Решения задач ЕГЭ

2.Сила давления на сидение тележки численно равна весу человека массой m. В верхней точке траектории нормальное (центростремительное ускорение)

an направлено к оси вращения тележки, проходящей через центр круговой траектории перпендикулярно вертикальной плоскости, поэтому в верхней точке траектории модуль силы тяжести должен быть равен модулю силы инерции, которая не является фиктивной силой, потому что вызвана не взаимодействием тел, а спецификой движения. Если к действующим ньютоновским силам добавить силы инерции, то в соответствии с принципом Даламбера тело можно рассматривать как неподвижное:

С3. На диаграмме представлены изменения давления и объёма идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение

1. Уравнения состояния газа позволяют установить:

2. На участке 1 − 2 совершается работа, численно равная количеству отданной газом теплоты:

Q = p1 V = p1(V2 − V1 )= 60кДж;

С4. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1,67 10 − 5 Тл протон движется перпендикулярно вектору магнитной индукции по окружности радиусом R = 5 м. Определить скорость протона.

Решение

1. Протон может находиться на стационарной круговой траектории при равенстве модулей силы инерции, обусловленной движением с нормальным (центростремительным) ускорением и силы Лоренца

151

С5. Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием F1 = 1 м, и окуляр с фокусным расстоянием F2 = 5 см. Какого диаметра изображение Солнца можно получить с помощью этого телескопа, если есть возможность удалять экран от окуляра на расстояние L = 1,5 м? Угловой диаметр Солнца ψ = 30′.

Рис. 1.5. Оптическая схема телескопа

Решение

С6. Какая частица Х образуется при осуществлении ядерной реакции:

11 H+21H→23 He + X;

Какая энергия освобождается при осуществлении ядерной реакции? Масса ядра водорода mH ≈ 1,00727 а.е.м., масса яра дейтерия mD ≈ 2,01355 а.е.м., масса ядра гелия mHe ≈ 3,01493 а.е.м., одна атомная единица массы эквивалентна энергии 931,5 МэВ.

Решение

1. В соответствии с законом сохранения зарядов и массовых чисел при ядерных реакциях образовавшаяся частица не обладает массой покоя и не несёт заряд, т.е. частица Х является γ − фотоном.

2. Дефект массы при осуществлении ядерной реакции синтеза: m = (mH + mD )− mHe = 3,0282 −3,01493 ≈ 0,00589 а.е.м.;

Eγ = m 931,5 ≈ 5,48 МэВ

152

an направлено к оси вращения тележки, проходящей через центр круговой траектории перпендикулярно вертикальной плоскости, поэтому в верхней точке траектории модуль силы тяжести должен быть равен модулю силы инерции, которая не является фиктивной силой, потому что вызвана не взаимодействием тел, а спецификой движения. Если к действующим ньютоновским силам добавить силы инерции, то в соответствии с принципом Даламбера тело можно рассматривать как неподвижное:

С3. На диаграмме представлены изменения давления и объёма идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение

С4. При коротком замыкании клее мм аккумулятора сила тока в электрической цепи равна Im = 24 А. При подключении к клеммам электрической лампы с сопротивлением R = 23 Ом сила тока в цепи равна I = 1 А. Определить ЭДС аккумулятора и его внутреннее сопротивление.

154

С5. Человек читает книгу, держа её на расстоянии F1 = 0,5 м от глаз. Если это расстояние наилучшего видения, то очки какой оптической силы позволят ему читать книгу на расстоянии F2 = 0,25 м?

Решение

1.Человек обладает дефектом зрения

−дальнозоркостью, хрусталик глаза фокусирует изображение за сетчаткой глаза. Корректировка зрения осуществляет-

ся собирающими линзами, которые фокусируют изображение совместно с хру- Рис. 2.5. Дальнозоркость

сталиком на сетчатку.

2. Оптическая сила корректирующей линзы:

D = 1 − 1 = 2 дптр; F2 F1

С6. Вычислить энергию, освобождающуюся при протекании ядерной реакции:

2713 Al+42 He→3015 +01n.

Массу ядер и частиц принять равными: mAl = 26,97441 а.е.м.; mP = 29,97

008 а.е.м.; mHe = 4,00151 а.е.м.; mn = 1,00866 а.е.м.; одна атомная единица массы эквивалентна энергии 931,5 МэВ.

