Физика / 6.______________
.pdf
В.М.Клименко. Електростатика 172
Підставивши в цей вираз числові значення величин, знайдемо
F=2.1 10-5 H.
Для знаходження тиску, поділимоши ліву та праву частини (10) на S p = SF = w .
Таким чином тиск чисельно дорівнює густині енергії електричного поля.
§ 17. Процес релаксації в контурі з ємністю
Розглянемо електричний контур з омічним опором R та ємністю С (див. Мал.21). Залежність величини заряду q від часу t при зарядці й розряді конденсатора визначається величиною ємності С. Знайдемо цю залежність.
При замиканні ключа К на контакт 2, конденсатор почне заряджатися. За законом Ома ІR + Uc = Е. Зважаючи, що Uc = q/C та І = dq/dt, одержимо диференціальне рівняння
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R dq |
+ |
q |
|
=ε. |
(1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
C |
|
|
|
||||
|
Розв'язком (1) є сума загального розв'язку |
однорідного |
|||||||||||||||||||
|
рівняння |
|
|
|
|
dq + |
|
q |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
(2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
RC |
|
|
|
||||
та частинного розв'язку неоднорідного рівняння |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dq |
+ |
|
q |
= ε. |
|
(3) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розділивши в (2) змінні, одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dq |
= − |
|
dt |
. |
|
|
(4) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Після інтегрування одержимо |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ln q = − |
|
+ ln A , |
|
|
|
||||||||||||
або |
|
|
|
RC |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
qç = Ae−t / RC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|||||||||||||
Частинний |
розв'язок |
(3) |
|
шукаємо у |
вигляді |
q=В і |
після |
підстановки |
|||||||||||||
одержимо |
B =εC = q0 , |
де |
q0 |
|
є |
максимальний |
заряд |
конденсатора при |
|||||||||||||
електрорушійній силі Е. Остаточно розв'язок рівняння буде мати вигляд |
|||||||||||||||||||||
|
|
q = Ae−t / RC + q0 . |
(6) |
|
|
||||||||||||||||
Якщо в момент часу t=0 і q=0, то стала A=-q0 і після нескладних перетворень одержимо
В.М.Клименко. Електростатика 173
q = qo (1−e−t / RC ) . |
(7) |
Якщо в момент часу t=0 заряд конденсатора мав q=q0 при вимкненій електрорушійній силі Е (ключ К перемкнуто на контакт 1 і Е=0), то розв'язок буде мати вигляд
|
q = Ae−t / RC . |
(8) |
|
Після підстановки початкових значень знайдемо, що стала А=q0 і тоді |
|||
|
q = qoe−t / RC . |
(9) |
|
Час τ за який величина заряду зменшиться в е раз називається часом |
|||
релаксації. Обчислимо величину τ. За визначенням маємо |
|||
|
q0 |
1 |
|
|
|
= e |
(10) |
|
q0e−τ/ RC |
||
і звідси |
|
|
|
|
τ = RC. |
(11) |
|
Приклад 1. Визначити закон зміни напруги на обкладках конденсатора при замиканні ключа К (див.Мал.24). Через який час, після початку зарядки, напруга на конденсаторі становитиме 90% від свого найбільшого значення,
якщо R1=40 кОм, R2=20 кОм, С=0.2 µФ.
Роз′язок В процесі зарядки конденсатора напруга на ньому буде дорівнювати напрузі на опорі R2
UC(t)=UR=I2R2=ϕ2-ϕ1,
де I2 – струм, що проходить через R2 в процесі зарядки конденсатора, ϕ1,2 потенціали в точках 1 та 2 під час зарядки відповідно. Струм через конденсатор можна записати через заряд Q на ньому
IC = dQdt ,
а струм через опір R1 складатиме
I1(t) =І1=ІС+І2.
Позначимо індексом 0 величини після закінчення зарядки конденсатора. Тепер струм через конденсатор припиниться і струми через опори R1 та R2 будуть дорівнювати
I10 = I20 = R1 +E R 2 ,
а максимальна напруга на конденсаторі й опорові R2 становитиме
U = E R2 . |
||
C0 |
R1 |
+R2 |
|
||
У процесі зарядки конденсатора
I1(t)R1=ϕ1-ϕ2+E
В.М.Клименко. Електростатика 174
і з урахуванням (1) та (2) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
U |
C |
|
dU |
C |
|
|
|
|
|
|
dU |
C |
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
R |
1 |
= −U |
C |
+ E a |
|
= E − bU |
C |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
R 2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де a=СR1, b=(R1+R2)/R2.
Для розв′язку одержаного диференціального рівняння введемо допоміжну функцію f=E-bUC і тоді матимемо рівняння
df = −ba dt .
ln f = −ba t + A .
Сталу А знайдемо підстановкою виразу для f з початкових умов при t=0 UC=0 ln(E − bUC ) = −ba t + A , і lnE = A
Після підстановки значень a та b і експонування одержимо
|
|
− |
t |
|
|
UC = UC0 (1 − e τ ) , |
|||||
де час релаксації τ дорівнює |
R1R 2 |
|
|
|
|
τ = |
C , |
||||
|
|||||
|
R1 + R 2 |
||||
а після підстановки значень відповідних величин одержимо
τ=2,67 10-3 с.
Якщо β=UC/UC0, то час зарядки становитиме tβ=-τ ln(1-β) і для β=0.9 маємо
T0.9=6.14 10-3 c.