Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

I

Рис. 231

быть только у прямых, принадлежащих проецирующей плоскости.

Следовательно, проецирующими будут

На рис. 230 построены два семейства

плоскости а и пересекающие стороны АВ и CD. Последние являются направляющими для первого семейства прямых.

Проекции второго семейства образующих, параллельных плоскости р, на эпюре не обозначены.

Криволинейные очерки фронтальной и профильной проекций представляют собой параболы, являющиеся в данном случае огибающими проекций прямолинейных образующих. Вместе с тем каждую из парабол можно рассматривать как сечение по-

в рассматриваемом случае получим гиперболу. Точки 1 и 2 одной из ветвей гиперболы найдены как точки пересечения прямых AD и AlD' с плоскостью а.

Таким образом, на данной поверхности кроме прямых линий могут быть располо-

жены параболы и гиперболы, чем и объясняется ее название — гиперболический параболоид.

Линейчатое строение поверхностей с плоскостью параллелизма широко используется в строительной технике при кон-

струировании оболочек и покрытий зданий

сбольшими пролетами.

Наиболее простой является оболочка,

ограниченная одним неплоским четырехугольником. Соединение четырех таких оболочек, покоящихся на угловых опорах, показано на рис. 232 и 233. Козырек в форме коноида над входом в здание ЮНЕСКО схематично изображен на рис. 234.

Поверхностями гиперболического параболоида являются откосы переходных участков насыпей земляного полотна же-

« Г

Рис. 234

лезной дороги. Такого рода переходы могут быть использованы при индивидуальном проектировании высоких пойменных насыпей, уклон затопляемой части которых не должен быть круче 1:2 (рис. 235).

§ 46. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

или переменного радиуса. Из большого разнообразия способов построения однопараметрического множества окружностей, представляющих собой каркасы рассматриваемых поверхностей, выделим те, которые отличаются общностью (универсальностью) и конструктивной простотой.

Так как каркас циклических поверхностей состоит из набора окружностей, укажем вначале, какими геометрическими элементами может быть определена окружность в пространстве:

1)тремя точками;

2)плоскостью, центром и величиной радиуса;

3)двумя точками и прямой, расположенными в одной плоскости, при условии, что эта прямая и центр окружности инцидентны;

4)тремя касательными;

5)сферой и пересекающей ее плоско-

стью;

6)вектором, начало которого совпадает

сцентром окружности, направление перпендикулярно плоскости окружности, а модуль равен радиусу.

Этот перечень не исчерпывает все способы задания окружности, но открывает большие возможности для конструирования циклических поверхностей. Рассмотрим некоторые из них.

Первый способ (рис. 236). Геометрическая часть определителя:

1) три направляющие т , /, я; 2) плоскость параллелизма а.

Алгоритмическая часть: 1) находим точки А, В, С пересечения направляющих с плоскостью а', которая должна быть параллельна а; 2) строим окружность, определяемую тремя найденными точками; 3) переходим к следующей плоскости а2||а

иповторяем построения, описанные выше. Второй способ (рис. 237).

Геометрическая часть определителя: 1) две линии / и т , из которых одна является линией центров; 2) ось i пучка плоскостей или плоскость параллелизма р.

Алгоритмическая часть: 1) выделяем из пучка плоскостей плоскость ос1; 2) находим точки Л1 и С1 пересечения линий т и / с плоскостью а1 ; 3) строим окружность

переходим к следующей плоскости пучка (в частном случае а2||Р) и повторяем построения.

Третий способ.

Геометрическая часть определителя: отсек л и н е й ч а т о й п о в е р х н о с т и Ф, несущей на себе множество векторов —

238). Алгоритмическая часть: отнесем в пространстве каждому вектору С'УИ1 ок-

Непрерывное множество направляющих векторов определит поверхность круговых образующих (циклическую поверхность).

Приведенные выше способы позволяют судить о тех разнообразных условиях, выполняя которые конструктор может строить каркасы циклических поверхностей.

Варьируя параметрами, определяющими плоскость окружности и ее размеры,

Каркасы из набора окружностей используются в качестве арматуры при изготовлении деталей и элементов силовых конструкций из пластических масс.

В последние годы при проектировании поверхностей широкое распространение получили поверхности, поперечные сечения которых составлены из конечного числа сопряженных дуг окружностей. Примерами таких составных циклических поверхностей являются обшивки гондол турбореактивных двигателей и газовых турбин, устанавливаемых на самолетах и скоростных локомотивах.

Из приведенного на рис. 239 внутреннего очертания туннельной обделки видно, что поверхность туннеля, если продольная ось его непрямолинейна, составлена из отсеков сопряженных циклических поверхностей.

