Решения задач ЕГЭ

С5. Бассейн глубиной h = 3 м заполнен водой, относительный показатель преломления на границе воздух − вода n = 1,33. Каков радиус светового круга на поверхности воды от электрической лампочки, расположенной на дне бассейна?

Решение

С6. Определить, ядро какого изотопа Х освобождается при протекании ядерной реакции:

23 He+23He→24 He+11Н+ X;

Определить энергию, освобождающуюся при протекании этой реакции.

Решение

1. В соответствии с законом сохранения зарядов и массовых чисел при ядерных реакциях образовавшаяся частица не обладает единичным отрицательным зарядом, т.е. частица Х является водородом:

23 He+23He→42 He+11Н+11H;

1. Дефект массы:

m= (m 23 He + m 23 He )− (m 24 He + m11 H + me )≈ 0,0138 а.е.м.;

2.Энергия, освобождающаяся при протекании реакции:

E ≈ m 931,5 ≈12,9 МэВ;

181

С5. Проводник длиной l = 0,5 м может скользить по горизонтальным рельсам, подключенным к источнику тока с ЭДС с Е = 2 В. Однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл направлено вертикально вниз. С какой скоростью и в каком направлении нужно перемещать проводник, чтобы сила тока через него была равна нулю?

того, чтобы такое случилось, проводник нужно перемещать вправо, тогда в соответствии с правилом левой руки в проводнике будет возникать индукцион-

С6. Покоящееся ядро урана испустило α-частицу с кинетической энергией Кα = 6 МэВ. Зная массу α-частицы mα ≈ 6,645 10 − 27 кг и массу образовавшегося ядра М = 2,3 10 − 25 кг, найти скорость образовавшегося ядра.

184

Вариант 12

С1. Вблизи длинного проводника с током в его плоскости находится проволочная рамка. Почему при удалении и приближении рамки к проводнику в ней возникает ток различного направления?

Решение

1. Поле покоящегося в вакууме или воздухе электрического точечного заряда, как известно, определяется уравнением

2. Попытаемся методами теории размерностей модифицировать последнее уравнение

применительно к индукции магнитного поля, для чего заменим скалярную величину заряда Рис. 12.1.1. Проводник с током

q на вектор qv

B q(v × r ). 4πε0e3

3. Чтобы размерности правой и левой части уравнения совпадали, необходимо правую часть разделить на квадрат некой скорости, в качестве которой логично использовать квадрат скорости света − с2

Br = q(v × r ) . 4πc2ε0r3

4. Введём новую размерную постоянную величину μ0, которую называют магнитной постоянной, она в в системе СИ выполняет ту же роль, что и ε0 в электростатических формулах, т.е. совмещает магнитные единицы с механическими величинами

5. Перепишем формулу вектора магнитной индукции с учётом полученных соотношений

Br = μ0q(v × r ).

6.Полученное уравнение нельзя рассматривать, как выведенное на безусловной теоретической основе, во многом оно носит интуитивный характер, од-

нако с его помощью можно получить вполне подтверждаемые экспериментом результаты.

7.Рассмотрим проводник произвольной формы по которому течёт постоянный ток величиной I. Выделим прямолинейный участок проводника элемен-

тарной длиной dl (рис. 12.1.2). За время dt через этот участок протекает электрический заряд величиной

185

что даёт основания записать уравнение dB в виде:

r = μ Idl(dl× rr ) dB 4π0 r3 ,

9. Модуль элементарного вектора индукции определится, при этом, как:

= μ Idlsin(dl× rr ) dB 4π0 r2 .

10. Последнее уравнение совпало с экспериментами Био и Савара, которое было сформулировано в виде закона Лапласом. Этот закон, закон Био − Савара − Лапласа определяет величину магнитной индукции в любой точке поля, создаваемого током постоянной величины, протекающим через проводник произвольной формы. Применительно к вектору магнитной индукции справедлив принцип суперпозиции, т.е. сложения элементарных индукций от различных участков проводника заданной длины.

