Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Кавказский федеральный университет

Предмет:

Физика

Файл:

Решения задач ЕГЭ

.pdf

Скачиваний:

1384

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

5.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

где x0(Стат)

особенности поведения амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний.

10. Целесообразно выделить три характерных диапазона частот:

Область низких частот: Ω<< ω0: в этом случае сдвиг фаз близок к нулю, а амплитуда вынужденных колебаний составит

x0 x0(Стат) = ωf02 , 0

− статическое смещение под действием постоянной силы, равной амплитудному значению возмущающей силы, т.е. F = F0.

Область высоких частот: Ω >> ω0. Начальная фаза в этом случае α → −π. Колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой. Амплитуда с ростом частоты убывает по закону:

		Ω	2
x0
		ω2
	x0(Стат)	ω2	.
		0

Область резонанса: Ω ω0. В отсутствие сопротивления амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. В реальных системах увеличение амплитуды будет ограничиваться диссипативными потерями.

11. Частоту вынужденных колебаний, при которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной частотой:

ΩРез‚ = ω02 − 2β2 ;

при β << ω0 , ΩРЕЗ ω0.

12. Процесс вырождения собственных колебаний и установления вынужденных колебаний протекает по-разному, в зависимости от соотношения между частотами собственных и внешних колебаний. На рис. 277.5 приведены качественные зависимости от времени собственных колебаний (пунктирная кривая) и вынужденных колебаний (сплошная кривая) для разного соотношения частот.

Рис. 277.5. Процесс установления вынужденных колебаний

13. Если величины Ω и ω близки друг к другу, то процесс установления сопровождается чередующимися нарастаниями и спадами типа биений, которые тем глубже, чем меньше силы затухания и тем реже, чем ближе Ω и ω0. При резонансе, когда ω = Ω (рис. 277.6) вынужденные колебания устанавливаются без биений тем медленнее, чем меньше затухание, т.е. β1 > β2> β3.

14. Явление резонанса в одинаковой степени типично как для механических, так и для электрических и электромеханических колебательных систем и поэтому играет важную роль в самых разнообразных отделах физики и техники.

111

Рис. 277.6. Процесс установления вынужденных колебаний при ω0 = Ω

15.Характер резонанса зависит от свойств как самой колебательной системы, в которой происходит явление, так и от свойств внешней возмущающей силы, действующей на систему. Особенно сложный характер явление резонанса имеет в системах с распределёнными параметрами. Например, в струне, резонанс сохраняет свои типичные свойства, однако имеются и отличительные особенности. Система обладает множеством степеней свободы, т.е. целым набором собственных частот. Резонанс может наступать всякий раз, когда одна из гармоник внешней силы совпадает с одной из собственных частот.

16.Искомое отношение амплитуд по данным резонансной кривой, приведенной на рис. 277.1 определится как:

ζ = A = 10 = 5;

Aν 2

278. Через τ = 3 с после вспышки молнии наблюдатель услышал раскаты грома. На каком расстоянии от него ударила молния, если скорость звука в воздухе с1 = 330 м/с?

Решение

1. Свет распространяется в воздухе со скоростью с1 3 108 м/с, с2 >> c1:

L= c1τ = 990м;

279.На расстоянии Х = 400 м от наблюдателя рабочие вбивают сваи с помощью копра. Каково время между видимым ударом молота о сваю и звуком удара, услышанным наблюдателем, если скорость звука с1 = 340 м/с?

Решение

1.Свет распространяется в воздухе со скоростью с1 3 108 м/с, с2 >> c1:

τ= Хс 1,18с;

280.На каком расстоянии от корабля находится айсберг, если ультразвуковой импульс гидролокатора, посланный с борта и распространяющийся в воде

со скоростью v = 1500 м/с, вернулся через время τ = 0,4 с?

112

Решение
2L = vτ; L =	vτ	=	1500 0,4	= 300м;
			2
2

281. Амплитудное значение заряда на конденсаторе равно Qm = 2 мкКл. Чему равно значение заряда на конденсаторе через время τ = Т/6 после достижения этого значения? Колебания протекают по синусоидальному закону и начальная фаза равна нулю.

Решение

Q(t) = Qm sin ωt = Qm sin 2Tπ t; t = τ = T6 ;

Qx = Qm sin 2π T = Qm sin 600 ;

T 6

Qx 2 10−6 0,87 1,73 10−6 Кл ;

Рис. 281. Колебания заряда конденсатора

282. Колебания напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока описываются уравнением:

u(t) = 50cos(100πt),

где все величины выражены в СИ. Найти напряжение на конденсаторе через время t = Т/6 c после начала колебаний.

