Вариант 22
С1. С помощью гигрометра, находящегося в комнате при температуре t1 = 24 0С, установили, что роса на поверхности металлической пластинки появилась при температуре t2 = 12 0С. Пользуясь таблицей, определить относительную влажность воздуха в помещении.
|
|
|
|
Решение |
|
ϕ = |
p |
≈ |
1,4 103 |
≈ 0,467 ≈ 46,7%; |
|
pH |
3 103 |
|
|
|
|
С2. На верёвке длиной l = 1 м висит груз массой m = 0,1 кг. Максимальное натяжение, которое может выдержать верёвка Tm = 2 Н. На какой максимальный угол можно отклонять верёвку, чтобы она не оборвалась, после того как её отпустят?
Решение |
|
1. Максимальное |
натяжение нити |
|
будет иметь место при прохождении |
|
грузом нижней точки траектории, т.е. |
|
положения статического равновесия. В |
|
этом случае уравнение второго закона |
|
Ньютона в проекции на вертикальную |
|
ось примет вид: |
|
|
|
T = mg + |
mv2 |
|
|
; |
|
|
|
m |
l |
|
|
Рис. 22.2. Максимальный угол отклонения |
2. Предельное значение скорости оп- |
ределится законом сохранения энергии, который справедлив для консервативных сил, каковой является сила тяжести:
|
|
mv2 |
= mgh = mgl(1− cosα); |
v2 = 2lg(1− cosα) ; |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Максимальный угол отклонения верёвки от вертикали; |
|
T = mg + m2lg(1- cosα) = mg[1+ 2(1− cosα)]= mg(1+ 2 − 2cosα); |
|
m |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
2cosα = 3 − |
Tm |
; |
cosα = 1 ; |
α = arccos 1 = 600 ; |
|
|
|
|
|
|
mg |
2 |
2 |
221
Рис. 22.4. Напряжённость поля куба
С3. Воздушный шар объёмом V = 2500 м3 с массой оболочки m = 400 кг имеет внизу отверстие, через которое горелкой нагревается воздух. Определить максимальную массу груза М, которую может поднять шар, если воздух в нём нагреть до температуры t1 = 77 0C при температуре окружающего шар воздуха t2 = 7 0С. Давление воздуха нормальное, оболочка шара нерастяжимая.
Решение
1. Плотность холодного и тёплого воздуха:
|
|
|
|
p V |
|
|
= |
m0 |
RT ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
μ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
V |
|
|
= |
RT ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
μ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ0 |
= |
|
p0μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
; |
ρ |
|
≈1,25 |
|
|
Рис. 22.3. Воздушный шар |
|
RT0 |
|
0 |
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0μ |
|
|
|
|
ρ ≈1 кг |
|
|
|
ρ = |
|
; |
; |
|
|
|
|
1 |
|
RT1 |
|
|
|
1 |
м |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Условие равновесия шара: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg + mg ≤ (ρ0 −ρx )gV; |
(M + m)≤ (ρ0 −ρ)V; |
|
|
|
|
M = (ρ0 −ρ)V − m ≈ 225кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С4. Медный куб с длиной ребра а = 0,1 м скользит по столу с постоянной скоростью v = 10 м/с, касаясь стола одной из плоских поверхностей. Вектор магнитной индукции магнитного поля В = 0,2 Тл направлен вдоль поверхности стола и перпендикулярен вектору скорости куба. Определить модуль напряжённости электрического поля, возникающего внутри материала.
Решение
1. При движении куба, который в данном случае можно рассматривать как объёмный проводник, перемещающийся в магнитном поле, будет возникать ЭДС индукции:
| εi |= |
dΦB |
= |
BdS = |
Badx |
; |
dx |
= v; |
|
dt |
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
εi |
|
|
= Bva; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Между поверхностями куба будет возникать, таким образом, разность потенциалов Δϕ = |εi|, напряжённость электрического поля, создающего разность потенциалов, определится как:
Er = εai = Bv = 2 мВ;
С5. Определить эквивалентные значение ЭДС и внутреннего сопротивления заданного соединения источников тока.
