Решения задач ЕГЭ

Вариант 13

С1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных гальванического элемента ε, лампочки и катушки индуктивности L. Описать явления, возникающие при размыкании ключа.

метр. Если затем переключатель разомкнуть, то при исчезновении в катушке магнитного потока возникнет экстраток размыкания I.

3.По закону Ленца экстраток будет препятствовать уменьшению магнитного потока, т.е. будет направлен в сторону убывающего тока, а вот через гальванометр экстраток пройдёт в направлении противоположном первоначальному, что приведёт к броску стрелки гальванометра в обратном направлении. Если катушку снабдить железным сердечником, то величина экстратока увеличивается. Вместо гальванометра в этом случае можно включить лампочку накаливания, что собственно и задано в условии задачи, при возникновении тока самоиндукции лампочка будет ярко вспыхивать.

4.Известно, что магнитный поток, сцепленный с катушкой пропорционален величине протекающего по ней тока

ψ= Li ,

коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Размерность индуктивности определяется уравнением:

191

L = diψ , [L]= ВбА = Гн(генри).

5. Получим уравнение ЭДС самоиндукции εsi для катушки:

6. В общем случае индуктивность, наряду с геометрией катушки в средах может зависеть от силы тока, т.е. L = f (i), это можно учесть при дифференци-

ровании:

dLdt = dLdi dtdi .

7.ЭДС самоиндукции с учётом последнего соотношения представится следующим уравнением:

εsi = − L + dL di .

di dt

8.Если индуктивность не зависит от величины тока, уравнение упрощается

εsi = −L dtdi .

9.Таки образом ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения величины тока.

10.При подаче питания на схему, изображённую на рис 13.1.3 в цепи величина тока будет увеличиваться от нулевого значения до номинала в течение некоторого промежутка времени вследствие явления самоиндукции. Возникающие экстратоки в соответствие с правилом Ленца всегда направлены противоположно, т.е. они препятствуют вызывающей их причине. Они препятствуют увеличе-

нии некоторого времени.

11. При подключении коммутатора в положение 1 экстратоки станут препятствовать увеличению тока в цепи, а в положении 2, наоборот, экстратоки будут замедлять уменьшение основного тока. Будем считать для простоты анализа, что включённое в цепь сопротивление R характеризует сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника и активное сопротивление катушки L. Закон Ома в этом случае примет вид:

ε + εsi = iR ,

где ε − ЭДС источника, εsi − ЭДС самоиндукции, i − мгновенное значение величины тока, который является функцией времени. Подставим в закон Ома уравнение ЭДС самоиндукции:

Ldtdi +iR = ε.

12.Разделим в дифференциальном уравнении переменные:

192

13. Видно, что, общее решение дифференциального уравнения можно представить в виде:

i(t)= Rε −cons te−RL t .

14.Постоянную интегрирования определим из начальных условий. При t =0

вмомент подачи питания ток в цепи равен нулю i(t) = 0. Подставляя нулевое значение тока, получим:

const = Rε .

15. Решение уравнения i(t) примет окончательный вид:

16. Из уравнения, в частности, следует, что при размыкании ключа (рис. 13.1.1) сила тока будет уменьшаться по экспоненциальному закону. В первые моменты после размыкания цепи ЭДС индукции и ЭДС самоиндукции будут складываться и дадут кратковременный всплеск силы тока, т.е. лампочка кратковременно увеличит свою яркость (рис. 13.1.4).

Рис. 13.1.4. Зависимость силы тока в цепи с индуктивностью от времени

С2. Лыжник массой m = 60 кг стартует из состояния покоя с трамплина высотой H = 40 м, в момент отрыва его скорость горизонтальна. В процессе движения по трамплину сила трения совершила работу АТ = 5,25 кДж. Определить дальность полёта лыжника в горизонтальном направлении, если точка приземления оказалась на h = 45 м ниже уровня отрыва от трамплина. Сопротивление воздуха не учитывать.

