16.3. Внутренняя теплопроводность и внешняя теплопередача

Рассмотрим более детально явление теплопроводности, имеющее важное практическое значение. Формула (16.1), определяющая плотность потока теплоты, относится к случаю, когда распределение температуры в среде непрерывно и теплопроводность также является непрерывной функцией координат. Теплопроводность в этом случае называется внутренней теплопроводностью. В стационарном случае температура не меняется от времени, а является функцией только пространственных координат. Поэтому все стационарные задачи на внутреннюю теплопроводность сводятся к двум вопросам. Требуется найти либо распределение температуры в среде с заданными граничными условиями, либо получить функциональную зависимость от координаты. Рассмотрим простейшие случаи, когда среда однородна и поэтому .

Стационарное распределение температуры в бесконечной плоско-параллельной пластинке

Дана бесконечная пластинка толщины , поверхности которых поддерживаются при постоянных температурах и .Она изображена на рис. 16.5. Требуется найти распределение температуры внутри пластинки.

Рис. 16.5.

З апишем (16.1) для этой задачи в виде

Если , из (16.3) следует

После интегрирования (16.4) получим

где - постояная интегрирования. Таким образом, температура меняется с координатой по линейному закону. Константы и находятся из граничных условий. При , а при . Соответственно . Найденные значения и подставим в (16.5) и получим формулу для распределения температуры в пластинке:

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими бесконечно длинными цилиндрами

На рис. 16.6. изображена исследуемая система.

Однородная среда заполняет пространство между двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами . Граничные условия стационарны:

Требуется найти зависимость температуры от расстояния от до аксиальной оси. Полный поток через цилиндрическую поверхность радиуса единичной длины равен

Этот поток является постоянной величиной, независящей от радиуса цилиндрической поверхности. Запишем это условие

Рис. 16.6.

Следовательно

Выразим левую часть этого уравнения согласно (16.1), тогда получим

После интегрирования (16.8) находим решение в общем виде

Константы и находятся из граничных условий. При , a при . Соответственно

Вычтем из второго уравнения первое и получим значение

Подставив полученное выражение для в любое из уравнений (16.10) определим . Окончательно решение имеет вид

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сферами

На рис. 16.7. изображена исследуемая система.

П

Рис. 16.7.

ространство между сферами радиусов и заполнено однородной средой. Поток теплоты через сферическую поверхность радиуса равен эта величина постоянна и не зависит от радиуса сферы. Поэтому уравнение для плотности потока имеет вид

После интегрирования (16.12) получим

Из граничных условий находим и . Окончательно решение имеет вид

Ещё раз отметим, что распределения температур в слоях вещества с разной симметрией получены при условии, что . Если это не так, то зависимость или войдет в соответствующие дифференциальные уравнения. Это приведет к тому, что распределение температуры в слоях будет отличаться от (16.6), (16.11) и (16.13).