Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

вать как множество линии, конгруэнтных профилю резца.

На рис. 189 показана схема изготовления винтовой поверхности глобоидного червяка.

Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, скреперы, грейдеры), но и при рытье траншей, каналов, проходке туннелей, профилировании откосов, планировочных и других подготовительных земляных работах. Широкое применение при рытье траншей для

Рис. 189

Рис. 190

нефте- и газопроводов получили роторные экскаваторы (рис. 190). Но режущие кромки во многих случаях начинают усту-

прогрессивных производительных технологических процессов обработки металлов давлением и обкаткой.

Оставив в стороне специальные вопросы технологии этих процессов, рассмотрим их геометрическую сущность — метод огибания.

Пусть производящая поверхность F, совершая некоторые движения, занимает в пространстве ряд положений, обозначенных на рис. 191 через F\ F... . Совокупность всех поверхностей F\ F'1, ... образует семейство Е, огибающей которого будет поверхность Ф.

Кривые т\ т2 ... , вдоль которых огибающая касается каждой поверхности се-

сматривать как множество характеристик, заполняющих всю поверхность Ф. Каждая характеристика представляет собой не только линию касания огибающей и производящей поверхности, но и линию пересечения двух бесконечно близких поверхностей семейства 2. Такие две бесконечно близкие поверхности Fj и fJ+A, и линия их пересечения m изображены на рис. 192. Касание огибающей и производящей может быть не линейным, а т о ч е ч н ы м . Это зависит от числа параметров, определяющих семейство производящих поверхностей. Огибающая о д н о п а р а м е т -

/////////////////77//

Рис. 191

касается производящей поверхности по линии. Если число независимых параметров, фиксирующих положение производящей поверхности, равно двум, то касание будет точечным. Для четкого уяснения этого факта приведем примеры.

Пусть производящей поверхностью является сфера постоянного радиуса г, центр которой перемещается по некоторой прямой т. Семейство 2 сфер в этом случае будет однопараметрическим, так как положение центра сферы на прямой т определяется одной координатой — одним параметром.

Огибающая такого семейства — цилиндрическая поверхность — с каждой сфе-

образуется при движении центра производящей сферы не по линии, а по поверхности.

Представим себе, что центр сферы перемещается в плоскости хОу так, что параметры а и b перемещений центра в направлении осей х и у являются независимыми. Это означает, что координаты центра сферы могут принимать любые значения независимо друг от друга.

Огибающей так созданного двухпараметрического семейства сфер являются две плоскости а и (3, параллельные ко-

в точке. На принципе двухпараметрического огибания основаны процессы обработки поверхностей многих деталей (лопатки турбин и гидрогенераторов, зубчатые колеса). Современные станки с программным управлением могут ориентировать плоский инструмент (фрезу, шлифовальный круг) так, что он совпадает с касательной плоскостью к поверхности в любой точке. А каждая поверхность всегда может рассматриваться как огибающая семейства своих касательных плоскостей.

Одну и ту же поверхность можно создать различными способами. Так, например, поверхность прямого кругового конуса может быть образована вращением прямолинейной образующей вокруг пересекающей ее оси или поступательным движением непрерывно деформируемой окружности, центр которой перемещается по оси конуса, а плоскость окружности перпендикулярна оси.

Ту же коническую поверхность можно получить и как огибающую семейства плоскостей, пересекающих ось конуса в одной точке под одним и тем же углом. Это семейство образует вращающаяся вокруг оси конуса плоскость. Из всего разнообразия возможных способов формирования поверхностей необходимо выделять те, которые сочетают простую форму образующей линии или производящей поверхности с несложной кинематикой их движения.

По в и д у о б р а з у ю щ е й различа-

является прямая линия, а вторых — кривая. Линейчатые поверхности разделяют на так называемые развертывающиеся поверхности, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость, и неразвертывающиеся.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса, Это так

л и н и и и п р о и з в о д я щ е й п о в е р - х н о с т и , то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на: п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я ; в и н т о в ы е п о в е р х н о с т и ; п о в е р - х н о с т и с п л о с к о с т ь ю п а р а л - л е л и з м а ; п о в е р х н о с т и п е р е н о - с а.

Особое место занимают такие нелинейчатые поверхности, образование которых не подчинено никакому кинематическому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают, и уста-

лопастей турбин и нагнетателей, обшивки каркасов морских судов, самолетов и автомобилей. Эти поверхности изучают в специальных курсах в непосредственной связи с разработкой технологии их изготовления.