Решение

u(t) = Acosωt;

ω =

2π

;

2π

=100π;

2π

= 25В;

u(t) = 50cos

283. Задан

график

зависимости

силы тока в металлическом провод-

нике от времени. Определить часто-

ту колебаний силы тока.

Решение

1. По заданному графику опреде-

ляем период колебаний силы тока:

T = 4c;

ν =

= 0,25Гц;

Рис.283. Колебания силы тока

284. Во сколько раз изменится частота колебаний в LC-контуре, если расстояние между пластинами конденсатора заполнить жидкостью с диэлектрической проницаемостью ε = 9?

Решение

1. В случае плоского конденсатора:

113

C =

ε0s

; C

εε0s

; C

= 9C ;

2. В соответствии с уравнением Томсона для периода колебаний в LC-

контуре:

1 = 2π

T = 2π

LC;

ν =

;

2π

3. Изменение частоты колебаний:

ν =

;

2π

= 3;

ν2

= 3ν1;

ν2

;

ν1

2π

L9C

285. Во сколько раз изменится частота колебаний в LC-контуре, если зазор между пластинами воздушного плоского конденсатора увеличить в 4 раза?

Решение

1. В случае плоского конденсатора:

C =

ε0s

; C

εs

; 4C

= C ;

2. В соответствии с уравнением Томсона для периода колебаний в LC-

контуре:

T = 2π

LC;

= 2π

LC;

ν =

;

2π

3. Изменение частоты колебаний:

ν =

;

2π

= 3;

ν2

;

2π

4 1

286. Во сколько раз изменится собственная частота колебаний в колебательном контуре, если параллельно конденсатору подключить ещё три таких же конденсатора?

Решение

1. Ёмкости конденсаторов:

C1 = C; C2 = 4C;

2. Отношение частот:

ν =

;

2π

; ν2 =

;

ν2

ν1

2π

L4C

;

114

287. Заряд на пластинах LC-контура изменяется в соответствии с уравнением:

q(t) = 0,01cos(40πt);

Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

q(t) = qm cosωt; i(t) = dq	Решение
q(t) = qm cosωt; i(t) = dq	= −qmωsin ωt; i(t) = −0,4sin(40πt);
dt

288. Изменения силы электрического тока в LC-контуре протекает по зако-

ну:

i(t) = 0,01cos(20πt).

Чему равна частота колебаний заряда на конденсаторе контура?

Решение

i(t) = im cosωt; ω = 20π = 2πν; ν =10Гц;

289. В идеальном колебательном контуре ёмкость конденсатора С = 2 мкФ, амплитуда напряжения на нём um = 10 В. Определить максимальное значение энергии магнитного поля катушки.

			Решение
Cu	2	Li2	2 10−6 100	=1	10	−	4 Дж;
2	m =	m =	2	=1	10		4 Дж;
2		2	2

290. Колебательный контур содержит конденсатор С = 8 пФ и индуктивность L = 0,2 мГн. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока im = 40 мA?

Решение

Li2

= i

= 4

−

2 10−4

= 200 B;

m ;

8 10−12

291. Ёмкость конденсатора, включенного в цепь переменного тока С = 6 мкФ. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид:

u(t) = 50cos(103 t);

Определить амплитуду силы тока.

Решение

u(t) = um cos(ωt);

ω =103 рад

. um = 50B;

;

= u

ωC = 50 103

6 10−6 = 0,3A;

ωC

292. Индуктивность катушки L = 0,15 Гн. Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:

i(t) = 0,4cos(2 103 t);

Определить амплитуду напряжения на катушке.

115

Решение
i(t) = im cosωt; ω = 2 103 рад	; im = 0,4A;
с

RL = ωL; um = imRL = imωL = 0,4 2 103 0,125 =100 B;

293. Трансформатор понижает напряжение с U1 = 240 В до U2 = 120 В. Найти число витков во вторичной катушке, если первичная обмотка содержит N1 = 80 витков.

