Решения задач ЕГЭ

Решение

1. Энергия поглощённых за указанное время фотонов:

353. Ртутная лампа имеет мощность Р = 125 Вт. Сколько квантов света ежесекундно испускается при излучении волн с λ = 5,79 10 − 7 м?

Решение

354. Задана диаграмма энергетических уровней атома. Какой из отмеченных стрелками переходов между энергетическими уровнями сопровождается испусканием кванта минимальной частоты?

Решение

1.Несмотря на то, что модель атома Резерфорда инициировала целый поток идей о строении атома и особенностях устройства электронных составляющих, этой модели были присущи принципиальные недостатки.

2.Наиболее наглядно это наблюдается на примере самого простого атома во-

дорода, который по представлениям Ре-

зерфорда содержит на орбите один единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный по модулю заряду электрона. Электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите, ввиду специфики криволинейного движения обладает центростремительным ускорением an (рис. 534.2). В соответствие с классической электродинамикой такой ускоренно движущийся электрон неминуемо должен излучать электромагнит-

ную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т.е. в конце концов, эта спираль должна, закончится на ядре.

3. Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно ин-

141

тересны. Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка, Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте. Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно такова.

4. Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона со стороны ядра

удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона

т.е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как

Π(r)= − Zer 2 ,

где Ze − заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона при линейной скорости движения v равно

an = vr2 .

5. Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет, вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила заменяется силой Кулона

6. Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите и уравнение угловой скорости

и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона

L = mevr .

7. Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными {r,v, }, которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве извест-

ной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда

142

8. Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования Макса Планка, т.е.

L = nh ,

где n = 1, 2, 3, …. ∞, поскольку с L связаны все остальные переменные, то они тоже становятся квантованными

9. Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как

a0 = 4πε0h2 ≈ 5,3 10−11м ≈ 0,53Ao , mee2

и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга

Ry = mee4 = e2 13,6эВ. 4πch3 2a0

10. В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ≈1,6 10−19 Дж . Число n в квантовой механи-

ке называется главным квантовым числом.

11. Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на ,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием кванта энергии, т.е. фотона.

Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь такую же величину энергии , чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за основное, в котором не происходит излучения энергии.

Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с n > 1 являются нестабильными.

11. Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения).

•Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит. Орбиты, соответствующие стационарным состояниям определяются условием

mevn rn = 2nhπ .

•Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое (рис. 354.3)

143

.

12. Применив свои постулаты к простейшему атому водорода, Нильс Бор получил следующее условие стационарности орбит

возведём её в квадрат и подставим в уравнение скорости, которое разрешим относительно радиуса

13. Как следует из уравнения радиусы разрешённых электронных орбит пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 ≈ 5,28 10 − 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ

14. Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как

Wn = − meeε4 1 .

8h2 02 n2

15. В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием

16. Уравнение можно записать для частоты и длины волны

17. Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально экспериментальным путём

R = mee4 , 8h2ε02c

что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой модели атома Бора. Бор показал, что для более точного вычисления постоянной

144

Ридберга необходимо внести корректировки в уравнения, связанные с подвижностью ядра.

18.Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией. Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при переходе электрона на низший энергетический уровень.

19.Таким образом, переход 4 на рис. 354.1 отображает испускание фотона с минимальной энергией, следовательно, и с минимальной частотой.

355.Дана диаграмма энергетических уровней атома. Какой из отмеченных стрелками переходов между энергетическими уровнями сопровождается поглощением кванта минимальной длины волны?

Решение

1.Энергия кванта:

ε= hν = hcλ ;

2.Энергия кванта при изменении энергетического уровня атома:

ходу 6.

356. Дан график зависимости числа распавшихся ядер изотопа ртути 19080 Hg от времени. Чему равен период полураспада этого изотопа?

