- •Глава 5. Транспортные задачи
- •5.1. Основные модели транспортных задач
- •5.1.1. Простейшая транспортная задача (т-задача)
- •5.1.2. Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (Td- задача)
- •5.1.3. Задачи с неоднородным грузом
- •5.1.4. Многоиндексные задачи
- •5.1.5. Транспортные задачи по критерию времени
- •5.2. Метод потенциалов
- •5.2.1. Построение начального плана перевозок
- •Правило северо-западного угла
- •Правило минимального элемента.
- •5.2.2. Переход от одного плана перевозок к другому
- •5.2.3. Признак оптимальности
- •5.2.4. Алгоритм метода потенциалов
- •5.2.5. Двойственная пара транспортных задач
- •5.3. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой
- •5.4. Метод потенциалов для Td-задачи
- •5.5. Решение задачи по критерию времени
- •5.6. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)
- •5.7. Задания для самостоятельной работы
5.1.2. Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (Td- задача)
Отличается от предыдущей задачи учетом ограничений на пропускные возможности коммуникаций. В реальных условиях пропускные способности дорог, воздушных коридоров, линий связи и т.п. всегда ограничены сверху. Если известно, что фактическая загрузка будет заведомо меньше, задача рассматривается как простейшая. В противном случае учет этих ограничений приводит к более сложной транспортной задаче, называемой Тd-задачей. Ее модель имеет вид
(5.7)
(5.8)
(5.9)
0 Xij dij,i,j, (5.10)
где dij –пропускная способность коммуникацииi j.
Ограничения (5.10) вносят существенные коррективы в свойства задачи. Из особенностей модели, присущих Т-задаче, сохраняются все, кроме последней. В Тd-задачеусловие сбалансированности не является достаточным для разрешимости задачи. Более того, в число необходимых условий существования решения помимо его входят еще две группы условий, отражающих физическую реализуемость решения:
(5.11)
(5.12)
Они требуют, чтобы суммарная пропускная способность коммуникаций, входящих в каждый ПН была не меньше объема поставок, а выходящих из ПО – не меньше количества вывозимого груза. Если хотя бы одно из них нарушается, задача заведомо неразрешима.
Однако и выполнение всех необходимых условий не гарантирует разрешимость Тd-задачи. Например, условия (5.1), (5.11) и (5.12) выполняются для транспортной сети, показанной на рис. 5.1, что легко проверить. Но задача неразрешима, так как невозможно поставить во второй пункт назначения 8 единиц груза.
5.1.3. Задачи с неоднородным грузом
В рассмотренных задачах по умолчанию предполагалось, что для отправителей и получателей грузы неразличимы – это задачи с однородным грузом. Если в перевозках участвуют несколько видов груза с одинаковыми или различными транспортными затратами, исходную многопродуктовую задачу можно разбить на задачи с однородным грузом (по числу видов).
Если же имеет место взаимозаменяемость грузов у получателей, то исходную задачу нельзя разделить на отдельные задачи. Например, получателю нужен каменный и бурый уголь. Известна потребность в том и другом и, кроме того, есть потребность, которая может быть удовлетворена любым из них. Последняя измеряется в единицах либо каменного, либо бурого угля. Такие задачи называют задачами с неоднородным грузом. В случае отсутствия ограничений на пропускные способности они легко преобразуются к задачам с однородным грузом.
Взаимозаменяемость грузов характеризуется коэффициентом взаимозаменяемости . Например, если 1 т. каменного угля заменяет потребителю 2 т. бурого, тоЗная все грузы можно привести к одному виду. Затем вместо одного исходного ПО вводится столько, сколько в нем видов груза. Аналогично каждый исходный ПН заменяется новыми, число которых равно числу видов потребностей. Наконец, определяются приведенные затраты на перевозки между всеми новыми пунктами. Если виды грузов в ПО и ПН совпадают, затраты на перевозку равны исходнымCij; если же они разные, то перевозка запрещается (Cij=М). Между ПО с пересчитанным грузом и ПН с взаимозаменяемой потребностью затраты равны
После таких преобразований модель задачи записывается аналогично случаю с однородным грузом, а ее размерность определяется числом пунктов, заменяющих исходные.
Для разрешимости задачи необходимо кроме сбалансированности, чтобы по каждому виду груза суммарные возможности были не меньше суммарной потребности (без учета взаимозаменяемой). Однако и при выполнении всех необходимых условий возможна неразрешимость задачи из-за присутствия запрещенных перевозок.