				Решение
U1	=	N2	;	N2	=	1	; N2 =	N1	= 40витков;
U2						2
		N1		N1				2

294. Трансформатор понижает напряжение с u1 = 240 В до u2 = 12 В. Во сколько раз действующее значения силы тока в первичной катушке отличается от действующего значения силы тока во вторичной обмотке?

u1	= i2	Решение		i2
		= 20; i	=		;

u2	i1	1	20

295. Колебательный контур радиоприёмника настроен на радиостанцию, работающую на волне λ1 = 100 м. Как нужно изменить ёмкость колебательного контура, чтобы он был настроен на длину волны λ2 = 25 м? Индуктивность остаётся неизменной.

Решение

T = 2π LC;

ν =

;

c = λν;

λ =

= 2πc

LC;

2π

λ = 2πc LC ;

;

=16;

C2 =

;

= 2πc LC

;

λ2

296. Контур радиоприёмника настроен на волну λ = 15 м. Как нудно изменить индуктивность катушки колебательного контура приёмника, чтобы он стал настроенным на волну с λ = 30 м при неизменной ёмкости конденсатора контура?

Решение

T = 2π LC; ν =

;

c = λν;

λ =

= 2πc LC;

2π

λ = 2πc L C;

;

= 4; L2 = 4L1;

= 2πc L

297. Колебательный контур радиоприёмника содержит конденсатор, ёмкостью С = 10 нФ. Какой должна быть индуктивность контура, чтобы обеспечить приём волны длиной λ = 300 м? Скорость распространения электромагнитных волн принять равной с ≈ 3 108 м/с.

116

Решение

T = 2π LC; ν =

;

c = λν;

λ =

= 2πc LC;

2π

= LC;

λ2

≈

9 104

≈ 2,54мкГн;

2πс

−8

4π

298. Период колебаний математического маятника в неподвижном лифте Т1 = 1 с. С каким ускорением движется лифт вниз, если период колебаний маятника стал равным Т2 = 1,1с?

Решение

= 2π

;

1,21 =

;

a ≈1,74

;

g − a

10 − a

с2

= 2π

;

g − a

299. При какой скорости поезда маятник с длиной нити подвеса l = 1 м, подвешенный в вагоне, раскачивается наиболее сильно, если длина рельса Х

= 30 м?

Решение

1. Маятник будет раскачиваться наиболее сильно, когда частота собственных колебаний маятника будет совпадать с частотой внешней возмущающей силы, возникающей при прохождении стыков (см. зад. 277):

T = 2π

;

v =

15,1

≡ 54,38

км

;

6,28 0,1

2π

300. Максимальный заряд конденсатора в колебательном контуре qm = 6 мкКл. Индуктивность катушки L = 3 мГн, электроёмкость конденсатора С = 2 мкФ. В некоторый момент сила тока в колебательном контуре i = 0,024 А. Определить заряд конденсатора в этот момент времени.

Решение

1. Максимальное значение энергии колебательного контура:

= q2m

Wm 2C ;

2. Магнитная составляющая энергии при заданном значении силы тока

= Li2 WL 2 ;

3. Энергия электрического поля конденсатора для этого момента времени:

W	= W	− W =	q2	−	Li2	=	q2	; q2	= q2	− LCi2 ;
			m				x

C	m	L	2C		2		2C	x	m

qx q2m − LCi2 = 36 10−12 −3 10−3 2 10−6 5,76 10−4 5,7 10−6 Кл ≡ 5,7мкКл;

117

301.В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока

вкатушке индуктивности im = 5 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе um = 2 В. Определить напряжение на конденсаторе в тот момент времени, когда сила тока i = 3 мА,

Решение

1. На основании закона сохранения энергии для идеального колебательного контура:

Сu2	Cu	2	Li2	; ux = um2 −	L	i2	;
x =	2	m −	2		C
2

2. Отношение L/C определим, воспользовавшись условием равенства максимальных значений электрической и магнитной составляющей энергии:

Сu	2	Li2	L	=	u2
2	m =	m ;	C	=	m ;
2		2	C		im2

3. Напряжение на конденсаторе в заданный момент времени:

u		=	u2	−	u2 i2	= u		1−	i2	= 2 1− 0,36 =1,6 B;
					m
									im2
	x		m		im2		m

302. Заряд конденсатора идеального колебательного контура состоящего из катушки индуктивности L = 25 мкГн и конденсатора, при свободных колебаниях изменяется по закону:

q(t) =10−4 sin(2 103 t);

Определить максимальную энергию конденсатора.

