає тангенціальну до граничної поверхні, а індекс n нормальну складову відповідного вектора.

Для доведення цих співвідношень

1. Умови, що виникають із циркуляції напруженості поля.

Розглянемо контур, який охоплює дільницю границі dl розділу двох

В.М.Клименко. Електростатика 163

діелектриківr у вигляді прямокутникаr з основою ∆l , що лежить на дотичній ( ∆l || τ) та бічною стороною ∆h || nr, де nr − нормаль до dl (див.Мал.19). Обхід контуру при інтегруванні будемо робити в напрямі проти годинникової стрілки. Спрямуємо ∆h до 0 так, щоб верхня основа залишаласьrв діелектрикуr

1, а нижня в діелектрику 2. При цьому границя інтеграла від E1dl по бічній поверхні буде рівна нулю. На верхній основі обхід контуру проти

годинникової стрілки буде протиr вектора vτ і

Er1dl = Er1rτdl = −E1τdl .

(обхід контуру в напрямку τ). Тепер інтеграл по замкненому контуру ∫ Еdl

L

буде мати відмінними від нуля складові по основам ∆l, які можна записати так

В підсумку маємо

В.М.Клименко. Електростатика 165

(крива 1 2), поляризованість зменшується також нелінійно, але по іншій залежності так, що на зворотному шляху поляризованість залишається більшою ніж на попередньому шляху для одних і тих же значень Е. При досягненні значення Е=0 у сегнетоелектрику спостерігається залишкова поляризованість P0 , яка зникає лише під дією електричного поля

протилежного напрямку при величині напруженості ЕС. Напруженість Ес називається коерцитивною силою. При подальшому збільшенні напруженості цього напрямку (ділянка 2 3) поляризованість зростає до насиченого значення PS2 , але протилежного до напрямку PS1 . При зменшенні

напруженості цього поля до Е=0 (крива 3 4) у сегнетоелектрику теж спостерігається залишкова поляризованість P0. При зміні напрямку напруженості електричного поля й збільшенні її величини до ЕС (крива 4 1) поляризованість знову стає рівною нулю, а подальше збільшення Е створює насичену поляризованість PS . В цьому процесі криві 1 2 3 4

залежності Р від Е створюютьrпетлю, яка називається петлею гістерезису. Площа петлі гістерезису ∫∫ PdE дорівнює енергії, що витрачається на

S

переполяризацію сегнетоелектрика і вона рівна кількості теплоти,r що виділяється в ньому при повній зміні напряму вектора поляризованості PS .

Зауваження.

1.Результат поляризації сегнетоелектрика залежить від перед історії його стану, функція P=P(E) є неоднозначною.

2. Залежність P = χE cправджується лише для головної гілки намагнічування 0 1, представленої на Мал.18.

3.При поляризації сегнетоелектрика змінюється його форма та розміри явище електрострикції.

4.Механічна деформація змінює поляризацію сегнетоелектрика .

§14. Електроємність провідників

1.Ємність відокремленого провідника. Відокремлений провідник,

тобто такий, що не взаємодіє з іншими зарядженими тілами, має потенціал ϕ пропорційний розміщеному на ньому зарядові q і тому можна записати, що

q=Cϕ. Коефіцієнт пропорційності С називають електроємністю відокремленого провідника. Електроємність С залежить від геометричної форми та розмірів провідника. Розмірність електроємності [C]=В/м=Фарад, або скорочено [С]=Ф. Наприклад, електроємність відокремленого провідника, що є сферою з радіусом R дорівнює

В.М.Клименко. Електростатика 166

З цього виразу можна визначити розмірність електричної сталої [ε0 ]=Ф/м.

Електроємність кулі, що має радіус рівний радіусу Землі RЗ = 6,4 106м, дорівнює СЗ = 712 µФ.

2. Взаємна електроємність. Взаємна електроємність С двох різнойменно заряджених провідників із величиною заряду q визначається як

С = q , де ϕ1 і ϕ2 потенціали провідників. Ємність С залежить від

ϕ1 − ϕ2

геометричної форми провідників та їх взаємного розташування. Зауваження. Названі провідники можуть взаємодіяти з іншими

зарядженими тілами, а їх електричне поле діє у навколишньому просторі.

§ 15. Конденсатори

Конденсатором називається така система з двох різнойменно заряджених провідників з однаковою величиною заряду q, електростатичне поле якої зосереджується в обмеженому просторі між провідниками. Самі провідники називають обкладками конденсатора. До таких провідників можна віднести

•паралельні нескінченно великі площини плоский конденсатор;

•коаксіальні циліндри з близькими значеннями радіусів основ циліндричний конденсатор;

•дві сфери зі співпадаючими центрами та близькими значеннями радіусів

де ϕ1,ϕ2 потенціали провідників, U різниця потенціалів.

1. Плоский конденсатор утворюється двома металевими пластинами (обкладки конденсатора) площею S із відстанню d між ними, причому d<< лінійних розмірів пластин (див.Мал.22). Електростатичне поле пластин зосереджується усередині між ними. Між пластинами може розміщуватися діелектрик із діелектричною проникливістю ε. Електроємність плоского

конденсатора становить

Дійсно, напруженість поля між пластинами E = σεε0 , різниця потенціалів

U=ϕ1 - ϕ2=E d, q=σS і остаточно маємо

В.М.Клименко. Електростатика 167

С= Uq = εεdoS .

