7.1. Формулировка теоремы и её доказательство Формулировка теоремы
На каждую степень свободы статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, приходится одна и та же величина средней энергии:
Актуальные свойства модели статистической системы
• Система находится в состоянии термодинамического равновесия.
• Распределение энергии между малыми частями системы (молекулами и атомами) описывается распределением Гиббса.
• Массы частиц могут быть различными.
• Температура системы соответствует области применимости классических идеальных моделей материального тела.
Доказательство теоремы
В основе доказательства лежит тот факт,
что выражение для всех видов внутренней
энергии молекулы, приходящейся на одну
степень свободы, имеет однотипную
квадратичную форму:
,
где
– обобщённая координата, описывающая
поступательное или вращательное движение
молекулы как целого или колебательное
движение отдельного атома в молекуле
.
Положительная константа
описывает инертные или упругие свойства
микроструктуры
.
• Энергия молекулы
сумма всех квадратичных форм, исчерпывающе описывающая энергию сложной или простой частицы.
• Обратите внимание на то, что закон
Гиббса применим к распределению энергии
,
но не
Другими словами выражение
• Получить правильное и простое решение (доказательство) можно путём перехода от распределения по энергиям к многомерному распределению по обобщённым координатам. Математическая структура этого распределения точно такая, как у распределения Максвелла в декартовой системе координат в пространстве скоростей.
• Применим процедуру усреднения к квадрату обобщённой координаты:
где
,
– по условию нормировки.
• Оставшийся интеграл легко берётся по частям
Что и требовалось доказать.
7.2. Статистические степени свободы
Опираясь на теорему равнораспределения
энергии, можно сделать вывод, что для
расчёта средней внутренней энергии
любой молекулы идеального газа достаточно
знать число квадратичных форм
в представлении её энергии в виде (7.1),
тогда
Число принято называть числом статистических степеней свободы молекулы.
Для вычисления
не надо брать никаких интегралов, надо
только суметь подсчитать
.
Это не сложно, поскольку
зависит от механических степеней свободы
.
Различают поступательные
,
вращательные
и колебательные
степени свободы. Максимальное количество
статистических степеней свободы
многоатомной молекулы газа определяют
следующим образом
где
(для нелинейной молекулы) или 2 (для
линейной молекулы);
определяют по остаточному принципу:
.
Полное число механических степеней
свободы молекулы
всегда равно
(
– количество атомов в молекуле). Поясним
на примере.
Подсчитаем
для молекул водяного пара. Молекула
состоит из трёх атомов (
),
значит
.
Учитывая, что структура молекулы
нелинейная, запишем
Следовательно, средняя энергия молекулы водяного пара
Теорема о равнораспределении используется при решении многих задач молекулярной физики, несмотря на достаточно ограниченную область температур, при которых она справедлива. Мы обсудим возможности применения теоремы при описании броуновского движения, а также при расчёте теплоёмкостей многоатомных газов и идеальных твёрдых тел.