5.4. Метод потенциалов для Td-задачи

Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (5.7)-(5.10) отличается от T-задачи наличием ограничений сверху на перевозки:

0 x_ijd_ij.

Они существенно усложняют решение задачи. В плане перевозок не все положительные переменные являются базисными. В невырожденном решении базисные переменные могут принимать только значения больше нуля и меньше пропускной способности:

0 <x_ij<d_ij. (5.24)

В вырожденном решении некоторые базисные переменные равны граничным значениям (0 или d_ij).

Если задача не сбалансирована, то, как и в Т-задаче, добавляют столбец или строку с нулевыми затратами, но с бесконечной пропускной способностью.

Правило северо-западного угла непригодно для построения начального решения. Его строят по одному из вариантов правила минимального элемента. При этом принцип определения значений переменных сохраняется: на каждом шаге присваивается максимальное допустимое значение согласно формуле

X_ij=min(остаток отa_i, остаток до b_j, d_ij).

Если минимум достигается на d_ij, то не закрывается ни строка, ни столбец, и следует продолжать движение по строке или столбцу (если двигались по столбцу). Однако может оказаться, что в строке (столбце) больше нет открытых клеток, а она не закрыта. Это значит, что начальный план получаетсянедопустимым. Если часть строк (столбцов) не закрыта, то обязательно не закроются и некоторые столбцы (строки). Так как задача сбалансированная, то суммарная величина незакрытия строкбудет равна суммарному незакрытию столбцов. Обозначим эту величину. Чтобы в этом случае завершить построение начального плана, добавляют фиктивного потребителя (столбец) и фиктивного поставщика (строку) с одинаковой потребностью и возможностью. Так как их клетки соответствуют искусственным переменным, которые в разрешимой задаче должны стать равными нулю, затраты в них полагают бесконечно большими (М), а в клетке на пересечении фиктивного столбца с фиктивной строкой – равными нулю. Пропускные способности в фиктивных клетках не лимитируются. В процессе работы алгоритма план станет допустимым, когда все искусственные переменные обнулятся, то есть в юго-восточной клетке перевозка станет равна(фиктивный поставщик замкнется на фиктивного потребителя).

После построения начального плана определяются базисные клетки по условию (5.24). Если таких клеток окажется меньше m+n-1(вырожденный план), то в число базисных включают переменные (клетки), равные нулю или d_ij. При этом на базисных клетках не должен строиться замкнутый цикл, иначе клетки добавлены неверно.

Пример 5.4.Исходные данные задачи приведены в табл. 5.6. В клетках слева даны пропускные способности (красным цветом), справа – затраты на перевозки (синим цветом). Задача сбалансированная. Начальный план строим по правилу минимального элемента, порядок построения показан стрелками (табл. 5.7). Строка 4 и столбцы 2 и 3 не закрылись: =3.

Таблица 5.6 Таблица 5.7

bj ai	15	33	25		bj ai	15	33	25
12	8 3	5 1	10 5		12	8 3	5 1 5	10 5 7
6	5 2	9 4	4 7		6	5 2	9 4 6	4 7
20	12 6	11 2	10 3		20	12 6	11 2 11	10 3 9
35	20 4	10 5	7 9		35	20 4 15	10 5 10	7 9 7

Поэтому добавляем фиктивные строку и столбец, и в клетки незакрытых столбцов и строки записываем недостающие перевозки. В результате выполняется баланс по всем строкам и столбцам. Построенный искусственный (недопустимый) начальный план приведен в табл. 5.8

Так как общее число пунктов равно 9, то базисных переменных должно быть 8. Из сравнения значений x_ij и d_ijнаходим только 7 базисных переменных (базисные клетки закрашены), то есть план вырожденный. В качестве недостающей базисной клетки возьмем клетку 4,2 (закрашена более темным цветом), в которой значение переменной находится на верхней границе.