Решение
1. Внутреннее сопротивление соединения определится в виде суммарного сопротивления двух параллельных резисторов:
r0 = r1r1+r2r2 ;
2. Поскольку внутренние сопротивле- Рис. 22.5. Соединение источников тока ния источников разные, то для источника с ε1 внешней нагрузкой является внутреннее сопротивление источника ε2 и наоборот:
ε |
0 |
(r |
+ r |
)= ε r |
+ ε r ; |
ε |
0 |
= ε1r2 + ε2r1 |
; |
|
1 |
2 |
1 2 |
2 1 |
|
r1 |
+ r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С6. Радиоактивный элемент излучает α-частицу, которая попадает в маг-
нитное поле и вращается в нём по окружности радиуса r = 0,1 м с линейной r
скоростью v = 1 105 м/с. Чему равен модуль вектора магнитной индукции В ?
Решение
1. α-частица представляет собой дважды ионизированный атом гелия, у которого удалены два электрона, т.е α-частица является, по сути, ядром атома гелия с положительным зарядом qα = 2e и массой
mα = |
μ |
; |
μ = 4 |
10−3 |
кг |
; NA ≈ 6 1023 |
1 |
; |
|
моль |
моль |
|
NA |
|
|
|
|
2. Условие нахождения заряженной частицы в магнитном поле на стацио-
|
нарной круговой траектории: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qαvB |
= mαv2 ; |
qαB = mαv |
; B |
= mαv |
= |
μv |
; |
|
2eNAr |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
qαr |
|
|
|
B ≈ |
|
4 10−3 1 105 |
|
≈ 2,1 10−2 Тл ≡ 21 мТл; |
|
|
|
2 1,6 10−19 6 1023 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1. Подъёмной силой воздушного шара является сила Архимеда, которая создаётся атмосферным воздухом.
1.Как изменяется подъёмная сила по мере подъёма воздушного шара?
2.Зачем воздухоплаватели берут с собой балласт − мешки с песком?
Решение
Рис. 23.1. Параметры земной атмосферы
1. Плотность воздуха на поверхности земли ρ0 и на высоте ρх:
p V |
= |
m0 |
|
RT ; |
|
ρ |
|
= |
|
p0μ |
; |
|
|
|
|
|
RT |
|
0 |
0 |
|
|
μ |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
p0μ |
|
|
|
p |
V = |
|
RT ; |
|
|
ρ |
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
μ |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
RTx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224
2. Условие равновесия шара:
Mg + mg ≤ (ρ0 −ρx )gV; (M + m)≤ (ρ0 −ρx )V,
где М − масса полезной нагрузки шара (аэронавты, оборудование, снаряжение и балласт), V − объём оболочки шара, m − масса оболочки и содержащегося в ней газа.
3. По мере подъёма воздушного шара над поверхностью температура окружающего воздуха понижается (рис. 23.1), что приводит к уменьшению величины (ρ0 − ρх), значение силы Архимеда тоже уменьшается. Для того, чтобы шару продолжить подъём необходимо уменьшить величину полезной массы, например, выбросив за борт балласт
M − m = (ρ0 −ρx )V − m ;
С2. На нити длиной l = 1 м в горизонтальной плоскости вращается маленький шарик. На какой угол от вертикали отклоняется нить при угловой скорости вращения ω = 4 рад/с?
Решение
1. Уравнения второго закона Ньютона в проекции на оси координат:
2 |
|
|
− Tsin α + mω |
r = 0; |
T cosα − mg = 0; |
|
r = lsin α;
2. После деления уравнений друг на дру- |
|
Рис. 23.2. Шарик на нити |
|
|
|
|
га и подстановки значения r: |
|
|
|
|
|
sin α |
|
ω2lsin α |
|
g |
|
|
0 |
|
= |
|
; α = arccos |
|
|
|
51,3 ; |
cosα |
g |
2 |
|
|
|
ω l |
|
С3. Во сколько раз отличается внутренняя энергия воздуха в открытом сосуде при температурах t1 = 27 0C и t2 = 67 0C?
