3.1. Вывод закона распределения вероятностей Описание системы

Рассмотрим изолированную систему, представляющую классический идеальный газ (рис. 3.1). Введем обозначения:

– объем, занимаемый газом; n–число частиц, находящихся в нем;

– число ячеек, которые могут занимать частицы ;

некоторый фиксированный объем, часть , – число ячеек в объеме . Говоря об объеме , мы имеем в виду

Рис. 3.1.

мысленно выделенное подпространство, не имеющее материальных границ (Рис. 3.1), поэтому в объеме V₁ может находиться случайное число частиц . Применение модели классического идеального газа требует выполнения условий: .

Актуальные свойства модели системы

• Пространство, занимаемое газом однородно и изотропно (нет выделенных мест и направлений).

• Частицы отличимы друг от друга (например, пронумерованы).

Последнее неожиданное допущение фиксирует факт отсутствия пространственной конкуренции между молекулами классического идеального газа . Предположение о различимости частиц означает, что два микросостояния, в которых частицами заняты одни и те же ячейки, различны, если, например, две частицы поменялись местами в каких-то ячейках.

Следует обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы, поэтому свойства двух микросостояний, в которых частицы обменялись местами, должны быть абсолютно идентичными. Однако, мы считаем эти микросостояния различными, поскольку системе требуется определенное время для того, чтобы пройти эти «одинаковые» микросостояния. Различимость частиц в дальнейшем заставит нас выбрать «нужные» формулы комбинаторики для подсчета числа микросостояний системы.

Постановка задачи

Какова вероятность макроскопического состояния системы, при котором в объеме находится частиц?

Вывод закона

• По определению вероятность макроскопического состояния системы

• Полное число микросостояний рассчитаем, как число размещений различимых частиц по ячейкам .

• Число размещений частиц в объеме по ячейкам:

• Число состояний, доступных для остальных частиц в объеме

Каждое из микросостояний

комбинирует со всеми микросостояниями в силу их независимости

.

• Поскольку частицы различимы, то фиксированное число молекул , определяющее макросостояние, можно выбрать не одним способом. Количество способов – это число сочетаний, которыми можно выбрать различных частиц из различных частиц

• Окончательно – общее число микросостояний, посредством которых реализуется интересующее нас макросостояние.

Ответ:

Трудно представить, что такая громоздкая формула может найти хоть какое-нибудь применение.

Будем работать дальше в надежде на .

Математические преобразования больших чисел.

Введение общепринятых обозначений

Для преобразования больших чисел обычно используют формулу Стирлинга.

Эта формула позволяет существенно упростить (3.1), а именно

Введём общепринятые обозначения:

– вероятность нахождения частицы в , – вероятность нахождения частицы в остальной части объёма,

– условие нормировки одночастичной вероятности.

Формула для вероятности макросостояния.

Закон Бернулли, или биномиальное распределение.

Используя общепринятые обозначения, представим (3.2) в виде

Это и есть окончательная формула для вероятности макросостояния.

Для полученного распределения выполняется условие нормировки вероятностей:

Это выражение совпадает с формулой бинома Ньютона.

В соответствии с (3.3)

.

Следовательно

Благодаря связи с биномом Ньютона формула (3.4) получила свое распространенное название – биномиальное распределение. Другое название этого распределения – закон Бернулли, в честь ее автора известного европейского математика Якоба Бернулли. Заметим, что Бернулли получил выражение (3.4) иным способом, на основе теоремы умножения вероятностей независимых событий для любых значений и , не обязательно больших.

Биномиальное распределение справедливо для многих случайных событий, имеющих два возможных исхода. При этом обязательным условием выполнения закона является то, что вероятность реализации одного из исходов в единичном испытании должна быть постоянной .

Биномиальное распределение отвечает на вопрос: какова вероятность осуществления определённых исходов в независимых испытаниях при известном значении

Приведём примеры.

Какова вероятность того, что из 50 новорождённых 20 мальчиков? Какова вероятность того, что из 1000 новых одинаковых приборов на складе 5 бракованных?

В первом случае вероятность приближенно можно считать равной , а в последнем – постоянное значение определяется уровнем технологии производства данных приборов (обычно ).