11. Выберем далее в окрестностях проводника (рис. 12.1.3) произвольную точку А в которой будем определять посредствам закона Био − Савара − Лапласа напряжённость dB от элемента dl:

dB = μ0 Isin2αdl . 4π r

12. Если всю длину проводника разбить на бесконечное множество элементарных участков, то обнаружится, что направление векторов элементарных индукций будет совпадать с направлением касательных к окружностям, проведенным в соответствующих точках пространства, в плоскостях, ортогональных проводнику. Это даёт основание для получения сум-

марного значения индукции проинтегри-

Рис. 12.1.3. Прямолинейный проводник ровать уравнение dB:

B = μ0I ∞∫sin α2 dl . 4π −∞ r

13. Выразим значение r и sinα через переменную величину l : r = R2 + l2 ,

186

14. Подставим полученные значения r и sinα в подынтегральное выражение уравнения магнитной индукции:

15. Таким образом, величина индукции изменяется по величине в зависимости от расстояния до проводника. Другими словами:

B= f (R);

16.переменный модуль магнитной индукции, в соответствии с законом Майкла Фарадея обеспечивает переменный магнитный поток, что приводит к возникновению ЭДС индукции в замкнутом контуре, в данном случае, в рамке:

εi = − ddtΦB = − dBdt S ;

17.Индукционный ток в соответствии с правилом Эмиля Христофоровича Ленца направлен таким образом, чтобы создаваемое им магнитное поле было направлено противоположно исходному магнитному полю, о чём свидетельствует знак «минус» в уравнении закона электромагнитной индукции. При приближении рамки к проводнику:

dBdt > 0,

при удалении рамки от проводника:

dBdt < 0,

поэтому направление индукционного тока в рамке будет различным.

С2. Система грузов массами m1 = 3 кг и m2 = 1 кг, связанных нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через идеальный блок, помещена на наклонную плоскость с углом наклона α = 300 к горизонту. Коэффициент трения груза m1 о плоскость μ = 0,1. Определить силу натяжения нити.

Решение

Рис.12.1. Система грузов на наклонной плоскости

187

1. Установим направление движения грузов:

m2g =10 H; m1gsin α + μm1gсosα = m1g(μcosα + sin α)=17,6H,

т.е. груз m1 будет опускаться вниз.

2. Составим систему динамических уравнений в проекции на выбранные оси:

С3. Железный метеорит массой m = 80 кг при температуре t1 = 39 0С со скоростью v = 1400 м/с влетает в атмосферу Земли. Считая, что нагревание метеорита идёт только ζ = 0,8 его кинетической энергии, определить, какая масса метеорита расплавится? Температура плавления железа t2 = 1539 0С, удельная теплоёмкость железа с = 444 Дж/(кг К), удельная теплота плавления желе-

за λ = 2,7 105 Дж/кг.

Решение

1. Уравнение закона сохранения энергии при нагревании и частичном плавлении метеорита:

С4. Определить мощность, выделяемую на сопротивлении R3 участка цепи с диодом:

а) при подключении ЭДС ε = 15 В положительным полюсом к точке А, отрицательным полюсом − к точке В;

б) при подключении ЭДС ε = 15 В положительным полюсом к точке В, отрицательным полюсом − к точке А;

Величины резисторов: R1 = 6 Ом, R2 4 Ом, R3 = 10 Ом. Подключаемый источник ЭДС и диод считать идеальными, т.е. внутреннее сопротивление источника приближается к нулю, сопротивление диода в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном − очень велико.

Решение

1. . Схематично диод можно представить, как две пластинки полупроводника, одна из которых обладает электропроводностью типа р, а другая − n типа. Эти две области − два электрода диода: анод и катод.

2. Анодом, т.е. положительным электродом, является область типа р, а катодом, т.е. отрицательным электродом,- область типа n.

188

Решение

1. Через проводник будет протекать ток проводимости IП, обусловленный сопротивлением проводника и индукционный ток, который при заданном направлении перемещения проводника будет совпадать по направлению с

Рис. 12.5. Суммарный ток в проводнике током проводимости: IΣ = IП + ii ;

2. Сила тока проводимости:

4. Суммарная сила тока:

IΣ = IП + ii =1A;

С6. Фотон с энергией Еf = 2 МэВ рождает электрон и позитрон. Найти суммарную кинетическую энергию электрона и позитрона сразу после их образования.

Решение

1. Электрон и позитрон (частица и античастица) обладают одинаковой массой me− = me+ ≈ 9,1 10−31кг, их суммарная энергия покоя определится как:

E0 = 2mc2 ≈ 2 9,1 10−31 9 1016 ≈1,638 10−13 Дж; 2. Энергия фотона:

190