Примером циклических поверхностей могут служить и круговинтовые поверхности зубьев передач М. JT. Н о в и к о в а .

Наибольшее распространение из передач, названных его именем, получила пе-

Линия

центроб

Рис. 238

Рис. 239

Рис. 240

редача из косозубых колес, отличительной особенностью которой является взаимодействие выпуклого и вогнутого зубьев при первоначально точечном касании.

Построение проекций поверхности одного из зубьев колес М. Л. Новикова дано на рис. 240.

Геометрическая часть определителя поверхности задана образующей т (дуга окружности радиуса г), плоскостью параллелизма П1 и углом ф наклона зубьев на цилиндре радиуса R.

Алгоритмическая часть содержит всего лишь указание на то, что образующая т должна совершать винтовое движение около оси цилиндра радиуса R.

Развертка винтовой линии, принадлежащей циклической поверхности радиуса R, где угол ф изображается в натуральную величину, позволяет установить перемещение As по дуге окружности радиуса R, соответствующее прямолинейному перемещению Дh вдоль оси цилиндра.

Автор зубчатых передач с новой геометрией М. Л. Новиков был удостоен в 1959 г. Государственной премии.

§ 47. ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА

Поверхностью переноса называется поверхность, образуемая при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой.

Напомним, что поступательное движение — такое движение фигуры (тела), при котором перемещения всех точек ее за любой промежуток времени параллельны

и имеют од.'у и ту же величину.

Любая прямая, которая принадлежит фигуре, совершающей поступательное движение, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

Геометрическая часть определителя поверхности переноса состоит из двух кривых линий: образующей m и направляющей п (рис. 241).

Алгоритмическая часть содержит следующий перечень операций, связанных с построением каркаса поверхности:

1) на направляющей п намечаем ряд точек А, В, С, ... ;

2)строим векторы АВ, ВС, ... ;

3)осуществляем параллельный перенос линии т ; переносы задаются векторами

АВ, ВС, ... .

Поверхности параллельного переноса отвечают важному технологическому требованию — их можно формировать при помощи передвижной опалубки. с*то до-

Рис. 242

стоинство их и используется при создании монолитных и сборных оболочек.

Проекции каркаса оболочки, направляющая которой п, образующая — пг, показаны на рис. 242.

Покажем, что поверхность переноса мо-

щие соответственно от и и v, причем и является параметром, к которому отнесена образующая m, a v — параметр, фиксирующий точку на направляющей п.

Радиус-вектор точки М (см. рис. 241), принадлежащей поверхности Ф, предста-

представляет собой вектор-функцию параметра и, второе — вектор-функцию, зависящую только от V.

Из параллелограмма АВМК следует, что одну и ту же точку М поверхности переноса можно получить, перемещая образующую по направляющей или, наобо-

рот,— направляющую по образующей. Линии т и п , которыми задается поверхность параллельного переноса, обратимы.

1. Что называется определителем поверхности и из каких двух частей он состоит?

2.Из каких геометрических фигур состоит геометрическая часть определителя линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма?

3.Составить алгоритмическую часть определителя поверхности, которая образуется движением прямой линии по трем скрещивающимся прямым.

4.Какая поверхность однозначно определяется заданием одной пространственной кривой линии?

5.Какие поверхности образуют семейства плоскостей, касающихся двух непересекающихся сфер?

6.Какую поверхность образует множество конгруэнтных окружностей, имеющих общую хорду? общую касательную?

7.Какие поверхности формируются ребрами куба при его вращении вокруг одной из диагоналей?

8.Какие поверхности сформирует конус при вращении около оси г, с которой ось конуса пересекается под углом 30°, а угол при вершине конуса равен 30° (60°)? Вершина конуса расположена на оси г.

9.Циклическая поверхность задана линией центров, одной направляющей и плоскостью, параллельно которой должна оставаться плоскость движущейся окружности. Составить алгоритмическую часть определителя этой поверхности.

10.Как образуется винтовая поверхность? Запишите ее определитель.

11.Как задается и формируется поверхность параллельного переноса?

Г Л А В А 9

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОВЕРХНОСТИ

$ 48. ЛИНИИ И ТОЧКИ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Покажем полезность принятого понятия каркаса и его эффективность. Убедимся, что множество линий, заполняющих поверхность, позволяет решить любую позиционную задачу независимо от строения самой поверхности.

• Рис. 243

Задача 1. Построение линии, принадлежащей поверхности.

Предполагается, что одна из проекций линии задана. Так, на рис. 243 изображена горизонтальная т\ проекция линии, которая принадлежит поверхности Ф.

Здесь и в дальнейшем будем считать заданными проекции каркаса — линии /', /2, ... . Требуется построить фронтальную проекцию т.2 линии т .

