5.2.4. Алгоритм метода потенциалов

Алгоритм включает предварительный и основной этапы.

Предварительный этап:

1. В матрице перевозок построить начальный план X⁽⁰⁾.

2. Решением системы (5.18) определить потенциалы всех пунктов в начальном плане.

3. Вычислить оценки небазисных переменных (свободных клеток) по формуле (5.19) и записать матрицу ⁽⁰⁾.

Основной этап (получены X^(k) и ^(k)):

1. Проверить оценки в ^(k). Если нет положительных, то перейти на п. 9.

2. Определить максимальную оценку _kr = max _ij.

3. В матрице X^(k) построить цикл пересчета на клетке kr.

4. В построенном цикле вычислить ₀=min X_ij, ij нечет.

5. Прибавить ₀в четных вершинах цикла и вычесть в нечетных, результат – матрица перевозокX^(k+1).

6. В матрице ^(k)) провести выделение строк и столбцов по решению X^(k+1).

7. К выделенным столбцам прибавить , а из выделенных строк вычесть _kr, результат – матрица ^(k+1).

8. Перейти на п.1 основного этапа.

9. Конец.

Примечание. Если имелись запрещенные перевозки (некоторые C_ij=M), то соответствующие переменные в последнем решении должны равняться нулю. В противном случае задача неразрешима.

Пример 5.3.Решить методом потенциалов транспортную задачу, представленную в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Поставщик (ПО)	Потребитель (ПН)				Количество груза
	B1	B2	B3	B4
A1	3	8	2	1	10
A2	1	4	3	5	30
A3	7	2	1	6	40
Потребность в грузе	20	5	30	25	=80

Решение. Задача сбалансированная. Начальный опорный план перевозок строим по правилу северо-западного угла. Полученный план невырожденный (табл. 5.5). Число базисных переменных (занятых клеток) r=m+n-1=3+4-1=6, они выделены цветом.

Таблица 5.5

Поставщик (ПО)	Потребитель (ПН)				Количество груза
	B1	B2	B3	B4
A1	3 10-	8	2	1 +	10
A2	1 10 +	4 5	3 15 -	5	30
A3	7	2	1 15 +	6 25 -	40
Потребность в грузе	20	5	30	25	=80

Значение критерия в начальном плане

Вводим потенциалы для ПО и для ПН так, чтобы для базисных клеток выполнялись равенства:

Полагая последовательно находим остальные потенциалы:

Вычисляем для свободных клеток:

Записываем матрицу оценок для начального плана перевозок:

В начальном плане строим цикл на клетке с максимальной оценкой. Это клетка (1,4). Находим значение вводимой переменной:

=min(10,15,25)=10.

Переместив ₀ по циклу, получаем новый план перевозок

для которого первая итерация улучшила критерий на 90 единиц.

Для выяснения статуса нового решения находим матрицу оценок. С этой целью в ⁽⁰⁾ отмечаем элементы, соответствующие базисным в X⁽¹⁾, и строим цепочку выделения. Так как в строке с максимальной оценкой других отмеченных элементов нет, выделенной оказывается только первая строка. Вычитая из нее _kr, получаем матрицу

.

Как следует из анализа матрицы ⁽¹⁾, решение X⁽¹⁾ не является оптимальным. Следующее решение получаем с помощью построенного в X⁽¹⁾ цикла, перемещая по нему :

Мы получили новый план перевозок с критерием

.

Матрицу оценок этого плана находим преобразованием матрицы ⁽¹⁾ аналогично описанному выше. В результате имеем

В матрице есть положительный элемент, поэтому на клетке (3,2) строим цикл пересчета. Определяем и, перемещая 5 по циклу, находим очередной план перевозок

которому соответствует значение критерия. Преобразуя матрицу^(II), получаем

.

Эта матрица не содержит положительных оценок, следовательно, план является оптимальным. Согласно этому плану от 1-го поставщика надо поставить 10 ед. продукции 4-му потребителю, от 2-го поставщика - 20 ед. первому и 10 ед. четвертому потребителям, от 3-го поставщика - 5, 30 и 5 ед. соответственно 2, 3 и 4 потребителям. Такая схема перевозок обеспечивает минимум суммарных затрат, которые равны 150.▲

Примечания. 1).Метод потенциалов применим и для решения трипланарных задач. Отличие лишь в том, что циклы пересчета и цепочки выделения строятся не на плоскости, а в трехмерном пространстве. 2).Если на каждой итерации оценки вычислять непосредственно по построенным циклам (на всех свободных клетках), то получимраспределительный метод. Поэтому метод потенциалов называют также модифицированным распределительным методом. Однако метод потенциалов значительно эффективнее распределительного на задачах средней и большой размерности.