Решение

1. В соответствии с законом радиоактивного распада

t

N = N0 2T = N0eλt ,

где Т − период полураспада, т.е. время, в течение которого число радиоактивных ядер уменьшается примерно вдвое. «Примерно» − потому что закон имеет

вероятностный смысл, определяет наи- Рис. 356. Закон радиоактивного распада большую вероятность регистрируемой величины.

2. Половина ядер N1/2 ≈ 25 1023, поэтому период полураспада заданного изо-

топа 19080 Hg :

T12 ≈ 25 мин.

145

357. Какая часть исходных радиоактивных ядер распадается за время, равное двум периодам полураспада?

Решение

1. В соответствии с законом радиоактивного распада

t

N = N0 2T = N0eλt ,

где Т − период полураспада, т.е. время, в

Рис. 357. Период полураспада течение которого число радиоактивных ядер уменьшается примерно вдвое. «При-

мерно» − потому что закон имеет вероятностный смысл, определяет наибольшую вероятность регистрируемой величины.

2. Таким образом, за два периода полураспада распадётся 0,75 от общего исходного числа радиоактивных ядер:

NX = 0,75N0 ≡ 34 N0 ;

358. Задан график зависимости числа N не распавшихся ядер радиоактивного изотопа от времени. Через какой промежуток времени останется половина первоначального числа ядер?

Решение

1. В соответствии с законом радиоактивного распада

t

N = N0 2T = N0eλt ,

где Т − период полураспада, т.е. время, в течение которого число радиоактивных ядер уменьшается примерно вдвое. «Примерно» − потому что закон имеет вероят-

Рис. 358. Закон радиоактивного распада ностный смысл, определяет наибольшую вероятность регистрируемой величины, т.е.

половина ядер N0/2 ≈ 6 104 распадётся за время полураспада т.е. за 5 с.

359. Определить дефект масс ядра гелия 23 He , если масса протона mp ≈

1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn ≈ 1,0087 а.е.м., масса ядра гелия m = 4,026

а.е.м., 1 а.е.м. ≈ 1,66 10 − 27 кг.

Решение

m = [Zmp + (A − Z)mn ]− m;

m = [2 1,0073 +1,0087]−3,016 = 7,3 10−3 а.е.м.

m≈ 0,006 1,66 10−27 ≈1,21 10−29 кг;

360.Определить дефект масс ядра азота 147 N , если масса протона mp ≈

1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn ≈ 1,0087 а.е.м., масса ядра азота m = 14,0067

а.е.м., 1 а.е.м. ≈ 1,66 10 − 27 кг.

146

Решение

m = [Zmp + (A − Z)mn ]− m;

m = [7 1,0073 + 7 1,0087]−14,0067 =1,053 10−1а.е.м.

m≈ 0,006 1,66 10−27 ≈1,75 10−28 кг;

361.Определить энергию связи ядра лития 63 Li , если масса протона mp ≈

1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn ≈ 1,0087 а.е.м., масса ядра лития m = 6,0151 а.е.м., 1 а.е.м. ≈ 1,66 10 − 27 кг, скорость света с = 3 108 м/с.

Решение

m = [Zmp + (A − Z)mn − m]; EC = mc2 ;

m = [(3 1,,0073 + 3 1,0087) − 6,0151]≈ 3,29 10−2 а.е.м. ≡ 5,46 10−29 кг; EC ≈ 5,46 10−29 9 1016 ≈ 4,92 10−12 Дж;

362.Определить энергию связи ядра углерода 126 С, если масса протона mp

≈1,0073 а.е.м., масса нейтрона mn ≈ 1,0087 а.е.м., масса ядра лития m = 12 а.е.м., 1 а.е.м. ≈ 1,66 10 − 27 кг, скорость света с = 3 108 м/с.