	Решение
1. Амплитудное значение силы тока в контуре:
i(t) = dq	=10−4 2 103 cos(2 103 t); im = 0,2A ;
dt

2. Из условия равенства максимальных значений магнитной и электрической составляющих энергии в идеальном колебательном контуре:

W	= W =	Li2	2,5 10−5 4 10−2	= 5 10	−	7 Дж ≡ 0,5мкДж;
W	= W =	m =		= 5 10		7 Дж ≡ 0,5мкДж;
M	Э	2	2
		2	2

303. Определить период электромагнитных колебаний в LC-контуре, если амплитуда силы тока im, а амплитуда электрического заряда на пластинах конденсатора qm.

				Решение
Li2	q2			q2	q	m		2πq	m
m =	m	;	LC =	m ; LC =		m	; T = 2π LC =		m	;
m =	2C	;	LC =	m ; LC =			; T = 2π LC =	im		;
2	2C			im2	im			im

304. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой А = 2 см. Полная энергия колебаний Е = 0,3 Дж. При каком смещении от положения равновесия на шарик будет действовать возвращающая сила F = 22,5 Н?

118

Решение

1. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости пружины:

	E =		kA2		;			k =	2E	;
				2					A2

2. Смещение при заданном значении возвращающей силы:
F = k x;	x =	F	=	FA2		=	22,5 4 10−4
		k		2E				0,6		= 0,015м ≡1,5см;

305. Электрическая лампочка, соединённая с пружиной совершает вертикальные колебания с постоянной частотой ν = 1 Гц и амплитудой А = 20 см. При нахождении лампочки в крайнем нижнем и крайнем верхнем положении кажется, что она вспыхивает ярче, несмотря на то, что через нить накала течёт постоянный по величине ток. Почему?

Решение

1. Запишем уравнения смещения и
скорости при гармонических свободных
колебаниях и построим графики этих за-
висимостей
x(t)= A cos			2π	t;
x(t)= A cos				t;
			T
	2π		T	2π

&		sin			t.
&
x(t)= A	T			T
	T			T

2. Из системы уравнений видно, что в Рис. 305. Колебания лампочки на пружине

момент времени 1 отклонение лампочки от положения равновесия будет максимальным, в то время как скорость лампочки (точка 2* нижнего графика) будет равна нулю, другими словами, у наблюдателя будет создаваться впечатление что, лампочка на некоторое мгновение останавливается. В окрестностях точек 1*, 3* скорость лампочки будет иметь относительно малое значение.

3. Вычислим максимальное значение скорости

x&max = 0,2 6,28sin π2 =1,25 мс .

4. Когда смещение лампочки будет достигать значений х(t) = 0,95 А скорость лампочки будет равна 0,2 м/с.

119

6. Оптика

306. К потолку комнаты высотой Н = 4 м прикреплено светящееся панно − лампа в виде круга диаметром d = 2 м. На высоте h = 2 м от пола параллельно ему расположен непрозрачный квадрат со стороной а = 2 м. Центр панно и центр квадрата лежат на одной вертикали. Найти минимальный линейный размер тени на полу.

Решение

1. Светящееся панно является протяженным источником света, поэтому в соответствии с принципом Ферма (свет распространяется из одной точки в другую по пути, для прохождения которого требуется минимальное время) на квадрат будет падать параллельный световой поток, поэтому минимальный размер тени на полу от квадрата будет равен размерам квадрата, т.е. х = а = 2 м.

307. Точечный источник света S находится над круглой непрозрачной пластиной на расстоянии а = 1 м от неё. Расстояние от пластинки до экрана b = 0,8 м, а диаметр тени на экране составляет d = 2,7 м. Определить радиус пластинки.

Решение

1. Размеры экрана в виде круглого диска можно определить из условия подобия прямоугольных треугольников

ABC ADK,

d 2		r			ad		1 2,7
	=		;	r =		=		= 0,75м.
a + b		a			2(a + b)		2(1+0,8)

Рис. 307. Размер экрана

308. Какой наименьшей высоты h должно быть вертикальное плоское зеркало, чтобы мадам могла, не изменяя положения головы, видеть в нём себя в полный рост H? На каком расстоянии s от пола должен находиться нижний край зеркала? Зависит ли размер зеркала от расстояния между зеркалом и мадам?

	Решение
	1. Восстановим в произвольной точ-
	ке К перпендикуляр к горизонтальному
	полу. Будем считать далее, что верти-
	кальная стена, на которой предполага-
	ется поместить зеркало проходит через
	точки NK.
	2. Выделим две крайние точки фи-
	гуры мадам С и D, располагающиеся на
Рис. 308. Отражение мадам в зеркале	расстоянии H друг от друга.
	120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>