Теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей взаимно исключающих событий. Вероятность суммы взаимно исключающих событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий

Условие нормировки вероятности

Рассмотрим совокупность взаимно исключающих событий, образующих полную группу. Согласно теореме сложения вероятностей взаимно исключающих событий:

– условие нормировки вероятности.

Состояния физической системы всегда однозначны, т.е. образуют полную совокупность событий. Условие нормировки для вероятности состояния физической системы отражает факт: если физическая система существует, то она находится в одном из доступных ей состояний.

Случайная величина

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний примет одно из возможных (допустимых) значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Примечание. В молекулярных системах микроскопические параметры, такие как скорости, импульсы, энергии, отдельных частиц являются случайными частицами.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенной вероятностью.

Дискретную величину можно задавать в табличной форме или графически в форме гистограммы.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Плотность вероятности

Если состояние системы характеризуется случайной величиной , принимающей любые значения от до , то определение вероятности (2.1) лишено смысла, поскольку множество значений не является счётным. В этом случае вероятность определяется в дифференциальной форме:

Утверждается, что для достаточно малого интервала изменений пропорциональна величине достаточно много интервала измерений переменной , а коэффициент пропорциональности не зависит от величины этого интервала и называется плотностью вероятности

Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области, в которой определена плотность.

Условие нормировки для плотности вероятности записывается следующим образом

Важными числовыми характеристиками случайной величины x являются ее среднее значение и дисперсия . Определения этих параметров приведены на схемах 2.3.1 и 2.3.2.

Схема 2.3.1.

Схема 2.3.2.

2.4. Основные понятия молекулярной статистики

Состояния статистической системы подразделяют на макроскопические и микроскопические. Макроскопическим состояниям системы называется ее равновесное состояние, характеризующееся макроскопическими параметрами (см. 1.5).

Макроскопическое состояние газа характеризуется тремя параметрами , и которые в стационарном состоянии постоянны.

Микроскопическое состояние системы – это ее мгновенное состояние. Оно определяется набором параметров, характеризующих все частицы в системе.

Для классической системы микросостояние задается набором координат и импульсов, для квантовой системы – набором квантовых чисел . Каждое макроскопическое состояние системы осуществляется посредством громадного множества ее микроскопических состояний.

Другими словами, находясь в одном и том же макросостоянии, система беспрерывно меняет свои микросостояния. Для квантовых систем осуществляется переход из одного дискретного состояния в другое. В случае классических моделей возникает проблема различия микросостояний, поскольку координаты и скорости меняются непрерывно. Эта трудность была преодолена путем разбиения конфигурационного пространства и пространства импульсов на ячейки. Объем ячейки в конфигурационном пространстве равен , где – характерный диаметр молекулы. Объем ячейки в пространстве импульсов возможно определить из квантово-механических представлений:

После разбиения пространства на ячейки была получена система, в которой смена состояний происходит дискретным образом, поэтому количество состояний в такой системе можно подсчитать. Число доступных системе микросостояний очень велико, поэтому для определения вероятности микроскопического состояния используется аналог частотного определения вероятности.