Решение

1. Дефект массы при осуществлении ядерной реакции:

m = (mAl + mHe )− (mP + mn ) ≈ 30,97592 −30,97847 ≈ −0,00282 а.е.м.; E = m 931,5 ≈ −2,63 МэВ

155

Вариант 3

С1. В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате t1 = 19 0С на стенке стакана с холодной водой начинается конденсация паров воды из воздуха, если снизить температуру стакана до t2 = 9 0С. По результатам эксперимента определить относительную влажность воздуха. Почему конденсация паров воды из воздуха может начинаться при различных значениях температуры?

Решение

1. Абсолютная влажность воздуха в комнате численно равна массе водяных паров, содержащихся в единичном объёме воздуха при данной температуре:

f= mVП = ρH =16,3 мг3 ;

2.Относительная влажность пара:

ϕ= p = 11 = 0,5 (50%); pH 22

3. Водяной пар только условно можно, с множественными оговорками, считать идеальным газом. На самом деле водяной пар представляется реальным газом, молекулы которого обладают заметным собственным объёмом и взаимодействуют между собой. Для описания поведения реальных газов в широком диапазоне температур и давлений было предложено много уравнений, однако самым простым и достаточно точным из всех, по мнению многих авторов, является уравнение, предложенное в 1873 г. нидерландским физиком Ван-дер-

Ваальсом (1837 − 1923).

4. Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает взаимодействие между молекулами двумя способами. Во-первых, учитывается собственный объём молекул. Если обозначить объем всех молекул через b, то свободным останется объём:

Vμ = VΣ − b ,

где V∑ − общий объём, предоставленный газу. Во-вторых, учитывается, что подлетающая к стенке молекула испытывает на себе притяжение остальных, которое уравновешивалось, во время нахождения молекулы внутри сосуда. Это притяжение эквивалентно дополнительному давлению pi , которое называют

внутренним давлением газа. Вместо внешнего давления Ван-дер-Ваальс включил в уравнение сумму давлений(p + pi ) . Внутреннее давление газа определяет-

156

ся концентрацией молекул, силы, возникающие при взаимодействии тоже пропорциональны концентрации, поэтому, для одного моля газа можно записать:

pi n2 12 ;

Vμ

Если коэффициент пропорциональности обозначить через а, то уравнение состояния для одного моля реального газа примет вид:

5. Уравнение называется уравнением Ван-дер-Ваальса. Разрешим его относительно давления:

Для разреженных газов величинами а и b можно пренебречь, уравнения в этом случае переходят в уравнение состояния идеального газа.

6. Преобразуем уравнение реального газа к виду кубического уравнения

(pVμ2 )(Vμ − b)= RTVμ2 −(Vμ2 − b)a; pV3 − pV2b − RTV2 + Va − ba = 0;

7. Кубическое уравнение, как известно, имеет три корня, из которых в данном случае необходимо рассматривать только действительные. Другими словами, уравнение может иметь или три вещественных корня или один вещественный и два комплексно − сопряжённых корня, не имеющих физического смысла. Зависимости давления от объёма при трёх заданных температурах (изотермы) приведены на рис. 3.1.1, причём Т2 > Тk >Т1 .

отличаются от изотерм идеального газа только искажением формы, оставаясь, в принципе, монотонно спадающей кривой. Изотерма Тк называется критической изотермой, которая имеет только одну точку перегиба К, которая тоже называется критической точкой. Соответствующее этой точке давление и объём

157

так же называются критическими. Состояние вещества, характеризующееся параметрами (pk, Vk, Tk) называется критическим состоянием.

9. Выделим одну из изотерм, например, полученную при температуре Т1 и проанализируем её закономерности. Уравнение Ван-дер-Ваальса при значении давления р1 даёт три значения объёма V1, V2, V3. Горизонтальная линия, соответствующая давлению р1 пересекает выделенную изотерму в трёх точках B, D

иM.

