5.2.5. Двойственная пара транспортных задач

Построим двойственную задачу простейшей транспортной задачи (Т-задачи). Предварительно изменим знаки в выражении критерия и в условиях по пунктам назначения. Тогда модель прямой задачи примет вид:

Здесь слева от равенств записаны сопоставленные им двойственные переменные. Модель двойственной задачи запишем по правилам, приведенным в разд. 4.11.3:

;

Если C_ij перенести в левую часть, то согласно (5.19) условия двойственной задачи приобретают смысл признака оптимальностиΔ_ij0.

Итак, если выполняются условия прямой и двойственной задач, решение оптимально. Теперь понятно, что потенциалы представляют собой переменные двойственной задачи.

Из теорем двойственности известно, что в оптимальном решении критерии прямой и двойственной задач равны. Для рассматриваемой двойственной пары это означает, что

(5.21)

Отсюда находим:

Учитывая линейность (5.21), полный дифференциал запишем в виде

Изменения a_i и b_j могут быть только равными, иначе нарушится сбалансированность задачи. Если положить a_i= b_j =1, то получим

Следовательно, разность потенциалов показывает, как изменится оптимальное значение критерия при одновременном изменении соответствующих потребностей и возможностей на единицу.

5.3. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой

В открытой или несбалансированной задаче имеет место неравенство

.

Прежде чем решать такую задачу, необходимо привести ее к сбалансированному виду. В зависимости от ситуации сбалансировать задачу можно формальным способом без обращения к ЛПР или с привлечением дополнительной информации от ЛПР.

Рассмотрим формальные приемы. Пусть в исходной задаче предложение превышает спрос:

Тогда условия задачи имеют вид

(5.22)

(5.23)

В каждое неравенство (5.22) введем дополнительную переменную x_i,n+1. В сумме эти переменные должны равняться величине дебаланса:

Добавляя это равенство к условиям (5.23), получаем закрытую задачу:

Потребность b_n+1 называют фиктивной. Таким образом, чтобы сбалансировать задачу, достаточно ввести фиктивного потребителя с потребностью, равной дебалансу. Практически это означает, что к исходной таблице добавляется один столбец с потребностьюb_n+1 и затратами C_i,n+1=0. Ненулевые дополнительные переменные в оптимальном решении будут показывать количество груза, остающееся в соответствующих ПО.

Второй случай несбалансированности задачи имеет место, когда спрос превышает предложение:

.

При этом исходные условия записываются в виде:

Поступаем аналогично первому случаю. Введем в каждое неравенство дополнительную переменную x_m+1,j. Очевидно, что сумма этих переменных равна величине дебаланса:

С учетом этого равенства сбалансированная модель принимает вид:

Такое преобразование соответствует введению фиктивного поставщика (дополнительной строки) с возможностью a_m+1 и нулевыми затратамиC_m+1,j. Дополнительная переменнаяx_m+1,j имеет смысл количества груза, недопоставленногоj-му ПН.

Рассмотренный формальный способ будет неприемлем, если потребители по-разному реагируют на недопоставки. Тогда возможны два варианта решения задачи:

1. ЛПР корректирует потребности, обеспечивая баланс.

2. Выявляется и учитывается влияние недопоставок для каждого потребителя. Если зависимость потерь от величины недопоставки линейная, то задача остается в классе линейных. В этом случае задача балансируется как при формальном подходе, но в дополнительной строке в качестве затрат берутся удельные потери от недопоставки.

Если ожидается, что спрос будет длительное время превышать существующие возможности на величину a_m+1, то встает вопрос о расширении производства. Он может решаться в рамках транспортной модели следующим образом. Проектируются варианты увеличения производства, каждый на величину a_m+1. В исходную таблицу добавляется столько строк, сколько предлагается вариантов. При kвариантах это приведет к противоположному дебалансу, равному (k–1)·a_m+1. Поэтому для сбалансированности модели добавляется фиктивный потребитель с такой потребностью. А в качестве затрат во всех клетках таблицы принимаются суммарные затраты на перевозку и производство С^’_ij=C_ij+C_i, гдеC_i – себестоимость в i-м ПО. Исключение составляетфиктивный столбец:в первыхm клетках затраты равны M, а в остальных – нулю. Те варианты, которые в оптимальном решении закрепятся за фиктивным потребителем, должны быть отброшены.

При прогнозировании длительного превышения возможностей над спросом может возникнуть вопрос о сокращении производства. Он также может быть представлен в виде транспортной задачи. Достаточно в затраты включить себестоимость, как в предыдущем случае, и добавить фиктивного потребителя с потребностью b_n+1 и нулевыми затратами. Оптимальные значения дополнительных переменных в фиктивном столбце дадут величину сокращения производства в соответствующих ПО с учетом полных затрат.