Решение
1. В открытом сосуде при различных температурах будет разное количество воздуха:
p |
V = ν |
RT ; |
ν = p0V |
; |
|
1 |
RT |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p0V = ν2RT2 ; |
ν2 = p0V |
; |
|
|
|
|
|
RT2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Внутренняя энергия в каждом из состояний определится как:
U |
= |
i |
ν |
RT |
= |
6 p0V T ; |
U |
|
= |
i |
ν |
RT |
= |
6 p0V T ; |
|
|
|
1 |
|
2 1 |
1 |
|
2 RT |
1 |
|
2 |
|
2 2 |
2 |
|
2 RT 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С4. К однородному медному цилиндрическому проводнику длиной l = 10 м приложили разность потенциалов Δϕ = 1 В. Определить промежуток времени, в течение которого температура проводника изменится на Т = 10 К. Изменением сопротивления проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренебречь. Плотность меди ρ1 = 8,9 103 кг/м3, удельное сопротивление меди ρ2 = 1,7 10 − 8 Ом м, удельная теплоёмкость меди с = 380 Дж/(кг К).
Решение
1. Масса проводника:
m= ρ1lS;
2.Электрическое сопротивление проводника:
R= ρS2l;
3.Сохранение энергии при преобразовании электрической энергии в тепловую энергию:
cm T = |
ϕ2 |
τ; τ = |
cρ ρ |
l2 |
T |
= |
380 8,9 103 1,7 10−8 102 10 |
≈ 57,5c; |
R |
1 2 |
|
|
1 |
|
|
ϕ2 |
|
|
|
С5. Определить эквивалентные значение ЭДС и внутреннего сопротивления заданного соединения источников тока.
Решение
1. Внутреннее сопротивление соединения определится в виде суммарного сопротивления двух параллельных резисторов:
r0 = r1r1+r2r2 ;
2. Поскольку внутренние сопротивления Рис. 23.5. Соединение источников источников разные, то для источника с ε1
внешней нагрузкой является внутреннее сопротивление источника ε2 и наоборот:
ε |
0 |
(r |
+ r |
)= ε r |
− ε r ; |
ε |
0 |
= ε1r2 − ε2r1 |
; |
|
1 |
2 |
1 2 |
2 1 |
|
r1 |
+ r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С6. С Какой скоростью вылетает α-частица из радиоактивного ядра, если она, попадая в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл перпендикулярно его силовым линиям, движется по дуге окружности радиуса r = 0,5 м?
Решение
1. α-частица является, по сути, ядром атома гелия с положительным зарядом qα = 2e и массой
mα = |
μ |
; |
μ = 4 |
10−3 |
кг |
; NA ≈ 6 1023 |
1 |
; |
|
моль |
моль |
|
NA |
|
|
|
|
2. Условие нахождения заряженной частицы в магнитном поле на стационарной круговой траектории:
qαvB = |
m |
|
v2 |
2eBrN |
|
|
3,2 |
10−19 0,5 1 6 1023 |
≈ 2,4 107 |
м |
|
|
α |
; v = |
|
A |
≈ |
|
|
|
; |
|
r |
μ |
|
4 10−3 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24
С1. Относительная влажность воздуха в комнате ϕ = 77%, а температура t1 = 18 0C. При какой температуре воздуха на улице оконные стёкла запотеют?
|
|
p |
|
Решение |
|
ϕ = |
; |
p = ϕpH = 0,77 2,066 ≈1,59кПа; |
|
|
|
|
pH |
|
|
|
|
t2 |
≈14 0C; t ≤18 −14 = 4 0C; |
С2. С какой скоростью едет автомобиль по выпуклому мосту, радиус которого R = 63 м, если давление автомобиля на мост в верхней точке моста в два раза больше, чем в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет α = 300 с вертикалью?