Ниже будут рассмотрены: поверхности вращения, развертывающиеся, винтовые поверхности, поверхности с плоскостью параллелизма, циклические и поверхности переноса.

При построении чертежей поверхностей с помощью ЭВМ в условиях автоматизированных систем проектирования зачастую требуются числовые характеристики, определяющие положение точек и линий, принадлежащих данной поверхности. В ряде случаев это могут быть координаты точек или векторов.

Ограничимся рассмотрением лишь одного из возможных способов описания поверхности, позволяющего сравнительно просто преобразовать геометрическую ин-

формацию о строении поверхности в цифровую. Весьма удобной формой задания поверхности является векторная, когда радиус-вектор R. точки М поверхности _(рис. 193) определяется вектор-функцией R (и, у) двух скалярных независимых аргументов и, v, рассматриваемых в некоторой области их изменения:

поверхности. В дальнейшем будем пользоваться и вектор-функцией, и ее координатами.

Параметры и и у называются криволинейными координатами поверхности. Каждой паре значений и, v из области их изменения соответствует точка поверхности. Если один из параметров принять постоянным, например задаться v = ui, то вектор-функция R = R (и, oi) представляет одну из так называемых координатных линий.

Рис. 194

Последовательно рассматривая другие поверхности, будем давать формулировки определителей и останавливаться на особенностях изображения их каркасов.

Если поверхность представлена уравнением в векторной форме R = R ( u,v ), то построению каркаса должны предшествовать вычисления координат точек, принадлежащих данной поверхности.

Так, для изображения на чертеже линий

Шаги изменения параметров и и у выбираются в зависимости от масштаба чертежа и требуемой точности. В принципе можно построить сколь угодно плотный каркас.

2. Для каждого фиксированного значения и и ряда значений v вычислить координаты радиуса-вектора R = R[(u — = const), и], которые одновременно являются координатами точек одной из линий каркаса при M = const.

3.Перейти, к следующему значению и —

=const и определить координаты точек

этих сечений иногда являются очерками ортогональных проекций данной поверхности.

Пусть поверхность представлена уравнениями вида

Пример. Определить линии пересечения каждой координатной плоскости с поверхностью, которая задана уравнениями

х = 3 5 cos v -\-и cos 9, у— и sin 8,

Плоскость xOz пересекает данную поверхность по линии, уравнения которой

Учитывая границы изменения параметра v, заключаем, что сечение поверхности (8.6) плоскостью у — 0 представляет собой полуокружность с центром в начале координат.

Рассечем теперь эту поверхность плоскостью z = 0. Из третьего уравнения (8.6) следует, что при 2 = 0 параметр у = 0 или v =180°.

Подстановка указанных значений v в первые два уравнения (8.6) дает

т. е. получены уравнения двух. прямых, которые служат очерком горизонтальной проекции рассматриваемой поверхности.

Наконец, присоединив к (8.6) уравнение плоскости y0z(x = 0), получим зависимость и от у в виде

апосле подстановки (8.10) во второе

уравнение (8.6) будем иметь

у = — 35 tg 0 cos v и г = 35 sin У.

(8.11,)

Это параметрические уравнения эллипса. Итак, заданные уравнения (8.6) описывают цилиндрическую поверхность, направляющей которой может служить полуокружность, расположенная в плоскости xOz, а образующие должны бьпь параллельны тем прямым, что принадлежат плоскости хОу и определяются урав-

нением (8.9).

§ 42. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности вращения получили широкое применение в строительной технике и машиностроении. «Зеленую улицу» для их внедрения обеспечила простота форми-

из этих двух линий: образующей m и оси i. Две операции включает и алгоритмическая часть определителя:

1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, ..., К.

2. Каждую точку вращают вокруг оси г. Так создается каркас поверхности, состоящий из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендику-

Рис. 195

Из закона образования поверхностей вращения вытекают два основных свойства:

1) плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности — параллели;

2) плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям — меридианам.

На чертеже ось поверхности вращения обычно располагают перпендикулярно од-

плоскость Пг — два меридиана, которые определяют фронтальный очерк поверхности. Меридиан, расположенный в плоско-

проекцию произвольной точки М, принадлежащей поверхности вращения, проводят через М2 фронтальную проекцию параллели. Затем, построив проекцию этой параллели на плоскости Пь определяют Ми На рис. 196 показана точка М, которая видна спереди.

