Лекции по Гольду / Глава 2

Постановка задачи оптимизации

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

По Лейбницу наш мир является наи-

лучшим из всех миров, и поэтому его

законы можно описать экстремальными

принципами.

К. Зигель

В мире не происходит ничего, в чем

бы не был виден смысл какого-нибудь

максимума или минимума.

Л. Эйлер

Как было показано выше, центральным этапом исследования операций является отыскание наилучшего решения из всех возможных в рассматриваемой операции, причем наилучшего в заранее определенном смысле. В математической модели операции этот смысл описывается целевой функцией (критерием оптимальности) , а возможные решения - областью допустимых решений (допустимым множеством) . Таким образом, в общем случае задача оптимизации ставится так: найти такой вектор , который доставляет оптимум функции, то есть

(2.1)

и, следовательно, =arg opt. Если решение предпочтительнее решения при , то говорят о задаче максимизации. Если же предпочтительнее при, то задача оптимизации представляет собой задачу минимизации.

В задачах исследования операций множество задается конечным числом условий, в общем случае в виде равенств, неравенств и прямых ограничений на переменные. Тогда задача оптимизации принимает вид

, (2.2)

, (2.3)

, (2.4)

(2.5)

и называется задачей математического программирования. Условия (2.3),(2.4) иногда называют функциональными, а также неявными ограничениями. Множество обычно представляет собой параллелепипед, то есть

, (2.6)

при этом часто =0, а =+¥. Прямые ограничения на переменные называют также явными.

Другой большой класс задач оптимизации составляют задачи оптимального управления. В них цель описывается функционалом, а искомыми являются функции. Такие задачи возникают в основном при разработке и исследовании динамических или пространственно протяженных систем. Здесь они не рассматриваются.

Важнейшими характеристиками задачи оптимизации являются свойства функций, входящих в модель, и размерность задачи. Размерность задачи математического программирования определяется двумя величинами: числом искомых переменных (т.е. размерностью вектора ) и числом условий-ограничений . Существенное значение имеют также структура математической модели задачи, наличие случайных факторов, непрерывность или дискретность переменных.

Многообразие задач оптимизации бесконечно, и сегодня не существует универсального метода, с помощью которого можно было бы решить любую задачу. Однако уже создано много методов, каждый из которых имеет ограниченную область применения, причем эти области частично пересекаются, а в совокупности эти методы дают мощное средство решения широкого круга задач оптимизации и, в частности, задач математического программирования.

Укрупненно можно выделить следующие методы:

- классический анализ (включая метод множителей Лагранжа);

- линейное программирование;

- динамическое программирование;

- дискретное программирование;

- нелинейное программирование;

- стохастическое программирование.

Многие авторы не разделяют методы классического анализа и нелинейного программирования, но исторически эти методы значительно удалены, кроме того, в вузах методы поиска экстремума даются в курсе высшей математики, и они находят применение в других методах оптимизации как вспомогательное средство. Поэтому их целесообразно выделить в отдельную группу и рассмотреть в сжатом виде перед изучением современных методов.

Методы линейного программирования ориентированы на модели, в которых все функции линейны, а переменные непрерывны. Дискретность (в частности, целочисленность) переменных – особенность методов дискретного программирования. Динамическое программирование применимо к задачам, в которых процесс принятия решений можно представить как последовательность шагов. Существенное влияние случайных факторов приводит к стохастическим моделям, для нахождения решения на которых применяются одноименные методы. Нелинейное программирование включает весьма широкий спектр методов решения задач с нелинейными функциями различной структуры.

Все названные выше группы методов за исключением первого имеют общее название методов математического программирования. Выбор метода для решения конкретной прикладной задачи исследования операций является далеко не тривиальным делом. При этом необходимо учитывать свойства задачи, о которых говорилось выше, и характеристики не только метода, но и его реализации на ЭВМ. Для нетипичных задач выбор метода требует определенного искусства и интуиции, источником которых являются прежде всего знания и опыт.

36