5.1. Вывод формулы для давления идеального газа

Описание системы

Рассматриваемая система – идеальный газ, который находится в сосуде в состоянии термодинамического равновесия. Внешних силовых полей нет.

Постановка задачи

На основе микроскопических представлений требуется получить уравнение, определяющее давление .

Актуальные свойства модели системы

Распределение молекул идеального газа по скоростям подчиняется закону Максвелла. Поскольку вклад в давление вносят только нормальные к стенке составляющие импульсов молекул, то для предстоящих расчетов потребуется применение одномерного распределения по компоненте скорости. Отсутствие внешних воздействий позволяет считать концентрацию частиц одинаковой во всех частях сосуда.

Вывод уравнения

• Изобразим рассматриваемую систему на схематическом рисунке

(рис. 5.1):

Рис. 5.1.

Обозначим направление перпендикулярное стенке сосуда как ось X, тогда вклад в давление будут вносить только «иксовые» составляющие импульсов молекул, ударяющихся о стенку. Мысленно выделим цилиндр (он показан на рис. 5.1) объёмом , у которого площадь основания S=1м², а длина равна составляющей скорости . Индекс (+) обозначает направление вдоль оси к стенке. Длина цилиндра такова, что только те молекулы, которые находятся внутри цилиндра, успеют за 1 секунду достигнуть стенки сосуда и столкнуться с ней.

• Импульс, передаваемый одной молекулой сосуда при столкновении с ней равен .

• Обозначим вклад в давление, который даёт группа молекул, или «команда», с некоторой фиксированной скоростью, точнее со скоростями в интервале ( ), тогда ,

где - число молекул со скоростями в выделённом объёме цилиндра (рис. 5.1).

• , где – концентрация частиц, обладающих скоростями в интервале ( );

, ,

здесь – равновесная концентрация молекул в объёме V, – одномерная плотность вероятности распределения Максвелла.

• Таким образом,

• Полученное уравнение (5.2) интегрируем по области значений , поскольку, летящие в отрицательном направлении молекулы не сталкиваются с данной стенкой сосуда, следовательно, не вносят вклад в давление:

Ответ:

Подобные расчёты для компонент давления , дадут такой же результат. Как и следовало ожидать, в изотропной среде давление газа изотропно. Это утверждение известно как закон Паскаля

В заключение обсудим вопрос о давлении, создаваемом смесью различных в химическом отношении газов. Отдельные компоненты смеси идеальных газов можно считать независимыми, поэтому каждая компонента создаёт давление равное (5.3). Полное давление смеси газа равно сумме давлений компонент или сумме парциальных давлений

Таким образом, мы сформулировали закон Дальтона.

5.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Газовые законы

Запишем выражение для температуры через среднюю кинетическую энергию движения молекул согласно (4.22)

Подставив эту формулу в (5.3), получим основное уравнение молекулярной кинетической теории идеальных газов (основное уравнение МКТ)

В (5.6) и далее для обозначения давления используем строчную букву .

Уравнение (5.6) устанавливает простую связь между макроскопическим параметром и микроскопическим параметром .

Многочисленные эмпирические законы идеальных газов были получены раньше, чем основное уравнение МКТ. В то же время, они являются естественными следствиями(5.3) и легко выводятся из него. Давайте убедимся в этом.

Подставим выражение для равновесной концентрации через полное число частиц в (5.3), тогда получим

или

Сделаем замену и (5.7) примет вид

Произведение двух констант дает новую константу: , где – универсальная газовая постоянная. Её значение в СИ равно 8,31 Дж / моль∙К. Газовую постоянную ввел в научный обиход наш знаменитый соотечественник Д.И. Менделеев.

Перепишем (5.8) окончательно

или

Уравнения (5.7), (5.9) и (5.10) представляют разные варианты записи уравнения состояния идеального газа. Если уравнение состояния содержит постоянную , то его называют уравнением Клапейрона-Менделеева.

Вывод уравнения состояния газа впервые был сделан Б.П.Э. Клапейроном путем обобщения законов, установленных экспериментально выдающимися европейскими учеными на протяжении полутора столетий. Мы же интерпретируем эти законы как частные случаи уравнения (5.7). При = const. получим закон Бойля-Мариотта, при . – закон Гей-Люссака, а при – закон Шарля. Прямым следствием (5.7) является также закон Авогадро. Приведем его формулировку.

При одинаковых температурах и давлениях в равных объёмах любого газа содержится одинаковое число молекул.

При нормальных условиях ( ) это число задаётся постоянной Лошмидта

Парад законов, полученных «на кончике пера», является наилучшим подтверждением справедливости кинетической теории газов и ее основных представлений.