2.Циліндричний конденсатор складається з двох співвісних металічних тонкостінних циліндрів (обкладок конденсатора) висоти h і

радіусів R1 та R2, причому h >> R1, R2. Електростатичне поле зосереджується усередині конденсатора й утворюється лише внутрішньою обкладкою. Електроємність циліндричного конденсатора можна розрахувати так:

Якщо d=R1 - R2 <<R1, то ln (R1 / R2)=ln(1+d/R1)≈d/R1 і тоді вираз для ємності циліндричного конденсатора приймає вид ємності плоского конденсатора

С= εεdoS ,

де S = 2πhR1 бічна поверхня циліндра.

3. Сферичний конденсатор складається з двох концентричних металічних тонкостінних сфер (обкладок конденсатора) радіусів R1 та R2. Електростатичне поле зосереджується усередині конденсатора й утворюється лише зарядом внутрішньої сфери. Напруга між обкладками

Нехай R2 - R1 = d << R1, R2 і R1 = R2 = R. Площа поверхні сфери S = 4πR2 i тоді

При паралельному з'єднанні конденсаторів у батарею, їх загальна ємність дорівнює сумі ємностей усіх конденсаторів батареї. Дійсно, при такому з'єднанні сумарний заряд Q на обкладинках батареї конденсаторів

що й треба було довести.

В.М.Клименко. Електростатика 168

При послідовному з'єднанні конденсаторів у батарею величина обернена їх загальній ємності дорівнює сумі величин, обернених ємностям усіх конденсаторів батареї. Дійсно, при такому з'єднанні сумарна напруга на обкладинках батареї конденсаторів дорівнює сумі напруг на всіх конденсаторах U = ∑ Ui , а заряд q буде однаковим як для батареї так і для

що й треба було довести.

Приклад 1. Електрон летить від одної до другої пластини зарядженого до U=3 кВ конденсатора. Відстань між пластинами d=5 мм. Знайти силу F, що діє на електрон, прискорення електрона, швидкість, із якою він долітає до

другої пластини, та поверхневу густину заряду σ на пластинах.

Дано: U=3 103 В, d=5 10-3 м, E=1,6 10-19 Кл, F-?, a-?, V-?, σ-?

3).Кінцеву швидкість розрахуємо з формули, для прямолінійного

рівноприскореного руху

V2=2ad

4). Густину поверхневого заряду знайдемо через напруженість поля

§ 16. Електрична енергія заряджених провідників. Енергія електростатичного поля

1. Енергія системи з N нерухомих точкових зарядів

Енергія системи з двох точкових зарядів q1 і q2 , відстань між якими становить r12 = r21, є енергія взаємодії одного заряду з другим і може бути записана як енергія одного заряду в полі другого так

В.М.Клименко. Електростатика 169

тобто енергії взаємодії рівні між собою і дорівнюють енергії системи

W = W1 = W2

W = 12 (q1 ϕ12 + q2 ϕ21) .

Аналогічно можна розглянути систему з трьох і більше зарядів, враховуючи їх попарну взаємодію (принцип суперпозиції), і тоді

Доведемо це твердження. Нехай на провідник нанесено заряд q. Він створить на поверхні провідника потенціал ϕ. Для збільшення заряду на провіднику на величину dq потрібно виконати роботу

Ця робота йде на приріст потенціальної енергії провідника W i δA=dW. Прирівнюючи вирази для роботи, одержимо

де U=ϕ1-ϕ2.

Енергія циліндричного та сферичного конденсаторів має такий само вигляд як і для плоского.

4. Сила тяжіння між пластинами зарядженого конденсатора.

Потенціальну енергію зарядженого плоского конденсатора можна

В.М.Клименко. Електростатика 170

де х відстань між пластинами. Величину сили взаємодії між пластинами знайдемо через градієнт потенціальної енергії

5. Енергія електростатичного поля.

У зв'язку з тим, що електричне поле, наприклад, плоского конденсатора існує лише у обмеженому просторі об'ємові конденсатора, тому можна вважати, що енергія зарядженого конденсатора тотожня енергії електричного поля

де Е напруженість, а D електричне зміщення поля.

Об'ємна густина енергії поляризації діелектрика може бути знайдена шляхом віднімання від об'ємної густини електричної енергії поля у діелектрику об'ємної густини електричної енергії поля у вакуумі при рівних

Приклад 1. На заряд q=4.5 10-9 K, вміщений між пластинами конденсатора ємністю С=17,8 πФ, діє сила F=9.81 10-5 H. Площа пластини конденсатора S=10-2 м2, діелектрик — повітря. Визначити:

а) різницю потенціалів між пластинами; б) заряд, на пластинах конденсатора;

в) густину енергії й енергію поля конденсатора; г) силу тяжіння між пластинами.

Розв'язок а). Поле конденсатора однорідне, тому для визначення різниці потенціалів

між пластинами конденсатора скористаємось співвідношенням

U=Ed (1)

В.М.Клименко. Електростатика 171

де E — напруженість електричного поля конденсатора; d — відстань між пластинами.

Напруженість поля Е, що входить у формулу (1), знайдемо з формули

Відстань між пластинами конденсатора d знайдемо з формули ємності