Решения задач ЕГЭ

184. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно η = 0,2. Во сколько раз абсолютная температура нагревателя больше температуры холодильника?

185. В сосуд, содержащий m1 = 8 кг воды при температуре t1 = 15 0С, положили лёд, имеющий температуру t2 = − 40 0С. В результате теплообмена установилась температура θ = − 3 0С. Удельная теплоемкость воды с1 = 4200 Дж/(кг К), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кг К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3 105 Дж/кг. Определить массу льда mx.

Решение

1.Величина установившейся температуры θ свидетельствует о том, что вся

масса воды превратилась в лёд, следовательно, вода вначале была охлаждена до 0 0С, а потом заморожена и всё это за счёт изменения внутренней энергии льда.

2.Тепло, необходимое для доведения воды до температуры, соответствующей тройной точке, когда вода одновременно находится в трёх фазовых состояниях:

Q1 = c1m1 T1; T1 = (t1 −t0 ) =15 K;

3. Количество тепла, требующееся для переведения воды из жидкого состояния в твёрдое состояние:

Q2 = m1λ;

4. Количество тепловой энергии, отданное льдом:

Q3 = c2mx T2 ; T2 = (t2 − θ) = 37 K;

5. Уравнение теплового баланса (закона сохранения энергии): Q1 + Q2 = Q3;

с1m1 T1 + λm1 = c2mx T2 ; m1(c1 T1 + λ) = mxc2 T2 ;

186. Ванну вместимостью M = 85 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру Θ = 30 0С, используя воду с температурой t2 = 80 0C и лёд при температуре t3 = − 20 0C. Удельная теплоёмкость воды с1 = 4200 Дж/(кг К), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кг К), удельная теплота плавления льда λ = 3,36 105 Дж/К. Определить какую массу льда mx необходимо добавить в воду.

Решение

1. Количество тепла, отданного горячей водой:

Q1 = c1(M − mx ) T1; T1 = t2 − Θ = 50K;

2. Количество тела, необходимого для нагревания льда до температуры плавления:

Q2 = c2mx T2; T2 = t3 − t0 = 20K;

71

3. Количество тепла, требующееся для превращения льда в воду

Q3 = mxλ;

4. Количество тепла, необходимое для нагревания растаявшей воды до температуры Θ:

187. В воду массой m1 = 0,5 кг, находящуюся при температуре t1 = 16 0C, впустили m2 = 7,5 10 − 2 кг водяного пара, имеющего температуру t2 = 100 0C. Удельная теплота парообразования воды r = 2,3 106 Дж/кг. Определить установившуюся температуру воды Θ.

Решение

1. Уравнение теплового баланса с учётом конденсации пара: c1m1(Θ − T1) = m2r + с1m2 (T2 − Θ);

c1m1Θ − c1m1T1 = m2r + c1m2T2 − c1m2Θ; c1m1Θ + c1m2Θ = m2r + +c1m1T1 + c1m2T2 ;

Θ = m2r + c1(m1T1 + m2T2 ) ; c1(m1 + m2 )

Θ = 7,5 10−2 2,3 106 + 4200(0,5 289 + 7,5 10−2 373) 371,4 K(98,4 0C); 4200 0,575

188. В калориметр налили m1 = 2 кг воды с температурой T1 = 278 К и положили кусок льда массой m2 = 5 кг при температуре Т2 = 233 К. Определить установившуюся температуру. Удельная теплоёмкость воды с1 = 4200 Дж/(кг К), удельная теплоёмкость льда с2 = 2100 Дж/(кг К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3 105 Дж/кг.

Решение

1. Возможны четыре варианта развития событий:

•весь лёд растает, и температура станет равной Θ = 273 оК;

•растает часть льда, температура будет Θ = 273 оК;

•вся вода замёрзнет и температура смеси будет Θ < 273 оК;

•замёрзнет только часть воды, Θ = 273 оК.

2. При охлаждении воды до Θ = 273 оК вода отдаёт тепло в количестве:

Q1 = c1m1(T1 −Θ) 4200 2 5 4,2 104 Дж;

72

3. При нагревании лёд поглотит тело в количестве:

Q2 = c2m2 (Θ −T1 ) 2100 5 40 4,2 105 Дж ;

4. Поскольку Q2 > Q1, то возможны только случаи полного или частичного замерзания воды. Если замёрзнет вся вода, то

Q3 = λm1 3,3 105 2 6,6 105 Дж ;

5. Поскольку Q1 + Q3 > Q2, то тепловое равновесие отсутствует, т.е. в калориметре имеет место последний случай, когда температура установится на

уровне Θ = 273 оК и лёд растает частично. Уравнение теплового баланса, соответствующее данной ситуации будет иметь вид:

189. Вода, как известно, может находиться в метастабильном состоянии. Очищенную воду можно переохладить до Т1 263 К. Сколько льда образуется из такой воды массой m0 = 1 кг, если в неё поместить центр кристаллизации в виде кусочка льда?

Решение

1. Пусть в переохлаждённой воде образовался лёд массой m2, при этом внутренняя энергия молекул уменьшится на величину

U1 = λm2 ;

2. При кристаллизации лёд выделит тепло, вследствие чего вода нагреется, что приведёт к изменению её внутренней энергии

U2 = c1m1(T0 −T1 )+ c2m2 (T0 −T1 ),

где с1 − удельная теплоёмкость воды, с2 − удельная теплоёмкость льда, Т0 = 273

К

190. Для определения температуры t1 печи нагретый в ней стальной цилиндр с массой m1 = 0,3 кг бросили в медный сосуд с массой m3 = 0,2 кг, содержащий m2 = 1,27 кг воды при температуре t2 = 15 оС, при этом температура воды в сосуде повысилась до Θ = 32 оС. Определить температуру печи.