10.Правая часть изотермы (АС) при уменьшении объёма газа в первом

приближении близка к изотерме закона Бойля − Мариотта, поскольку поправки Ван-дер-Ваальса невелики и левая часть уравнения Ван-дер-Ваальса близка к pV. При дальнейшем уменьшении объёма газа поведение его становится нетрадиционным. На участке изотермы CL происходит конденсация, газ частично превращается в жидкость, обладающую несравненно большей плотностью, от-

сюда и уменьшение объёма. В точке изотермы L практически большая часть газа конденсируется и далее жидкость слабо меняет свой объём. Точка М соответствует окончанию конденсации, весь насыщенный пар трансформируется в жидкость.

Следует отметить, что кривая BCDLM не описывается уравнением Ван-дер-Ваальса, это состояние называется метастабильным, т.е. малоустойчивым.

11. Рассмотрим семейство изотерм Ван-дер-Ваальса (рис. 3.1.2), полученных при различных темпе-

Рис. 3.1.2. Семейство изотерм Ван-дер-Ваальса ратурах. Повышение температуры сопровождается укорачиванием го-

ризонтальных участков, соответствующих режиму конденсации насыщенного пара. Начиная с некоторого значения критической температуры Tcr, зона конденсации вырождается, исчезают фазовые переходы, что свидетельствует о неразличимости при данной температуре свойств жидкости и газа.

12. Значение Tcr для каждого вещества индивидуально, этой критической температуре соответствуют вполне определённые критические значения давления и объёма. Если на всех кривых соединить плавной линией все точки изотерм, в которых начинается кипение и конденсация, то образуется некоторая колоколообразная область, обозначенная на рис. 3.1.2. пунктирной линией. Выделенная линия разделяет pV − диаграмму на три характерные области. Правая часть диаграммы соответствует однофазному существованию вещества

вгазообразном состоянии. Правая часть характеризуется состоянием вещества

вжидкой фазе. Внутри колоколообразной области вещество представлено дву-

мя фазами, жидкостью и паром. Выше изотермы, соответствующей Tcr вещество однофазно. Так, например, для воды критической является температура

Tcr(H2O) +374 0С и давление pcr 2,18 107 Па.

13. Метастабильное состояние, характеризующееся тем, что жидкость может быть перегрета, а пар переохлаждён, зависит, прежде всего, от наличия зародышей конкурентной фазы. В данном случае, конденсация начинается на зародышах в виде мельчайших капелек, которые в изобилии присутствуют в

158

микротрещинах на поверхностях твёрдых тел, в частности на поверхности стакана. Так, например, дистиллированную воду при тщательной очистке и дегазации в лабораторных условиях можно нагревать до температур около 150 0С до наступления кипения. Тоже относится и к конденсации, в объёмах, лишённых зародышей конденсация может начинаться при меньших температурах.

С2. В аттракционе человек массой m = 80 кг движется на тележке по рельсам и совершает «мёртвую петлю» в вертикальной плоскости. Каков радиус круговой траектории, если при скорости v = 10 м/с, направленной вертикально вверх, сила нормального давления человека на сиденье равна Р = 1600 Н?

Решение

1. В указанном положении сила тяжести,

направленная вертикально вниз будет иметь на горизонтальную ось нулевую проекцию, Рис. 3.2. «Мёртвая петля»

поэтому сила нормального давления будет обусловлена только нормальным (центростремительным) ускорением:

159

С4. При коротком замыкании выводов гальванического элемента сила тока в цепи Im = 2 А. При подключении к выводам элемента лампочки с электрическим сопротивлением R = 3 Ом сила тока в цепи I = 0,5 А. Определить внутреннее сопротивление источника.

С5. Для наблюдения явления интерференции света используется точечный источник света и небольшой экран с двумя отверстиями у глаз наблюдателя. Оценить максимальное расстояние d между отверстиями в экране, при котором может наблюдаться явление интерференции. Разрешающая способность глаза равна ζ = 1′, длина световой волны λ = 5,8 10 − 7 м.

C6. Фотокатод облучают светом с длиной волны λ = 300 нм. Красная граница фотокатода λ0 = 450 нм. Определить запирающее напряжение U между анодом и катодом.

Решение

1. Работа выхода фотоэлектронов из фотокатода:

A = hc ;

λ0

2. Запирающее напряжение между анодом и катодом:

160