5.2.2. Переход от одного плана перевозок к другому

Как и в симплекс-методе, новый план можно получить из исходного заменой одной базисной переменной. Клетки с базисными переменными будем называть базисными или занятыми, остальные – небазисными или свободными. Для перехода к новому плану используется замкнутая цепь, которая строится в матрице перевозок по следующим правилам.

Построение начинается со свободной клетки, которую соединяют с базисной в строке (столбце). Последнюю соединяют с базисной в столбце (строке). Далее, чередуя движение по строкам и столбцам, продолжаем соединение занятых клеток так, чтобы вернуться в начальную. При этом не требуется, чтобы цепь включала все базисные клетки. Угловые клетки цепи назовем вершинами цепи. Тогда правило построения замкнутой цепи можно сформулировать проще: начальная вершина должна быть в свободной клетке, остальные – в занятых.

Такая цепь называетсяциклом пересчета. Он является геометрическим представлением разложения небазисного вектора условий при переменной в свободной клетке по векторам текущего базиса. Если базисная клетка не попала в цикл пересчета, то соответствующий базисный вектор имеет в этом разложении нулевой коэффициент. Так как любой небазисный вектор выражается через базис единственным образом, то для любой небазисной (свободной) клетки можно построить один и только один цикл пересчета. Примеры конфигурации циклов показаны на рис. 5.2.

Кружком выделена начальная (небазисная) клетка цикла. Нумеровать вершины можно в любом направлении. И начинать можно с любой вершины. На рисунке нумерация проведена с клетки, смежной начальной. В этом случае начальная клетка всегда будет четной.

Теперь становится очевидным, что в каждой строке и каждом столбце, по которым проходит цикл пересчета, будет две и только две вершины: одна четная и одна нечетная. Если бы оказалось вершин больше двух, то из базисных клеток образовался бы цикл, что невозможно. В этом легко убедиться на примере: допустим, в правом цикле на рис. 5.2 отрезки 1-8 и 5-4 лежат в одной строке, тогда вершины 1, 4, 3 и 2 образуют цикл.

В результате цикл пересчета, построенный в допустимой матрице перевозок, обладает замечательным свойством: если перемещать по нему некоторое количество груза  >0, прибавляя его кX_ij в четных вершинах и вычитая изX_ijв нечетных, то условия задачи (5.3) и (5.4) не нарушатся. Чтобы новое решение было допустимым, то есть выполнялось и условие неотрицательности переменных, необходимо ограничить значение:

  ₀=min X_ij, ij нечет. (5.14)

Здесь нечет– множество индексов переменных в нечетных вершинах цикла.

Для получения базисного решения (нового опорного плана) достаточно взять  =₀. При этом переменная свободной клетки, на которой строился цикл, становится базисной со значением₀, а переменная, доставляющая минимум в (5.14), обнуляется и переходит в небазисные. 

Таким образом, переход от одного плана к другому в методе потенциалов заключается в построении цикла пересчета, определении ₀ с последующим прибавлением к значениям переменных в четных вершинах и вычитанием в нечетных. Очевидно, что это значительно проще, чем в аналогичной процедуре симплекс-метода.