Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Кавказский федеральный университет

Предмет:

Физика

Файл:

Решения задач ЕГЭ

.pdf

Скачиваний:

1384

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

5.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

mv2	+ mgh =	3	νR T; T =	m(v2 + 2gh)	≈	1(100 + 2)	≈ 8,18K;
2	+ mgh =	2	νR T; T =	3νR	≈	3 0,5 8,31	≈ 8,18K;
2		2		3νR		3 0,5 8,31

С4. К источнику тока с ε = 12 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключён реостат, сопротивление которого может изменяться в пределах от Rmin = 1 Ом до Rmax = 10 Ом. При какой силе тока в реостате выделяется максимальная полезная мощность?

Решение

1. Рассмотрим источник тока с заданной величиной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r нагруженный на внешнее сопротивление R. На внешнем сопротивлении будет выделяться активная электрическая мощность Nа

2		2	R
Na = UI = I	R = ε			.
			(R + r)2

2. Для выяснения величины максимально возможной активной мощности Na(max) будем изменять величину внешнего сопротивления до величины Rm. Математически это означает определение экстремума функции Na =f(R) путём её дифференцирования по сопротивлению и приравнивания производной к нулю, стандартная процедура нахождения экстремума функции:

dN	a	= ε2	r2 − R2	= 0 .
			m
			(r + Rm )4
dR

2. Так как R и r всегда положительные величины, то условие выполняется при r = Rm. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает возможно большего значения при равенстве внутреннего источника тока и внешнего сопротивления. Сила тока в этом режиме составит

I = 2εr = 124 = 3А;

С5. Идеальный LC-контур состоит из конденсатора С = 20 мкФ и катушки с индуктивностью L = 8 мГн. Амплитуда колебаний силы тока im = 6 мА. Какова максимальная энергия электрического поля конденсатора?

			Решение
W	= W	=	Li2	≈	8 10−3	36 10−6	≈144нДж;
W	= W	=	m	≈			≈144нДж;
L(max)	C(max)		2			2
			2			2

С6. Работа выхода электрона из фотокатода А = 4,5 10 − 19 Дж. Какова максимальная скорость фотоэлектронов при облучении фотокатода светом с длиной волны λ = 375 нм?

Решение

mev2

− A

+ A;

− A;

v =

;

v ≈

2(5,3 10−19

− 4,5 10−19 )

≈ 4,2 10

9,1

10−31

211

Вариант 19

С1. Человек в очках вошёл с улицы в тёплую комнату и у него запотели очки. Температура воздуха в комнате t1 = 18 0C, относительная влажность ϕ = 0,5. Какова была температура на улице?

		Решение
1. Относительная влажность воздуха:
ϕ =	p	; p = pHϕ; pH ≈ 2,06кПа; р ≈1,03кПа; t2 ≈ 8 0C;

	pH

С2. Мяч бросают вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с. Какой путь пройдёт мяч за τ = 3 с движения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

1. Время подъёма мяча в высшую точку траектории и высота подъёма h1;

v = v0 − gt1;			t1	=	v	0	≈ 2c;

					g
	gt2		v = 0;
h1 = v0t1 −								10	4
	1	;	h1	= 20 2 −
	2							2		≈ 20м;

2.	Поскольку мяч летит τ = 3 с, а поднимается в течение t1 = 2 c, то в тече-
нии времени t2 =τ − t1 = 1 c мяч будет свободно падать
	h2 =	gt2
		2 = 5м;
3.	Путь, пройденный за время τ:	2

	S = h1 + h2 = 25 м;

С3. В горизонтальном теплоизолированном цилиндрическом сосуде под поршнем при комнатной температуре находится ν = 0,5 моль гелия. Поршню сообщают скорость v = 8 м/с, направленную влево. Масса поршня m = 1 кг. На сколько изменится температура гелия

Рис. 19.3. Горизонтальный поршень к моменту остановки поршня?

212

				Решение
mv2		3		νR T;	T =	mv2	;
2	=	2		νR T;	T =	3νR	;
2		2		1 64		3νR
	T =			1 64	≈ 5,1K ;
	T =		3 0,5 8,31		≈ 5,1K ;
			3 0,5 8,31

С4. Цилиндрическая катушка диаметром D = 0,1 м состоит из однослойной обмотки медного провода (ρ = 1,7 10 −8Ом м) диаметром d = 10 − 4 м. По обмотке пропускают постоянный ток силой I = 10 А. Какое количество электричества Q протечёт через обмотку при замыкании её концов?