Решение

m = [Zmp + (A − Z)mn − m]; EC = mc2 ;

m = [(6 1,,0073 + 6 1,0087) −12]≈ 9,6 10−2 а.е.м. ≡1,59 10−28 кг; EC ≈1,59 10−28 9 1016 ≈1,43 10−11 Дж;

363. Электромагнитное излучение с длиной волны λ = 330 нм используется для нагревания воды массой m = 200 г. Сколько времени потребуется для нагревания воды на t = 10 0С, если источник за 1 с излучает ζ = 1020 фотонов? Считать, что излучение полностью поглощается водой с удельной теплоёмкостью сТ = 4200 Дж/(кг К).

Решение

364. Каплю чёрной жидкости массой m = 0,05 г освещают пучком лазерного света с длиной волны λ = 600 нм. Интенсивность пучка ζ = 2 1017 с − 1. С какой скоростью начнёт увеличиваться температура капли, если удельная теплоёмкость жидкости сТ = 2000 Дж/(кг К)?

365. Каплю чёрной жидкости освещают пучком лазерного света с длиной волны λ = 750 нм и интенсивностью пучка ζ = 1017 с − 1. При поглощении излучения капля нагревается со скоростью ξ = 0,4 К/с. Какова масса капли. Удельная теплоёмкость жидкости сТ = 2125 Дж/(кг К).

147

366. Препарат активностью ζ = 3,9 1011 с − 1помещён в металлический контейнер массой m = 1 кг. За τ часов температура контейнера повысилась на Т = 4,6 К. Известно, что данный препарат испускает α-частицы энергией εα = 5,3 МэВ, причём энергия всех α-частиц полностью переходит во внутреннюю энергию контейнера. Найти удельную теплоёмкость металла контейнера. Теплоёмкостью радиоактивного материала и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

367. Препарат активностью ζ = 1,7 1011 с − 1 частиц в секунду помещён в медный контейнер массой m = 500 г. За время τ = 30 мин температура контейнера повысилась на Т = 1,3 К. Найти энергию α-частиц, считая что вся энергия при поглощении переходит во внутреннюю энергию контейнера. Теплоёмкостью препарата и теплообменом с окружающим пространством пренебречь. Удельная теплоёмкость меди с = 380 Дж/(кг К).

368. Период полураспада радона Т1/2 = 3,8 дня. Через какое время масса радона уменьшится в 64 раза?

Решение

369. Период полураспада радия Т1/2 ≈ 1600 лет. Через какое время масса радиоактивного радия уменьшится в ζ = 4 раза?

Решение

148

370. Период полураспада изотопа ртути Т1/2 = 20 мин. Если масса этого изотопа была равна m0 = 40 г, то сколько его останется примерно через τ = 1 час?

Решение

1.В соответствии с определением периода полураспада, за время

Т1/2 распадётся половину всех радиоактивных ядер. Поскольку, можно считать, что масса атома сосредоточена в ядре, то количество ядер будет пропорционально массе вещества (вес электронных оболочек несоизмеримо мал).

2.Заданное время τ = 1 час составляет три периода полураспада,

т.е. масса радиоактивного вещества Рис. 370. Закон радиоактивного распада за это время уменьшится в 8 раз, а

масса не распавшихся ядер составит mx = 5 г.

371. Какая часть исходных радиоактивных ядер распадётся за время, равное двум периодам полураспада?

Решение

1. В соответствии с законом радиоактивного распада

t

N = N0 2T12 = N0eλt ,

где Т1/2 − период полураспада, т.е. время, в течение которого число радиоактивных ядер уменьшается примерно вдвое. «Примерно» − по-

тому что закон имеет вероятностный смысл, определяет наибольшую вероятность регистрируемой величины, т.е. половина ядер N0/2 распадётся за период полураспада, а за следующий полупериод ещё половина от оставшихся ядер,

т.е.:

Nx = 0,75 ≡ 3 ; N0 4

372. Какая доля (в процентах) радиоактивных атомов остаётся не распавшейся через интервал времени, равный двум периодам полураспада?

Решение

ζ =1− Nx =1− 0,75 = 0,25 ≡ 25%; N0

149