Нетрудно убедиться, что ни из каких базисных клеток нельзя построить замкнутый цикл. (Чтобы соблюдалось это требование в случае вырожденности плана, можно рекомендовать рассматривать в качестве кандидатов на включение в число базисных в первую очередь те клетки, в которых происходит поворот на 90 градусов при построении плана. Так, в данном примере такими являются клетки 4,2 и 4,3.) ▲

Таблица 5.8

bj ai	15	33	25	=3
12	8 3	5 1 5	10 5 7	М
6	5 2	9 4 6	4 7	М
20	12 6	11 2 11	10 3 9	М
35	20 4 15	10 5 10	7 9 7	М 3
=3	М	М 1	М 2	0

Теперь рассмотрим изменения на основном этапе алгоритма. Признак оптимальности в T_d-задаче расширяется. Согласно (5.15) при введении в решение небазисной переменнойx_ij=0, то есть ее увеличении, критерий уменьшается при_ij>0 и увеличивается при _ij<0. Если же вводить переменнуюx_ij=d_ij, а это означает ее уменьшение, то критерий уменьшится при_ij<0 и возрастет при _ij>0. Этот характер изменения критерия показан на рис. 5.5. Поэтому решение не может быть улучшено, если выполняются условия, составляющие признак оптимальности задачи с ограниченными пропускными способностями:

(5.25)

Если условия не выполняются хотя бы для одной небазисной клетки, решение может быть улучшено. В связи с этим введем два множества:

- множество индексов переменных на нижней границе

;

- множество индексов переменных на верхней границе

.

Очевидно, что объединенное множество G= является множеством индексов перспективных переменных (клеток): введение любой из них приведет к улучшению критерия. В Т-задаче имеется только множество, и выбор производится из него. Здесь же выбор переменной, вводимой в базис, осуществляется на множествеG:

(5.26)

Так как переменная вводится по-разному, увеличивается с нижней границы и уменьшается с верхней, вычисление ₀ и перемещение по циклу выполняется иначе, чем в Т-задаче. При определении₀теперь необходимо учитывать обе границы: при вычитании нельзя вычесть больше, чем имеется, а при добавлении недопустимо превысить пропускную способность.

Из (5.26) следует, что возможны 2 варианта при выборе вводимой переменной и соответственно 2 варианта перехода к новому плану:

1. Если , тоцикл строится на клетке, в которой перевозка равна нулю. Новый план получается прибавлением₀в четных вершинах цикла и вычитанием в нечетных. Поэтому

. (5.27)

2. Если , цикл строится на клетке, в которой перевозка равнаd_ij. В этом случае вводимая переменная должна уменьшаться. Поэтому перемещение по циклу состоит в вычитании₀в четных вершинах и прибавлении в нечетных. Отсюда следует, что

. (5.28)

В обоих вариантах значение критерия улучшается на величину ₀|_kr|.

Таким образом, алгоритм решения сбалансированной Т_d-задачи включает следующие шаги:

1. Построение начального плана перевозок. План может получиться как допустимый, так и искусственный (недопустимый).

2. Выделение базисных клеток. Если их меньше m+n-1, то добавляются клетки на границе.

3. Нахождение потенциалов из системы (5.18).

4. Вычисление оценок по формуле (5.19)

5. Начало цикла. Определение множества G по матрицам плана и оценок.

6. Проверка признака оптимальности: если G=(эквивалент (5.25)), переход на шаг 10.

7. Определение вводимой переменной (клетки kr) по (5.26) и построение цикла пересчета.

8. Построение нового плана: вычисление ₀в зависимости от принадлежности krпо (5.27) или (5.28) и соответствующее перемещение по циклу.

9. Получение матрицы оценок нового плана с помощью преобразования матрицы оценок старого плана (как в Т-задаче). Переход на шаг 5.

10.  Конец. Полученный план является оптимальным, если не содержит запрещенных перевозок (с затратами М).

Когда решение начинается с искусственного плана, то после достижения допустимого решения можно сократить матрицы перевозок и оценок за счет отбрасывания фиктивных столбца и строки. Если в них было ровно две базисные клетки, то пересчитывать матрицу оценок не надо. Иначе она рассчитывается через потенциалы для сокращенного плана. Однако сокращение матриц не является обязательным.