Решение

1. В начальном состоянии переключатель находится в положении 1, т.е. через обмотку протекает постоянный ток, сечение катушки пронизывает постоянный по величине и направлению магнитный поток. При переводе переключателя в положение

2 сила тока, вследствие наличия в цепи ин- Рис. 19.4. Количество электричества дуктивности L исчезает не мгновенно, а по

экспоненциальному закону

i = Ie−(RL )t ,

где R − активное сопротивление, t − время, в течение которого величина тока изменяется от I до 0.

2. Количество электричества Q за время t определится как

dQ = idt, Q = ∫t	idt .
0

3.Подставим в уравнение Q значение силы тока i, с учётом того, что при t =

∞сила тока стремится к нулю, а при t =0 сила тока составляет I

∞	−(R L)t	∞	−(R L)t			L		−(R L )t	∞


Q = ∫Ie		dt = I∫e		dt = I	−		e		.

0		0				R			0

4. Подставляя пределы интегрирования, получим:

Q = ILR .

5. Запишем далее уравнения индуктивности и активного сопротивления катушки

L = μ

μ0πD2 N2

R =

ρl0

4ρl0

0 l2s

4ls

πd2

где ρ − удельное сопротивление, l0 − длина проводника, s0 − сечение провода, d − диаметр, N − число витков соленоида, ls − длина обмотки, ss − сечение катушки.

6. Подставим уравнения индуктивности и активного сопротивления в уравнение количества электричества

= μ N2 πD2 πd2

Q I0 04ls 4ρl0 .

213

7. Выразим длину катушки через её диаметр и число витков

ls = πDN .

8.Подставим длину катушки в уравнение (7)

Q = μ0 N2πD2d2 πI = μ0 πDd2 I .

16lsρπDN 16ρls

9. Отношение длины катушки к числу витков равно диаметру катуш-

киls	N = D
		Q =	πμ0Dd2	I =	πμ0	DdI ,
		Q =	16ρd	I =	πμ0	DdI ,
			16ρd		16ρ
Q	40 10−7 0,1 10−4 10	1,45 мКл .
	2,72 10−7

С5. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора С = 20 мкФ и катушки индуктивности L= 8 мГн. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе qm = 8 нКл. Какова максимальная энергия магнитного поля катушки?

		Решение
W	= W	=	q2	≈	64 10−18	≈1,6пДж;
			m		40 10−6
			2C
L(max)	C(max)

С6. Работа выхода электрона из фотокатода А = 4,5 10 − 19 Дж. Каков максимальный импульс фотоэлектронов при облучении фотокатода светом с длиной волны λ = 375 нм?

hc	=	m	v2
λ		e	m + A;
		2

p = mevm =

Решение

mevm2

− A

− A;

vm =

;

≈

3,8 10

−25 кг м

;

− A

214

Вариант 20

С1. Относительная влажность воздуха в комнате ϕ = 55%, температура t1 = 18 0С. На сколько градусов должна понизится температура воздуха на улице, чтобы оконные стёкла запотели?

	p	Решение
ϕ =	p	; p = ϕpH = 0,55 2,066 ≈1,14кПа;
ϕ =		; p = ϕpH = 0,55 2,066 ≈1,14кПа;
	pH
		t2 ≈ 9 0C; t =18 −9 = 9 0C;

С2. Кусок пластилина сталкивается со скользящим в том же направлении по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорость пластилина v1 = 10 м/с скорость бруска v2 = 5 м/с. Масса бруска в 3 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения между бруском и столом μ = 0,48. На какое расстояние переместится брусок с прилипшим к нему пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на ζ = 25%?

								Решение
1. Скорость движения бруска с пластилином:														= 3v2 + v1	= 25	= 6,25 м;
3mv	2	+ mv	= 4mv	3	;	3v	2	+ v	= 4v	3	;	v	3	= 3v2 + v1	= 25	= 6,25 м;
	2	1		3			2	1		3			3	4	4	с
														4	4	с

2. Закон сохранения энергии для движущейся в присутствии силы трения системы:

4mv2	= 0,75	4mv2	+ μ4mgLx ; v32 − 0,75v32 = 2μgLx ; Lx =	0,25v2	≈1м.
3	= 0,75	3	+ μ4mgLx ; v32 − 0,75v32 = 2μgLx ; Lx =	3	≈1м.
2		2		2μg

С3. Аэростат, нерастяжимая оболочка которого имеет объём V = 200 м3, наполняют горячим воздухом с температурой Т1 = 553 К при нормальном атмосферном давлении при температуре окружающего воздуха Т0 = 373 К. Какую максимальную массу М должна иметь оболочка, чтобы шар начал подниматься. В нижней части оболочки имеется отверстие.

