Формула для вероятности макросостояния. Закон Бернулли, или биномиальное распределение.

Используя общепринятые обозначения, представим (3.2) в виде

Это и есть окончательная формула для вероятности макросостояния.

Для полученного распределения выполняется условие нормировки вероятностей:

Это выражение совпадает с формулой бинома Ньютона.

В соответствии с (3.3)

.

Следовательно

Благодаря связи с биномом Ньютона формула (3.4) получила свое распространенное название – биномиальное распределение. Другое название этого распределения – закон Бернулли, в честь ее автора известного европейского математика Якоба Бернулли. Заметим, что Бернулли получил выражение (3.4) иным способом, на основе теоремы умножения вероятностей независимых событий для любых значений и ,не обязательно больших.

Биномиальное распределение справедливо для многих случайных событий, имеющих два возможных исхода. При этом обязательным условием выполнения закона является то, что вероятность реализации одного из исходов в единичном испытании должна быть постоянной .

Биномиальное распределение отвечает на вопрос: какова вероятность осуществления определённых исходов внезависимых испытаниях при известном значении

Приведём примеры.

Какова вероятность того, что из 50 новорождённых 20 мальчиков? Какова вероятность того, что из 1000 новых одинаковых приборов на складе 5 бракованных?

В первом случае вероятность приближенно можно считать равной, а в последнем – постоянное значениеопределяется уровнем технологии производства данных приборов (обычно).

3.2. Графическое представление биномиального распределения.

Графические представления биномиального распределения для разных значений nиpприведены на рис. 3.2: ; б); в)n,,; г) г),,.

а

б

в

г

Рис. 3.2.

В предельном случае, когда ,, гистограмма переходит в непрерывную кривую в форме симметричного колокольчика (рис. 3.2, б).

Основные характеристики биномиального распределении.

Важными числовыми характеристиками распределения вероятностей являются наиболее вероятное значение числа частиц , среднее значение, дисперсия и ряд других связанных с ними параметров. Формулы нахождения этих величин в зависимости отприведены на схеме 3.2.1.

Схема 3.2.1.

Относительные флуктуации числа частиц в пространстве возрастают с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются. В макроскопических системах флуктуации незначительны, поэтому можно считать, что .

3.3. Предельные случаи биномиального распределения

В теории вероятностей анализ предельных форм биномиального распределения базируется на строгих доказательствах. Этому вопросу посвящены специальные теоремы.

На схеме 3.3.1 приведены результаты этих доказательств, имеющие важное значение для описания статистических систем ).

Схема 3.3.1.

В предельных случаях биномиальное распределение приобретает более простую математическую структуру. При решении конкретных задач, полезно, прежде всего, установить, относится ли рассматриваемая ситуация к какому-либо предельному случаю. Если относится, то следует применить соответствующую формулу, что значительно упростит решение.

Среди примеров, относящихся к области применимости распределения Пуассона, особое внимание обратим на явление эффузии. Это явление заключается в следующем.

Газ, находящийся в сосуде при низком давлении , меленно истекает в окружающее сосуд разряженное пространство через отверстие, размеры которого много меньше средней длины свободного пробега молекул. Параметрравен среднему расстоянию, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями. Количество частиц, покидающих сосуд за малый интервал времени, является случайной величиной, подчиняющейся закону редких событий. В дальнейшем мы рассмотрим различные аспекты этого процесса, включая возможности его практического применения в экспериментальных исследованиях.

Контрольные вопросы

1. Какое макроскопическое состояние идеального газа рассматривается при выводе закона Бернулли?

2. При выводе распределения вероятностей предполагается, что . Что следует из этого неравенства?

3. Число микросостояний, посредством которых реализуется интересующее нас макросостояние, записывается в виде . Объясните смысл каждого сомножителя?

4. Как выражаются одночастичные вероятности ичерез объёмыи?

5. Докажите, что биномиальное распределение отвечает условию нормировки?

6. Выделите основные признаки случайных событий, которые описывает закон Бернулли? Приведите примеры.

7. Чему равно наиболее вероятное значение и среднее значение?

8. Чему равна дисперсия числа частиц в объёме?

9. Как зависит относительная флуктуация числа частиц от соотношения объёмов и?

10. Запишите распределение Пуассона. Представьте его графически. Какие явления оно описывает?

11. Запишите распределение Гаусса. Представьте его графически. Какие явления оно описывает?

12. В чём заключается явление эффузии. Какой статистический закон применим для её описания?

ЛЕКЦИЯ 4

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА