Решения задач ЕГЭ

208. Определить электрический потенциал Земли, приняв радиус R 6400 км, а напряжённость электрического поля на поверхности Е 130 В/м.

Решение

1. Напряжённость электрического поля, создаваемого сферической оболочкой и её заряд, связаны соотношениями:

2.Потенциал электрического поля на поверхности оболочки:

ϕ= k QR = Rk ERk 2 = ER =130 6,4 106 = 8,32 108 В ≡ 832 МВ;

209.Сфера с центром в точке О равномерно заряжена. В центре сферы

потенциал равен ϕО = 100 В, а в точке А, расположенной на удалении r = 0,3 м от центра потенциал равен ϕА = 50 В. Определить напряжённость электрического поля в точке А.

Решение

1. Разность потенциалов между заданными точками О и А:

ϕОА = U = ϕО −ϕА = 50 В; 2. Напряжённость электрического поля в точке А:

210. Проводящий шар радиусом R = 5 см заряжен до потенциала ϕ = 40 В. Определить напряжённость поля на расстоянии х = 3 см от поверхности шара.

211. Определить электроёмкость батареи, состоящей из четырёх одинаковых конденсаторов, если электроёмкость каждого конденсатора С.

Решение

C2 = 2C;

81

3. Ёмкость батареи:

212. Плоский конденсатор зарядили и отключили от источника тока. Как изменится энергия электрического поля внутри конденсатора, если увеличить в 2 раза расстояние между обкладками конденсатора? Расстояние между обкладками мало как в первом, так и во втором случае.

Решение

1. Ёмкость плоского воздушного конденсатора:

C= εd0s ;

2.Энергия электрического поля внутри конденсатора при условии сохранения заряда конденсатора при раздвигании пластин:

213. Первый конденсатор ёмкостью С подключён к источнику с ЭДС ε, а второй − такой же ёмкостью подключён к источнику с ЭДС равной 2ε. Определить отношение энергии электрического поля второго конденсатора к энергии поля первого конденсатора.

Решение

214. Определить величину заряда, проходящего через поперечное сечение проводника в течении τ = 14 с, если сила тока в проводнике линейно возрастала от 0 до 75 А.

Решение

215. Скорость направленного дрейфа электронов в электрической цепи уменьшилась в 2 раза. Как изменилась сила тока в цепи?

Решение

1. Проводники являются таковыми по причине наличия в них большого числа носителей заряда, способных относительно легко перемещаться в пределах рассматриваемого образца. Металлы, как правило, являются хорошими

82

проводниками тепла и электрического тока именно благодаря свободным электронам.

2. Если металлический проводник (рис. 215.1) поместить в однородное электрическое поле напря-

жённостью E , то на каждый сво-

бодный электрон (e 1,6 10 − 19 Кл, me 1 10 − 30 кг), в классическом представлении, будет действовать элементарная сила Кулона. Как и

всякий материальный объект, электрон начнёт двигаться в направлении, противоположном направлению вектора напряжённости поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным).

3.Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он бы обнаружил, что через сечение проводника S, за которым он приставлен наблюдать, в одном направлении движутся электроны, что собственно и означает возникновение электрического тока. Направлением тока условились считать направление движения положительных зарядов. Таким образом, электрический ток есть направленное движение носителей зарядов. В металлах направление тока принимается противоположным движению электронов проводимости.

4.Линии, вдоль которых перемещаются носители заряда, по аналогии с гидромеханикой называются линиями тока (рис. 215.2). Совокупность линий тока

где kB 1,4 10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура, me − масса электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости теплово-

83

го движения скорость под действием силы Кулона u будет направленной, её называют средней дрейфовой скоростью.

6. Пусть в рассматриваемом металлическом проводнике в единице его объёма содержится n электронов. Выделим далее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору дрейфовой скорости, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда, содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перенесут заряд

dq = n e u dS dt .

7. Пронормируем уравнение относительно площади и времени dSdtdq = j = neu ,

где j − плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плотность тока величина rвекторная, что определяется направленными свойствами дрейфовой скорости u

j = neur .

8. Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого электрическим полем в единицу времени через единицу площади. Направление

вектора j совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда.

9. Уменьшение величины дрейфовой скорости вдвое приведёт к уменьшению в два раза величины плотности тока. При постоянстве площади поперечного сечения проводника это эквивалентно уменьшению в 2 раза силы тока в проводнике.

216. Стальная проволока имеет электрическое сопротивление R = 4 Ом. Каким станет сопротивление этой проволоки, если её протянуть через специальный станок, увеличивающий длину в 2 раза?

Решение

1. Для большого класса проводящих веществ, в частности для металлов, плотность электрического тока j пропорциональна напряжённости электриче-

ского поля E . Это обстоятельство составляет один из важных законов электродинамики, хотя он, по большому счёту и не рассматривается как фундаментальный. Он весьма значим для практических целей. Математически закон представляется следующим образом:

j = λE ,

где λ − постоянная величина для данного проводника, именуемая удельной проводимостью.

2.Уравнение выражает собой закон Ома в дифференциальной форме. Удельная проводимость зависит от физических свойств проводника, а так же от внешних условий, таких как температура, давление и др. Величина обратная удельной проводимости называется удельным сопротивлением:

ρ= λ1 .

3.Закон Ома в интегральной форме получается из наличия разности потенциалов между отдельными его участками. Рассмотрим несложную электрическую схему, изображённую на рис. 216. Она состоит из цилиндрического проводника постоянного сечения с высоким удельным сопротивлением, например

84

i = kU .

4. Если длину проводника обозначить через l, а напряжённость электриче-

ского поля в нём − Е, то можно записать следующее уравнение: E = − ddϕl = − ϕ2 l−ϕ1 = ϕ1 −lϕ2 = Ul .

5.При возникновении в проводнике тока он будет течь от большего потен-

циала ϕ1 к меньшему потенциалу ϕ2. Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо поддерживать на его концах разность потенциалов, т.е. условие возникновения электрического тока определится как

ϕ= ϕ1 −ϕ2 ≠ 0 .

6.Условие существования тока может быть обеспечено наличием замкну-

той цепи, в которую последовательно с проводником включён источник тока. При разомкнутой цепи на отрицательных клеммах источника имеется избыток электронов, а на положительных − недостаток. Внутри источника действуют, так называемые сторонние силы, механического, химического, биологического

итеплового типа, которые обеспечивают разделение зарядов.

7.Перемещение зарядов в замкнутой цепи осуществляется за счёт сил не электростатического происхождения, работа которых, как известно, по замкнутому контуру всегда должна быть равной нулю. Перемещение по проводнику носителей заряда осуществляется за счёт работы, производимой сторонними силами. Эта работа определяется в виде суммы работы, совершаемой против

сил электрического поля внутри источника тока (АИст), а так же работы против сил сопротивления среды источника (АВнутр)

AСтор = АИст + АВнутр .

8. Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется отношение работы сторонних сил к величине заряда, перемещаемого вдоль всей цепи, включая и источник тока:

ε = АСтор = АИст + АВнутр .

q q

9. Работа против сил электрического поля определится как:

АИст = q(ϕ1 −ϕ2 ).

10. В режиме холостого хода, когда клеммы источника разомкнуты АВнутр = 0 , поэтому:

ε = ϕ1 −ϕ2 .

11. В соответствии со вторым законом Ньютона свободные носители заряда, в частности − электроны, должны двигаться с ускорением:

ar = eE , me

85

т.е. скорость зарядов должна, вроде как, возрастать со временем, как и плотность тока:

j = ρur = ρart .

12. Однако движение зарядов в проводнике происходит не в пустом пространстве. Движущиеся электроны в классическом представлении, являясь частицами, обременёнными массой покоя, при своём перемещении сталкиваются с элементами кристаллической решётки, в частности с ионами, которые более массивны и обладают гораздо большими размерами. Поэтому в уравнении плотности тока вместо неопределённого времени t, должно рассматриваться время между столкновениями отдельно взятого электрона и ионами τ. Уравнение скорости в этом случае уместно представить так

ur = eEτ . me

13.Таким образом, скорость электрона за время τ будет увеличиваться до некоторого максимума, затем при столкновении с ионом она становится равной нулю, в этой связи, в среднем скорость движения зарядов по проводнику принимается постоянной.

14.На участке проводника dl напряжённость электрического поля связана с потенциалом стандартным уравнением

dϕ = −Edl = − jdλl .

15. Умножим и разделим правую часть уравнения на площадь поперечного сечения проводника S:

dϕ = − jdλlSS = −i λdSl .

16. Проинтегрируем уравнение по длине проводника от точки 1 до точки 2 (рис. 216):

17. Величина подынтегрального выражения не зависит от силы тока и разности потенциалов на концах проводника, оно определяется физическими свойствами металла и его геометрическими характеристиками. Оно называется электрическим сопротивлением

18. При увеличении длины проводника в 2 раза площадь поперечного сечения уменьшится тоже в два раза:

217. Сопротивление резистора увеличили в 2 раза, а приложенное напряжение уменьшили в два раза. Как изменилась сила тока, протекающего через резистор?

86

218. Как изменится сила тока, протекающего по проводнику, если напряжение на его концах и площадь поперечного сечения увеличить в 2,5 раза?

Решение

1. Увеличение площади поперечного сечения проводника в 2,5 раза приведёт к уменьшению его сопротивления в 2,5 раза, потому что:

221. При замыкании элемента на резистор сопротивлением R1 = 1,8 Ом в цепи возникает ток силой I1 = 0,7 А, а при замыкании на резистор R2 = 2,3 Ом − сила тока составила I2 = 0,56 А. Найти внутреннее сопротивление источника.

87

223. Определить сопротивление цепи, если она состоит из одинаковых резисторов сопротивление R.

Решение

R1 = R2 = R2 ; R1,2 = R2 + R2 = R;

R1,2,3 = R1,2 + R3 = 2R;

Рис. 223. Комбинированное соединение резисторов

224. Кипятильник нагревает V = 1,2 л воды от t1 = 12 0C до кипения за время τ = 10 мин. Определить силу тока, потребляемого кипятильником тока, если он включён в сеть напряжением u = 220 В. КПД кипятильника η = 90%. Удельная теплоёмкость воды c 4200 Дж/(кг К).

225. Какой силы ток потребляет электрический кипятильник ёмкостью V = 10 л, если при КПД η = 80%, в нём нагревается вода от t = 20 0С до закипания за 30 мин. Напряжение питания кипятильника стандартное u = 220 В. Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг К).

88

226. Определить массу воды, которая должна пройти через плотину гидроэлектростанции высотой h = 20 м, чтобы обеспечить в течение τ = 1 ч дом, рассчитанный на напряжение u = 220 В при силе тока I = 120 А при КПД электростанции η = 30%.

227. ЭДС источника ε = 2 В, внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Определить силу тока в цепи, если КПД источника η = 0,75.

Решение

1. Рассмотрим источник тока с заданной величиной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r нагруженный на внешнее сопротивление R. В соответствии с законом Ома для полной цепи на сопротивлении будет выделяться активная электрическая мощность Nа:

3. Так как R и r всегда положительные величины, то условие выполняется при r = Rm. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает возможно большего значения при равенстве внутреннего источника тока и внешнего сопротивления. Сила тока в этом режиме составит:

I = 2εr .

4. Максимально возможная сила тока в цепи будет иметь место при R = 0, т.е. в режиме короткого замыкания клемм источника тока:

89

Imax = εr .

5. Наибольшее значение мощности из уравнения при этом составит:

Na(max) = ε2 .

4r

6. Как видно из полученных выше уравнений часть мощности источника рассеивается на его внутреннем сопротивлении. Естественно, что при r = 0 (идеальный источник тока) такой ситуации не возникает. Для реальных же источников целесообразно ввести, исходя из «не производственных» потерь, понятие коэффициента полезного действия. Если мощность, рассеиваемую на самом источнике определить как:

Ni = rI2 ,

то полная мощность будет равна:

N= RI2 + rI2 = εI .

7.Коэффициент полезного действия источника тока при такой постановке вопроса определится традиционно:

η = NNA = Uε .

8.Очевидно, что при r ≠ 0 КПД источника будет всегда меньше единицы. Коэффициент полезного действия источника тока зависит от величины внутреннего и внешнего сопротивлений, его величину можно записать следующим образом:

9. Более строгий вывод уравнения η = f(R,r) делается на основе анализа энергетических соотношений. Рассмотрим условия работы источника тока, замкнутого на внешнее сопротивление. Ток в цепи определяется законом Ома,

11. Коэффициент полезного действия источника тока определяется в виде отношения полезной мощности к полной мощности, т.е.

что подтверждает сделанные ранее предположения. Из уравнения очевидно, что величина η определяется исключительно соотношением между внешним сопротивлением и внутренним сопротивлением.

90