Решение

1. Плотность холодного и тёплого воздуха:

Рис. 20.3. Аэростат

215

p V

= m0

RT ;

p0μ

;

ρ0 =1,28

кг

RT0

p0μ

кг

RT ;

ρ =

;

ρ = 0,63

;

RT1

2. Условие нарушения равновесия шара:

Mg ≤ (ρ0 −ρx )gV;

M ≤ (ρ0 −ρ1 )V ≈130 кг;

С4. В плоском конденсаторе диэлектрик между пластинами вследствие увеличения влажности стал пропускать ток. При плотности тока j = 0,02 А/м2 в диэлектрике ежесекундно выделялось ζ = 10 Дж/м3 теплоты. Чему равна напряжённость электрического поля в конденсаторе?

		Решение
1. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике:
Q = ζVτ = IUτ = jsEdτ; E =	U	; sd = V; ζ = jE;	E =	ζ	= 500	В	;
	d			j		м

С5. Определить эквивалентную ЭДС и эквивалентное внутренне сопротивление соединения источников тока.

Решение

1. Эквивалентное внутреннее сопротивление определится как сумма двух параллельных и одного последовательного резистора одинакового сопротивления:

Рис. 20.5. Соединение источников rΣ = rr+rr + r =1,5r;

2. Параллельно соединённые источники обладают одинаковым внутренним сопротивлением, поэтому эквивалентная ЭДС определится в виде алгебраического среднего:

εΣ = ε1 +2 ε2 + ε3;

С6. С какой скоростью вылетает α-частица из радиоактивного ядра, если она, попадая в магнитное поле с индукцией В = 2 Тл перпендикулярно силовым линиям, движется по окружности радиуса r = 1 м?

Решение

1. Условие нахождения α-частицы с зарядом qα = 2e на круговой орбите:

qαvB = mαv2 ;	mα =		μ		;	μ = 4 10−3 кг моль;		NA ≈ 6 1023 моль−1;

r			NA
2. Скорость α-частицы:
v =	2eBrN	A	≈	3,2		10−19 2 1 6 1023	≈ 9,6 107		м	;
	μ					4 10−3			с

216

Вариант 21

С1. Относительная влажность воздуха в комнате ϕ = 63%, а температура t1 = 18 0C. На сколько градусов должна понизиться температура воздуха на улице, чтобы оконные стёкла запотели?

	p		Решение
ϕ =	p	;	p = ϕpH = 0,63 2,066 ≈1,3кПа;
ϕ =		;	p = ϕpH = 0,63 2,066 ≈1,3кПа;
	pH
		t2	≈11 0C; t =18 −11 = 7 0C;

С2. На нити висит груз массой m. Нить отвели на угол α0 и отпустили. Найти силу

натяжения нити Т, как функцию угла α. В каких точках траектории вектор ускорения груза перпендикулярен направлению нити?

Решение

1. Исследуем энергетическое состояние груза в двух положениях: при отклонении на максимальный угол α0 и а произвольном положении нити, когда угол отклонения от положения статического равновесия составляет α. Уравнение закона сохранения энергии в этом случае представится следующим образом

A = K2 − U1 ,
где K2 − кинетическая энергия в положении					Рис. 21.2. Натяжение нити
груза II, U1 − потенциальная энергия груза в					Рис. 21.2. Натяжение нити
груза II, U1 − потенциальная энергия груза в
положении I
	U1 = mgh;		K2 =	mv2	;
	U1 = mgh;		K2 =	2	;
				2
2. Геометрическая сумма силы тяжести				mg	и натяжения нити F , всегда
совпадает с направлением скорости, т.е. A = 0
	mv2	− mgh = 0;		v2 = 2gh ;
2		− mgh = 0;		v2 = 2gh ;
2

3. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нити подвеса

217

F = mgsin α; Fi = mgcosα ; mgsin α = man ;

T − mgcosα = mvL 2 ;

4. Величина натяжения нити будет являться функцией угла отклонения, т.е. будет зависеть, в конечном счёте, от текущего значения высоты h

h= Lcosα − Lcosα0 = L(cosα −cosα0 );

5.Образуем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными величинами

v2 = 2gh;
	mv2
T − mgcosα =	mv2
		;
	L	;
	L
h = L(cosα −cosα		);
	0

T − mgcosα = m2gL(cosα −cosα0 );

T = 2mg(cosα −cosα0 )+ mgcosα ;

T= mg(2cosα − 2cosα0 + cosα)= mg(3cosα − 2cosα0 );

6.Вектор ускорения шарика будет перпендикулярен при α = α0. Максимальное натяжение нити будет в нижней точке траектории. Отклоним нить на

угол α0 = 90о и отпустим, в этом случае: cosα0 = 0 , в нижней точке траектории при α = 0о

Tmax = 3mg .