Рис. 13.2 Лыжник на трамплине

193

Решение

1. Закон сохранения энергии при движении лыжника по трамплину:

5. Сообщённое газу количество тепла:

Q = A + U = 37,5 Дж;

С4. Электрическая цепь состоит из источника с ε = 21 В с внутренним сопротивлением r = 1 Ом и двух резисторов: R1 = 50 Ом и R2 = 30 Ом. Собственное сопротивление вольтметра Rv = 320 Ом, сопротивление амперметра RA = 5 Ом. Определить показания приборов.

194

С5. Частица массой m = 10 − 7 кг, несущая заряд q = 10 − 5 Кл равномерно движется по окружности радиуса R = 2 см в магнитном поле с индукцией В = 2 Тл. Центр окружности находится на главной оптической линзы на расстоянии d = 15 см от неё. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. С какой скоростью движется изображение частицы в линзе?

3. Для изображения угловая скорость останется неизменной, а радиус окружности увеличится в два раза, поэтому:

vx = ω2R = 8 мс ;

С6. На пластинку с коэффициентом отражения ρ падающего света, падают перпендикулярно каждую секунду N одинаковых фотонов, и девствует сила светового давления F. Чему равна длина волны падающего света?

Решение

1. Световое давление на пластинку:

p = Stεf (1+ ρ); pS = N hcλ (1+ ρ); pS = F; F = N hcλ (1+ ρ); 2. Длина падающего света:

λ = Nhc(1+ ρ); F

195

Вариант 14

С1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных гальванического элемента ε, лампочки и катушки индуктивности L. Описать явления, возникающие при замыкании ключа.

Решение

1. Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях изменения магнитного потока через контур. В частности ЭДС индукции может генерироваться в самом контуре при изменении в нём величины тока, что приводит к появлению дополнительных токов. Это явление получило название самоиндукции, а дополнительно возникающие токи назы-

ваются экстратоками или токами самоиндукции.

2. Исследовать явление самоиндукции можно на установке, принципиальная схема которой приведена на рис. 14.1.2. Катушка L с большим числом витков, через реостат r и переключатель k подсоединяются к источнику ЭДС ε. Дополнительно к катушке подключён гальванометр G. При закороченном переключателе в точке А ток будет ветвится, причём ток величиной i будет протекать через катушку, а ток i1 через гальванометр. Если затем переключатель разомкнуть, то при исчезновении в катушке магнитного по-

тока возникнет экстраток размыкания I.

3.По закону Ленца экстраток будет препятствовать уменьшению магнитного потока, т.е. будет направлен в сторону убывающего тока, а вот через гальванометр экстраток пройдёт в направлении противоположном первоначальному, что приведёт к броску стрелки гальванометра в обратном направлении. Если катушку снабдить железным сердечником, то величина экстратока увеличивается. Вместо гальванометра в этом случае можно включить лампочку накаливания, что собственно и задано в условии задачи, при возникновении тока самоиндукции лампочка будет ярко вспыхивать.

4.Известно, что магнитный поток, сцепленный с катушкой пропорционален величине протекающего по ней тока

ψ= Li ,

коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Размерность индуктивности определяется уравнением:

196

L = diψ , [L]= ВбА = Гн(генри).

5. Получим уравнение ЭДС самоиндукции εsi для катушки:

6. В общем случае индуктивность, наряду с геометрией катушки в средах может зависеть от силы тока, т.е. L = f (i), это можно учесть при дифференци-

ровании:

dLdt = dLdi dtdi .

7.ЭДС самоиндукции с учётом последнего соотношения представится следующим уравнением:

εsi = − L + dL di .

di dt

8.Если индуктивность не зависит от величины тока, уравнение упрощается

εsi = −L dtdi .

9.Таки образом ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения величины тока.

10.При подаче питания на схему,

изображённую на рис 14.1.3 в цепи величина тока будет увеличиваться от нулевого значения до номинала в течение некоторого промежутка времени вследствие явления самоиндукции. Возникающие экстратоки в соответствие с правилом Ленца всегда направлены противоположно, т.е. они препятствуют вызывающей их причине. Они препятствуют увеличению тока в цепи. В заданном

случае, при замыкании ключа, лампочка Рис. 13.1.3. Токи замыкания и размыкания не вспыхнет сразу, а накал ёё будет нарастать в течении некоторого времени.

11. При подключении коммутатора в положение 1 экстратоки станут препятствовать увеличению тока в цепи, а в положении 2, наоборот, экстратоки будут замедлять уменьшение основного тока. Будем считать для простоты анализа, что включённое в цепь сопротивление R характеризует сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника и активное сопротивление катушки L. Закон Ома в этом случае примет вид:

ε + εsi = iR ,

где ε − ЭДС источника, εsi − ЭДС самоиндукции, i − мгновенное значение величины тока, который является функцией времени. Подставим в закон Ома уравнение ЭДС самоиндукции:

Ldtdi +iR = ε.

12.Разделим в дифференциальном уравнении переменные:

197

и проинтегрируем, считая L постоянной величиной: L∫ε −diiR = ∫dt ,

RL ln(ε −iR)= t + const .

13. Видно, что, общее решение дифференциального уравнения можно представить в виде:

i(t)= Rε −cons te−RL t .

14.Постоянную интегрирования определим из начальных условий. При t =0

вмомент подачи питания ток в цепи равен нулю i(t) = 0. Подставляя нулевое значение тока, получим:

const = Rε .

15. Решение уравнения i(t) примет окончательный вид:

16. Из уравнения, в частности, следует, что при замыкании ключа (рис. 13.1.1) сила тока будет возрастать по экспоненциальному закону.

С2. Коробок после удара в точке А скользит вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v0 = 5 м/с. В точке В коробок отрывается от наклонной плоскости. На каком расстоянии S от наклонной плоскости упадёт коробок? Коэффициент трения коробка о плоскость μ = 0,2. Длина наклонной плоскости АВ = L = 0,5 м, угол наклона плоскости α = 300. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

1. При движении из начального положения первоначально сообщённая коробку

Рис. 14.2. Полёт коробка кинетическая энергия преобразуется в работу против силы

трения, кинетическую энергию в точке В и увеличение потенциальной энергии коробка:

2. Из точки В коробок будет двигаться по параболической траектории:

198

3. Расстояние от наклонной плоскости до точки падения: x(τ) = vB cosατ ≈ 4 0,87 0,57 ≈1,98м;

С3. Идеальный одноатомный газ в количестве ν = 2 моль сначала охладили, уменьшив давление в 2 раза, а затем нагрели до первоначальной температуры Т1 = 360 К. Какое количество теплоты получил газ на участке 2 − 3?

Решение

4. Работа газа на участке 2 → 3:

A2→3 = p(V3 − V2 )= νR(T3 − T2 ) ≈ 2992Дж; 5. Полученная газом теплота:

Q = U2→3 + A2→3 ≈ 7478Дж;

С4. Электрическая цепь состоит из источника ЭДС с ε = 21 В с внутренним сопротивлением r = 1 Ом, резисторов R1 = 50 Ом, R2 = 30 Ом, вольтметра с собственным сопротивлением RV = 320 Ом и амперметра с сопротивлением RA = 5 Ом. Определить показания приборов.

Решение

1. Сопротивление нагрузки:

RV,A = RV + RA = 325 Ом; R1,2 = R1 + R2 = 80 Ом;

2. Величина силы тока через источник I0:

Рис.14.4. Электрическая цепь

I0 = R ε+ r ≈ 0,3A;

Σ

3. Падение напряжения на нагрузке:

199

U1 = UR1 ,R 2 = UR V ,R A = ε − I0r = 20,7 B ; 4. Сила тока, протекающего через амперметр:

5. Показания вольтметра:

UV = IARV ≈ 20,4 B;

C5. Частица массой m = 10 − 7 кг и зарядом q = 10 − 5 Кл движется с постоянной скоростью v = 6 м/с по окружности в магнитном поле с индукцией В = 1,5 Тл. Центр окружности находится на главной оптической оси собирающей линзы, а плоскость окружности перпендикулярна главной оптической оси и находится на расстоянии d = 15 см от неё. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. По окружности какого радиуса движется изображение частицы в линзе?

Решение

1. Радиус движения частицы:

С6. На пластинку площадью S = 4 см2, которая отражает 70% и поглощает 30% падающего света, падает перпендикулярно свет с длиной волны λ = 600 нм. Мощность светового потока N = 120 Вт. Какое давление оказывает свет на пластинку?

200