Средняя длина свободного пробега молекулы

Продолжим анализ формулы (17.1). Вероятность столкновения, как можно заметить, растет пропорционально пройденному молекулой пути . Длина пути , при которой эта вероятность равна единице, называется средней длиной свободного пробега молекул.

Согласно (17.1) получаем равенство

из которого следует, что

Формула (17.5) справедлива, если система состоит только из тождественных молекул. Если молекулы в системе разные, то надо учесть вероятность столкновений, как тождественных молекул, так и разных молекул друг с другом. В этом случае

Здесь и - концентрации молекул двух компонент; ; и –средняя длина свободного пробега молекул компоненты 1 и компоненты 2 соответственно.

Кинематические параметры и

Из определения параметров и естественным образом определяются параметры и . Действительно среднее время между двумя столкновениями – это путь, деленный на среднюю скорость:

Тогда средняя частота столкновений будет равна

Сделаем количественную оценку четырех кинематических параметров на примере молекулярного азота при нормальных условиях, т.е. в приближении идеального газа:

Здесь использовалось число Лошмидта

После рассмотрения характеристик столкновений молекул нашей ближайшей задачей будет установление связи между макроскопическими коэффициентами переноса в идеальном газе с его кинематическими параметрами.

17.2. Обобщенное уравнение переноса

Решение поставленной задачи будет базироваться на выводе обобщенного уравнения переноса. Используемый для этой цели метод средней длины свободного пробега является оценочным. Главное достоинство такого подхода состоит в его простоте и акценте на физической сущности явления. Ожидаемые результаты могут отличаться от точных числовыми коэффициентами. Точные решения следуют из кинетического уравнения Больцмана.

Вывод обобщенного уравнения процесса Описание системы

Рассматриваемая система – идеальный газ в слабо неравновесном состоянии. характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле газа (энергия, импульс, концентрация, электрический заряд). – функция координаты, медленно изменяющаяся вдоль одного направления, например , но не зависящая от времени.

Актуальные свойства модели процесса

• При наличии градиента будет происходить движение или перенос в направлении его уменьшения.

• Перенос осуществляется встречными молекулярными потоками. Плотность этих потоков описывается известным уравнением эффузии

.

• Функциональная зависимость G(x) не известна.

• Чтобы восполнить этот пробел воспользуемся разложением в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки. В качестве малого параметра можно взять любую величину : . Неравенство приведет впоследствии к неопределенности числового множителя в уравнении переноса.

Постановка задачи

Требуется получить обобщенное уравнение переноса на основе микроскопических представлений.