7. При круговом вращении груза он может находиться на круговой траектории при условии

man ≥ mg,

при этом закон сохранения энергии представится следующим образом

	mv2	= 2mgL; v2 = 4gL ;
	2	= 2mgL; v2 = 4gL ;
	2

т.е. потенциальная энергия в верхней точке траектории равна кинетической энергии в момент прохождения грузом самой нижней точки траектории.

Уравнение второго закона Ньютона в нижней точке траектории примет вид

Tmax = mg + mvL 2 = mg + 4mg = 5mg ;

С3. На сколько отличается внутренняя энергия воздуха, заполняющего зал объёмом V = 249 м3 зимой и летом, если летом температура в зале достигает Т1 = 27 0С, а зимой падает до Т2 = 17 0С при одинаковом нормальном давлении р0 105 Па? Молярную массу воздуха принять равной μ = 29 10 − 3 кг/моль.

Решение

1. Летом и зимой а комнате будет разное количество воздуха:

p	V = ν	RT ;
0	1	1
p0V = ν2RT2;

ν = p0V ; 1 RT1

ν2 = pRT0V ;

218

Рис 21.4. Рамка в магнитном поле

2. Внутренняя энергия летом и зимой:
U =	i	ν RT =	6 p0V T ; U		=	i	ν RT =	6 p0V T ;
U =		ν RT =	6 p0V T ; U		=		ν RT =	6 p0V T ;
1	2 1 1		2 RT 1	2		2 2 2		2 RT	2
			1					2

U = U1 − U2 = 0;

C4. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямолинейным проводником так, что две её стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут токи одинаковой силы I = 1 кА. Определить силу FА, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном её длине.

Решение

1. В виду симметрии взаимного расположения длинного проводника и квадратной рамки линии действия равнодействующих сил Ампера F2, F4 совпадают, а направлены они в противоположные стороны, другими словами,

F2 + F4 = 0 .

2. На вертикальные стороны рамки так же будут действовать силы F1, F3 ,

линии действия которых совпадают, а направлены они в противоположные стороны. Таким образом, сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля проводника, определится в виде геометрической суммы векторов

FΣ = F1 + F2 + F3 + F4 , | F Σ |= F1 − F 3 .

3. Индукция магнитного поля проводника определится уравнениями

B1 = 4μπ0dI (cos α1 − cos α2 ), B3 = 4μπ02Id (cos α1 − cos α2 ),

в данном случае α1 → 00, α2 → 1800, поэтому

B1 =	2μ0I	=	μ0I	, B3 =	μ0 I	,
	4πd		2πd		4πd

4. Определим величины сил F1 и F3

F1 = IB1d =

I2μ0d

, F3

I2μ0d

2πd

4πd

4π 10−7 106

FΣ =

−

= 0,1H .

4π

С5. Определить эквивалентное значение ЭДС и эквивалентное внутренне сопротивление батареи источников тока.

Решение

1. Эквивалентное внутреннее сопротивление батареи определится в виде суммы двух параллельных и одного последовательного соединения одинаковых по величине

резисторов:

Рис. 21.5. Соединение источников

219

rO = rr+rr = r =1,5r;

2. Параллельные источники включены встречно, поэтому их эквивалентная ЭДС при ε1 > ε2 определится как:

ε1,2 = ε1 −2 ε2 ;

3. Эквивалентная ЭДС трёх источников:

ε0 = ε1 −2 ε2 + ε3;

С6. Радиоактивный элемент излучает α-частицу, которая попадает в маг-

нитное поле и вращается в нём по окружности радиуса r = 0,1 м с линейной r

скоростью v = 2 105 м/с. Чему равен модуль вектора магнитной индукции В ?

Решение

1. α-частица представляет собой дважды ионизированный атом гелия, у которого удалены два электрона, т.е α-частица является, по сути, ядром атома гелия с положительным зарядом qα = 2e и массой

mα =	μ	; μ = 4 10−3	кг	; NA ≈ 6 1023	1	;
	NA		моль		моль

2. Условие нахождения заряженной частицы в магнитном поле на стацио-

нарной круговой траектории:

qαvB = mαv2 ;

qαB = mαv

; B

= mαv

μv

;

2eNAr

qαr

B ≈

4 10−3

105

≈ 4,17 10−2 Тл ≡ 41,7мТл;

1,6 10−19

1023 0,1

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>