Если ось г поверхности вращения распо-

8S

ложить параллельно одной из плоскостей проекций, например П2, но не перпендикулярно другой, то очерком поверхности на плоскости 1Ь служит главный меридиан т , а очерк п поверхности на плоскости П] требует специального построения, которое состоит в следующем:

1) на оси i (рис. 197) поверхности намечают ряд точек С, С\ С2, ...;

2)каждую из них принимают за центр сферы, касающейся поверхности вращения по окружности. Проекции окружностей на плоскость 112 становятся отрезками прямых n2, "г, ...;

3)отмечают точки, в которых окружности ft1, ft2, ... пересекаются с экваторами сфер; одна из них на рис. 197 обозначена через Л (Л,, Л2).

Эти точки будут разграничивать видимые сверху части каждой окружности (параллели поверхности вращения) от невидимых и тем самым определять очерк горизонтальной проекции.

Вчастном случае, когда меридиан т —

прямая линия, для построения очерка (/i и ni) горизонтальной проекции достаточно воспользоваться .только одной сферой (рис. 198). Заметим, что фронтальные проекции /2 и п2 образующих конической поверхности не совпадают с проекцией i2

Поверхности вращения привлекают строителей своей технологичностью — они могут быть собраны из элементов одного типоразмера. Такой элемент, ограничен-

можно использовать при построении каркаса поверхности.

Рассмотрим поверхность, которая образована вращением вокруг оси z кривой т, расположенной в координатной плоскости хОг (рис. 199). Иными словами, пусть задан меридиан, отнесенный к параметру

Положение любой точки М на поверхности будем определять значением параметра и, т. е. фиксируя точку К на заданной образующей т (меридиане), и углом v, на который повернулась кривая т вокруг оси г.

При изменении и конец вектора р = р(и)

будет перемещаться по меридиану. Считая фиксированным значение параметра и и, изменяя параметр v, получим одну из параллелей поверхности.

а радиус-вектор точки поверхности примет вид

рую в некоторых случаях можно записать явно, используя параметрическое пред-

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими.

1. Сфера. Образуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды (рис. 200), которые могут быть образованы и при вращении эллипса вокруг одной из его осей. Если осью вращения является большая ось эллипса, то эллипсоид называется в ы т я н у т ы м , а если меньшая, то с ж а - т ы м или с ф е р о и д о м . Земной шар (гео-

фиксирующий положение меридиана ( 0 ^

<у < 3 6 0 ° ) .

2.Тор. Поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности (рис. 202 и 203).

•Для произвольной точки М, принадлежащей поверхности тора, будет справедливо следующее векторное равенство:

2

Подстановка (8.18), (8.19) в (8.17) дает

r(u, u) = (/?-|-p cos и) (i cos v + / sin u) +

Это векторное параметрическое представление поверхности тора может быть приведено к виду (8.14), в котором

f](u) = R-\-р cos и\ f<£u) = p sin и.

+р cos и.

Виной, скалярной форме приведем уравнения ограниченной части тора, образованной вращением дуги окружности радиуса р (рис. 204):

Галтели

используются при изготовлении так называемых тороидных (глобоидных) передач (рис. 207), имеющих по сравнению с цилиндрической червячной передачей значительные преимущества (высокий к.п.д. и компактность).

Более значительным примером может служить «Токамак» (Тороидальная камера магнитная) — термоядерный реактор, корпус которого и представляет собой полую металлическую «баранку» — тор —

Рис. 206

Рис. 258

Рис. 208

с токопроводящими обмотками и сложным узором магнитных полей внутри. Форму тора придают межпланетным орбитальным станциям, воплощение проектов которых становится явью.

3. Параболоид вращения. Образуется при вращении параболы вокруг ее оси.

Параболоидом вращения является поверхность параболических зеркал, применяемых в прожекторах и фарах автомобилей, где используется фокальное свойство параболы; если в фокусе параболы поместить источник света, то световые лучи, отражаясь от параболы, будут распространяться параллельно друг другу (рис. 208). На этом же свойстве основано и действие звукоулавливателей и радиотелескопов.

Форму параболоида имеет внешний купол московского планетария.

4. Гиперболоид вращения. Различают одно- и двухполостный гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис. 209), а второй — при вращении ее вокруг действительной оси (рис. 210). Поверхность однополостного гиперболоида может' быть образована и вращением прямой линии.

гиперболоида проходят две и только две его прямолинейные образующие.

Построение проекций • однополостного гиперболоида вращения дано на рис. 211. Пусть ось вращения, прямая г, расположена перпендикулярно плоскости П|. При вращении образующей АВ вокруг оси i каждая точка прямой перемещается в пространстве по окружности (параллели), плоскость которой перпендикулярна оси