Решение
1. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на радиусы, соединяющие положения автомобиля и центра кривизны траектории его движения:
|
mv |
2 |
|
1 |
|
mv |
2 |
|
mgcosα − |
|
= |
|
|
|
R |
|
3 |
mg − |
R |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
mg |
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
g cosα − |
R = |
3 |
− |
|
; |
|
|
|
|
Рис. 24.2. Автомобиль на мосту |
3R |
|
|
|
|
|
|
3gR |
|
|
1 |
|
|
м |
|
км |
|
|
v = |
2 |
cosα − |
3 |
|
≈ 22,4 |
с |
≡ 80 |
|
; |
|
час |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С3. Воздушный шар объёмом V = 2500 м3 имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой до температуры t2 = 7 0С, при этом шар поднимает груз с максимальной массой М = 200 кг. Температура окружающего воздуха t1 = 77 0С. Какова масса нерастяжимой оболочки шара?
Решение
1. Плотность холодного и тёплого воздуха:
p V = |
m0 |
|
RT ; |
ρ |
0 |
= |
|
p0μ |
|
; |
ρ0 |
≈1,25 |
кг |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
μ |
0 |
|
|
|
|
RT0 |
|
|
|
м |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
p0μ |
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
p |
V = |
|
RT ; |
|
ρ = |
|
; |
|
ρ ≈1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
μ |
1 |
|
1 |
|
RT1 |
|
|
|
1 |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
227
2. Условие равновесия шара:
Mg + mg ≤ (ρ0 −ρx )gV; (M + m)≤ (ρ0 −ρ)V; m = (ρ0 −ρ1 )V − M ≈ 425кг;
С4. Горизонтально расположенный проводник длиной l = 1 м движется равноускоренно в вертикальном однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,5 Тл и направлена перпендикулярно проводнику и вектору скорости. Начальная скорость проводника равна нулю, ускорение проводника а = 8 м/с2. Определить величину ЭДС индукции на концах проводника после его перемещения на расстояние s = 1 м.
Решение
1. Время движения проводника на расстояние S:
2.Скорость движения проводника в конце его пути:
v= at = 
2aS ;
3.ЭДС индукции на концах проводника:
Рис. 24.4. Проводник |
εi = |
dΦB |
= |
Bldx |
= Blv = Bv 2aS = 2B; |
в магнитном поле |
|
dt |
|
dt |
|
С5. Определить эквивалентные значение ЭДС и внутреннего сопротивления заданного соединения источников тока.
|
|
Решение |
|
1. |
Внутреннее |
сопротивление соединения |
|
определится в виде суммарного сопротивления |
|
двух параллельных резисторов: |
|
|
r |
|
= |
|
r1r2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
r1 |
+ r2 |
|
|
|
|
|
Рис. 23.5. Соединение источников |
2. |
Поскольку |
внутренние сопротивления |
источников разные, но ЭДС источников одина- |
ковые, то общая ЭДС будет равна:
ε0 (r1 + r2 )= εr2 + εr1 = ε(r1 + r2 ); ε0 = ε;
С6. Подводная лодка имеет мощность силовых установок N = 15 МВт при КПД η = 25%. Топливом служит обогащённый уран, при делении m = 1 кг которого выделяется энергия Е = 6,9 1013 Дж. Определить запас горючего необходимого для плавания в течение τ = 90 суток.
Решение
1. Энергия, необходимая лодке для плавания в течение времени τ:
W= ηNτ;
2.Необходимая для этого плавания масса урана:
Nτ = mxηE; mx = |
Nτ |
≈ |
15 106 |
90 24 3600 |
≈ 6,76кг; |
ηE |
0,25 |
13 |
|
|
6,9 10 |
|
Вариант 25
С1. Бабочки имеют второе название «чешуекрылые» из-за микроскопических мелких чешуек, которые обычно обильно покрывают четыре их прозрачных крыла. Какое оптическое явление «раскрашивает» крылья бабочек?
