Правило северо-западного угла

Все исходные данные и переменные сбалансированной Т-задачи удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1).

Построение плана начинается с северо-западной клетки таблицы, то есть первым определяется значение переменной X₁₁.

Таблица 5.1

	b1	b2	…	bn
	C11 X11	C12 X12	…	C1n X1n
	C21 X21	C22 X22	…	C2n X2n
…	…	…	…	…
	Cm1 Xm1	Cm2 Xm2	…	Cmn Xmn

Так как оно должно быть максимально допустимым, то

При этом обязательно выполнится одно из равенств (5.3), (5.4), что соответствует закрытию строки или столбца: переменные в остальных клетках строки или столбца будут равны нулю. Конкретнее, если X₁₁=а₁, то закрывается первая строка и X₁₂=X₁₃=…=X_1n=0, а следующей базисной переменной будетX₂₁. Из указанного выше принципаследует X₂₁=min(a₂, b₁-a₁). Если же окажется, чтоX₁₁=b₁, то закроется первый столбец и следующей базисной переменной станетX₁₂=min(a₁-b₁, b₂).

Весь процесс построения начального плана можно представить в виде следующего дерева решений.

Общее правило определения значения очередной базисной переменной:

X_ij=min(остаток отa_i, остаток до b_j). (5.13)

Из него следует, что на каждом шаге закрывается или строка, или столбец, а на последнем шаге при назначении X_mn закрываются одновременноm-я строка иn-й столбец (так как задача сбалансированная). Таким образом, число базисных переменных равноm+ n-1.Построение начального плана завершено.

Пример 5.1.Исходные данные и построение начального плана показано в табл. 5.2. Значения базисных переменных выделены красным (серым) цветом, а порядок движения по клеткам отражен стрелками. Этому плану соответствуют суммарные затратыL=1295.

Таблица 5.2

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6 75	7 25	3	5	100
A2	1	2 55	5 60	6 35	150
A3	3	10	20	1 50	50
Потребность в грузе	75	80	60	85	300

Правило минимального элемента.

В приведенном способе построения плана не участвовали затраты на перевозку. Следует ожидать, что учет затрат позволит получить начальный план, более близкий к оптимальному. Этим и отличается расматриваемое правило.

Первой заполняется клетка с минимальными затратами. Пусть minC_ij=C_kp. Тогда X_kp=min(a_k, b_p). Если при этом закрывается строка k, то в столбце p ищем клетку с минимальными затратами и определяем значение соответствующей переменной согласно (5.13).При закрытии столбцаp действуем аналогично в строке k. В общем случае клетка, лежащая в закрытом столбце и/или закрытой строке является закрытой, иначе – открытой. На каждом шаге движение идет либо по столбцу, либо по строке и при этом отыскивается среди открытых клетка с минимальным значениемC_ij.

Пример 5.2. Построим начальный план по правилу минимального элемента для задачи из примера 1. Результат представлен в табл. 5.3.

Таблица 5.3

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	6	7 5	3 60	5 35	100
A2	1 75	2 75	5	6	150
A3	3	10	20	1 50	50
Потребность в грузе	75	80	60	85	300

При таком начальном плане L=665, что меньше чем в примере 1. Однако нельзя утверждать, что для любых данных этот способ дает лучший план. Правильнеее говорить, что правило минимального элемента эффективнее в среднем (на множестве задач). В то же время алгоритм реализации этого правила сложнее, чем правила северо-западного угла.

Применяется также вариант, в котором на каждом шаге ищется клетка с минимальными затратами среди всех открытых клеток. Такой способ еще сложнее, но в среднем дает планы, более близкие к оптимальным.