Вывод уравнения

• Величину малого параметра обычно берут равной , ,… Пусть .

• Изобразим встречные молекулярные потоки на схематическом рисунке (рис. 17.3), где ось направлена вдоль градиента .

Рис.17.3.

• Величина достаточно мала, поэтому на таком расстоянии от 0 можно представить в виде:

• Тогда, плотность потока в направлении отрицательных значений оси Х запишем как

Плотность потока в направлении положительных значений оси равна

• Суммарная плотность потока в положительном направлении оси Х :

• При коэффициент получается равным , а при получается, что он равен . В этом и проявляется неопределенность (приближенность) метода средней длины свободного пробега. Точное значение числового коэффициента находится из кинетического уравнения Больцмана и равно , учитывая это, запишем:

Это и есть обобщенное уравнение переноса.

17.3. Элементарная кинетическая теория теплопроводности,

самодиффузии и вязкости плотных идеальных газов

Получим уравнение теплопроводности, самодиффузии и вязкости, исходя из обобщенного уравнения переноса (17.9).

1. Пусть переносимым молекулярным свойством является внутренняя энергия идеального газа, приходящегося на одну молекулу:

В этом случае обобщенное уравнение переноса переходит в уравнение теплопроводности

Выражение перед в (17.10) и есть коэффициент теплопроводности

Формула (17.7) выражает зависимость теплопроводности от микроскопических параметров и , а также от макроскопических параметров и . Зависимость от температуры определяется средней скоростью , т.е. . Как видим, зависимость от температуры достаточно слабая и при решении некоторых задач можно пользоваться приближением, что . А вот от давления теплопроводность плотных газов не зависит и не приближенно, а точно.

В этом легко убедиться. При фиксированной температуре в выражении (17.11) от концентрации частиц зависят два множителя: и . Эти зависимости аннулируют друг друга.

Для газов при нормальных условиях лежит в интервале Вт/м·с. Например, .

2. Пусть переносимое молекулярное свойство – концентрация «меченных» атомов, приходящаяся на одну молекулу фона:

В этом случае обобщенное уравнение переноса переходит в уравнение самодиффузии

Выражение перед в (17.2) представляет коэффициент самодиффузии

Как видим явно зависит только от микроскопических параметров. Зависимость от температуры и давления газа «зашита» внутри этих параметров. Поскольку , то и . В свою очередь , соответственно и . Для газов при нормальных условиях .

3. Пусть переносимое молекулярное свойство - это импульс упорядоченного движения одной молекулы:

В этом случае обобщены уравнение переноса переходит в уравнение внутреннего трения или вязкости

Следовательно, коэффициент вязкости равен

Функциональная зависимость от температуры и давления подобна зависимости теплопроводности от этих параметров. Порядок величины в газах при нормальных условиях составляет Па·с.

Вы без особого труда самостоятельно можете получить формулы, выражающие один коэффициент переноса через любой другой. Это дает возможность из исследования только какого-то одного явления переноса получить информацию о других процессах переноса. Экспериментальные измерения макроскопических коэффициентов переноса и полученные для них выражения в рамках кинетической теории (17.10), (17.13) и (17.15) позволяют определить такие микроскопические параметры как , и . Подобные экспериментальные задачи включены в программу практикума по молекулярной физике.

Физическая сущность таких явлений как теплопроводность и вязкость состоит в том, что в процессе столкновений молекул энергия теплового движения (теплопроводность) и импульс упорядоченного движения (вязкость) передаются от частицы к частице, от слоя к слою как эстафетная палочка. Несмотря на то, что частицы пребывают в хаотическом движении и беспорядочной толкотне, возникает упорядоченное движение определенного молекулярного свойства – поток энергии или поток импульса.