Решение |
|
1. Чешуйка на крыле бабочки представ- |
|
ляет собой тонкую плёнку, на которой про- |
|
исходит интерференция света, т.к. падаю- |
|
щие лучи света, отражаясь от нижней и |
|
верхней поверхности чешуйки, дают две |
|
когерентные волны: |
|
2dn cosr ± λ0 = mλ0 , |
|
2 |
|
где d − толщина чешуйки, n − показатель |
|
преломления материала чешуйки, r − угол |
|
преломления, m = 0, 1, 2, 3 ....., λ0/2 − поте- |
Рис. 25.1. Крыло бабочки |
ря полуволны при отражении. |
|
С2. Какую минимальную скорость должен иметь математический маятник, проходя положение устойчивого равновесия, чтобы он мог сделать полный оборот в вертикальной плоскости при длине подвесаl = 98 см?
Решение
1. Скорость в верхней точке траектории груза маятника
2. Закон сохранения энергии при условии принятия за нулевой уровень потенциальной энергии груза в его статическом положении:
mv2 |
= |
mv2 |
v |
|
= |
v2 |
+ 4gl = |
5lg = 7 |
м |
; |
2 |
1 + 2mgl; |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С3. В цилиндре, закрытом подвижным поршнем, находится идеальный газ. При изменении его состояния газ сжали и охладили так, что его объём уменьшился в 4 раза. Оказалось, что газ мог просачиваться сквозь зазор вокруг поршня, и за время поведения опыта давление уменьшилось в 1,5 раза. Во сколько раз изменится внутренняя энергия газа?
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p V |
= ν |
RT ; |
|
|
ν1 = |
p1V |
; |
|
|
|
|
3 |
|
p V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
RT1 |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
1 |
1 |
= 6; |
|
р |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= ν2RT2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
; |
|
ν2 = |
|
p1V1 |
; |
|
U2 |
|
|
p1V1 |
|
|
|
|
|
|
1,5 4 |
|
|
|
|
|
6RT2 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
229 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С4. Горизонтально расположенный проводник длиной l = 1 м движется равноускоренно в вертикальном однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,5 Тл и направлена перпендикулярно проводнику и вектору скорости. Начальная скорость проводника равна нулю, ускорение проводника а = 8 м/с2. Определить длину проводника если после его перемещения на расстояние s = 1 м на его концах возникла ЭДС индукции εi = 2 В.
Рис. 25.4. Проводник в магнитном поле
Решение
1. Время движения проводника на расстояние S:
2. Скорость движения проводника в конце его пути:
|
|
|
v = at = 2aS ; |
|
|
|
3. ЭДС индукции на концах проводника: |
|
εi = |
dΦB |
= |
Bldx = Blv; l = |
εi |
|
=1м; |
|
B 2aS |
|
dt |
dt |
|
С5. Определить сопротивление соединения трёх последовательных резисторов с одинаковыми сопротивлениями R.
Решение
|
1. Два резистора перемкнуты, а конденсатор |
|
представляет для постоянного тока разрыв цепи, |
|
поэтому: |
Рис. 25.5 Соединение резисторов |
R0 = R ; |
С6. Подводная лодка имеет мощность силовых установок N = 14,7 МВт при КПД η = 20%. Топливом служит обогащённый уран, при делении m = 1 кг которого выделяется энергия Е = 6,9 1013 Дж. Определить запас горючего необходимого для плавания в течение τ = 365 суток.
Решение
1. Энергия, необходимая лодке для плавания в течение времени τ:
W= ηNτ;
2.Необходимая для этого плавания масса урана:
Nτ = mxηE; mx = |
Nτ |
≈ |
14,7 106 |
365 24 3600 |
≈ 33,6кг; |
ηE |
0,2 |
13 |
|
|
6,9 10 |
|
230
