4.2. Вывод распределения Максвелла

Описание системы

Система представляет собой классический идеальный газ, состоящий из тождественных частиц, в состоянии термодинамического равновесия. Внешние силовые поля отсутствуют. В качестве подсистемы рассматривается одна молекула, которая может обмениваться энергией с другими подсистемами (молекулами) в результате столкновений.

Актуальные свойства модели системы

• Подсистем – молекул очень большое число, следовательно, условие

выполняется, поэтому для вывода закона можем использовать распределение Гиббса.

• Поскольку силовых полей нет, частица обладает только кинетической энергией

Постановка задачи

Какова вероятность того, что частица обладает абсолютной скоростью в интервале ?

Вывод закона

• По условию частица обладает только кинетической энергией, зависящей от абсолютной скорости (4.11), поэтому удобно перейти к новому аргументу

Следуя (4.10), запишем:

где – число микросостояний, которые приводят частицу к одной и той же абсолютной скорости. Для его нахождения нам придётся вообразить пространство скоростей. Этот приём использовал Максвелл в своих оригинальных работах.

• Рассмотрим прямоугольную систему координат с осями в которой отложим все возможные векторы скоростей любой молекулы газа. Концы этих векторов – скоростные точки. Совокупность всех скоростных точек образует трёхмерное пространство – пространство скоростей (рис. 4.2). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости , а не от её направления

Рис. 4.2.

• Число микросостояний с абсолютной скоростью в интервале

пропорционально объёму бесконечно тонкого шарового слоя со средним радиусом и толщиной (рис. 4.2).

Объём этого слоя равен

следовательно,

• Подставим (4.14) в (4.12), тогда

Постоянная , это произведение двух констант и . Её значение находится из условия нормировки вероятностей

Вычислив интеграл в знаменателе (4.16), получим

ответ:

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скорости.

Прежде чем переходить к анализу полученной формулы проясним значение параметра .

Найдём среднюю кинетическую энергию молекулы:

Таким образом, характеризует важнейшую величину статистической системы – среднюю кинетическую энергию молекул.

Используя формальное определение температуры (4.6) запишем

Формулы (4.19, 4.20) являются основными определениями температуры в статистике. Из них следует, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.

4.3. Плотность вероятности и характерные скорости распределения Максвелла

Плотность вероятности распределения (4.17) обозначим как и запишем её в явном виде, используя определение температуры,

Примерный вид для различных температур приведён на рис. 4.3. Борьба двух противоположных тенденций, а именно, убывание вероятности состояний с ростом скорости и возрастание плотности состояний приводят к образованию максимума функции и несимметричной форме колокольчика на графике.

Рис. 4.3.

С увеличением температуры максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается, при этом площадь под каждой кривой остаётся равной единице.

Схема 4.3.1.

Характерные скорости распределения Максвелла
Наиболее вероятная скорость .	Средняя скорость	Средняя квадратичная скорость .
Соответствует максимуму функции и определяется из условия	По определению среднего

Обратите внимание, что все три характерные скорости пропорциональны, их числовые коэффициенты имеют очень близкие значения и находятся в пределах от до .

Характерные скорости молекул азота и кислорода при температуре T=300K равны примерно 400 – 500 м/с. Их величины сравнимы со скоростью звука в воздухе.