Решение

1. Количество теплоты, отданной цилиндром, по закону сохранения энергии должно быть равно количеству тепла полученного водой и медным сосудом − калориметром. Уравнение теплового баланса запишется следующим образом: m1c1(t1 −Θ)= m2c2 (Θ − t2 )+ m3c3 (Θ − t2 ),

где m1 − масса цилиндра, с1 ≈ 460 Дж(кг К) − удельная теплоёмкость стали, t1 − начальная температура цилиндра, Θ − средняя установившаяся в калориметре

73

температура, m2 − масса воды, m3 − масса калориметра, с2 ≈ 4200 Дж/(кг К) − теплоёмкость воды, с3 ≈ 385 Дж/(кг К) − удельная теплоёмкость меди.

2. Решим уравнение теплового баланса относительно начальной температуры цилиндра, которая одновременно принимается и за температуру печи

t1 = (Θ − t2 )(c2m2 + c3m3 )+ c1m1Θ ; m1c1

t1 17(4200 1,27 + 460 0,2)+ 460 0,3 32 684 oC . 0,3 460

191. На сколько изменится масса и внутренняя энергия воздуха в комнате при повышении температуры от t1 = 10 oC до t2 = 50 oC? Давление р = 105 Па, Объём комнаты V = 100 м3.

Решение

1. Выразим массу из уравнения Клапейрона-Менделеева

2. Изменение массы

3. Изменение внутренней энергии определится из условия уменьшения количества молекул в связи с уменьшением массы воздуха

192. Найти концентрацию молекул идеального одноатомного газа в сосуде вместимостью V = 2 10 − 3 м3 при температуре Т = 300 оК, если его внутренняя энергия и этом состоянии равна U = 300 Дж.

Решение

1. Запишем уравнения состояния идеального газа, давления и внутренней энергии

2. Совместное решение уравнений даёт:

193. Какое количество теплоты подведено к двум молям идеального газа при осуществлении процесса 1 → 2 → 3, если начальная температура его была равна Т0 = 300 К?

Решение

1. Температура газа в состоянии 2:

74

2. При переходе газа 1 → 2 производится работа и изменяется внутренняя энергия газа, т.к. изменяется температура и объём газа:

A1→2 = p2 2+ p1 (V2 − V1 )= 32 p0V0 ; A1→2 = 32 νRT0 =1,5νRT0 ;

Q=11νRT0 =11 2 8,3 300 54780Дж;

194.Определить КПД тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела одноатомный идеальный газ и работающей по замкнутому циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар.

внутри графика циклического процесса, построенного в p − V координатах: A* = (p2 − p1)(V2 − V1) = р1V1 ;

3. Газ получает тепло на этапах 1 → 2 и 2 → 3, в этой связи: QΣ = Q1→2 + Q2→3 ;

4. Для определения Q1→2 и Q2→3 необходимо определить соотношение абсолютных температур Т1, Т2 и Т3, что можно сделать, воспользовавшись уравнениями Клапейрона − Менделеева:

75

5. Количество теплоты, полученное идеальным одноатомным газом:

195. Задан замкнутый цикл для одноатомного идеального газа. Определить КПД цикла.

7.Коэффициент полезного действия цикла:

η= A* = 4,5 = 0,15 (15%); QΣ 30

76

201. Определить результирующую напряжённость электрического поля в точке А.

Рис. 201. Напряжённость поля трёх электрических зарядов

78

202. Определить результирующий потенциал электрического поля трёх зарядов в точке А.

Решение

203. Определить полную потенциальную энергию системы трёх электрических зарядов, расположенных на одной линии.

Решение

U1,2,3 = U1,2 + U2,3 + U1,3;

U1,2,3 = kqa 2 (3 − 6 − 2)= −5kqa 2 ;

205. В горизонтальное 0днородное электрическое поле помещён шарик массой m = 1 г, подвешенный на шёлковой нити. Шарику сообщён заряд q = 1 мкКл. Определить значение напряжённости поля, если нить отклонилась от вертикали на угол α = 600.

Решение

1. Представим условие равновесия шарика в виде уравнений второго закона ньютона в проек-

циях на оси декартовой системы координат:

Рис. 205. Напряжённость поля

79

2. Разрешим верхнее уравнение правой системы относительно напряжённости:

206. Заряженный шарик, подвешенный на невесомой шелковой нити, находится во внешнем однородном горизонтальном электрическом поле. Нить образует угол с вертикалью α1 = 450 На сколько изменится угол отклонения нити при уменьшении заряда на 30%?

207. Заряженная пылинка движется вертикально между двумя одинаковыми пластинами размером 5 см × 5 см, расположенными друг против друга на расстоянии d = 0,5 см. Разность потенциалов между пластинами U = 300 В. Кинетическая энергия пылинки при перемещении от одной пластины к другой изменяется на К = 1,5 мкДж. Определить заряд пылинки в нКл. Действием силы тяжести пренебречь.

Решение

1.Сопоставление размеров пластин и расстояния между ними позволяет считать поле между пластинами однородным.

2.Напряжённость электрического поля между пластинами:

E = Ud ;

2. Сила Кулона, действующая со стороны поля на заряженную пылинку: FK = qx E = qxdU ;

3. В соответствие с теоремой об изменении кинетической энергии, изменение кинетической энергии пылинки при её перемещении между пластинами будет равно работе силы Кулона на этом перемещении:

80