Отметим точки 11, 2\, ... , в которых горизонтальные проекции линий каркаса пересекаются с одноименной проекцией заданной линии. С помощью линий про-

Задача 2. По одной проекции точки, принадлежащей поверхности, построить ее вторую проекцию. -

План решения задачи:

1) строим каркас поверхности; 2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии, принадлежащей поверхности и пересекающей каркас образующих; 3) строим вторую проекцию вспомогательной кривой, на которой и определяем с помощью линии связи искомую проекцию точки.

Эта последовательность построений и была реализована на рис. 243, где результатом решения является фронтальная проекция Кг точки К ( / С е Ф ) .

В тех случаях, когда через заданную проекцию точки удается провести проекцию одной из образующих каркаса, решение значительно упрощается, так как отпадает необходимость в построении самого каркаса.

§ 49. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Если заданная плоскость проецирующая, то решение задачи сводится к тем построениям, которые были описаны в задаче 1. Действительно, условия обеих задач оказываются одинаковыми, потому что след проецирующей плоскости совпадает с одной из проекций линии пересечения поверхности плоскостью.

К той же первой задаче можно прийти

Для этого следует воспользоваться одним из способов, позволяющих плоскость об-

зованию необходимо подвергнуть и заданную поверхность.

Фигура сечения может быть построена

щих каркаса с заданной плоскостью общего положения. Целесообразность такого пути очевидна при построении сечений линейчатых и тех циклических поверхностей, каркас которых состоит из окружностей, расположенных в плоскостях уровня.

Пример 1. Сечение сферы плоскостью. а) Пусть дана сфера и фронтально проецирующая плоскость а (рис. 244). Окружность, по которой плоскость а пересекает сферу, спроецируется на П| в виде эллипса. Две вершины этого эллипса (точки 11 и 21) являются горизонтальными проекциями соответственно высшей и низшей точек сечения. Их фронтальные проекции /г и 22 определяются пересечением следа аг плоскости с очерком проекции сферы на плоскость Пг. Остальные точки сечения найдены с помощью каркаса сферы, представленного на рис. 244 параллелями — окружностями. Отметим, что точки 3 и 4, отделяющие видимую часть горизонтальной проекции сечения от невиди-

мой, принадлежат экватору сферы, а точки 5 и б определяют большую ось эллипса, длина которой равна диаметру окружности сечения, т. е. отрезок 5\—61 равен отрезку /2 —22 .

П4/П1 заданная плоскость стала проецирующей. Горизонтальную проекцию сечения можно построить аналогично тому, как это сделано на рис. 244.

обозначены точки, расположенные на контуре горизонтальной проекции сферы и отделяющие видимую часть горизонтальной проекции сечения от невидимой.

Заметим, что эти точки (3 и 4) можно определить и непосредственно в системе

П2/П1 при помо1ци плоскости р, проходящей через центр сферы параллельно П|.

Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали А1 (А'э/С), (А'||А), а сферу — по экватору.

Пересечение горизонтальных проекций экватора и горизонтали определяют точки 31 и 4,.

Построение фронтальной проекции сечения можно выполнить независимо от уже построенной проекции сечения на плоскости Ш. Для этой цели следует перейти от системы П2/П1 к П5/П2. Новая плоскость Пб перпендикулярна фронтали заданной плоскости.

Дальнейшие построения, по существу, ничем не отличаются от предыдущих.

Заметим, что через 5 и 6 обозначены точки, соответственно н а и б о л е е и на- и м е н е е удаленные от плоскости П5. Точ-

ки 7 и 8 расположены на главном меридиане сферы и определяют границы видимости фронтальной проекции линии сечения.

При больших размерах чертежа найденных точек бывает недостаточно для точного построения проекций сечения. Промежуточные точки могут быть определены при помощи дополнительных параллелей сферы.

Пример 2. Пересечение циклической поверхности плоскостью общего положения.

Отсек циклической поверхности, задан-

Искомое сечение построено в результате многократного решения задачи на пересечение окружности с плоскостью. Порядок решения следующий:

заключаем окружность т в плоскость Р;

строим линию f', по которой пересекаются заданная а и вспомогательная р плоскости;

отмечаем точку Кг пересечения фронтальной проекции т г с одноименной проекцией {1 прямой /';

с помощью линии связи определяем проекцию КI той же точки на плоскости Пь

Пример 3. Пересечение поверхности вращения общего вида плоскостью.

Пусть ось i поверхности вращения Ф перпендикулярна плоскости П] (рис. 247). Покажем прежде всего, что сечение поверхности Ф плоскостью а (ЛOf) и проекция этого сечения на плоскость, перпендикулярную оси 1, являются кривыми, имеющими ось симметрии.

Для этой цели определим две точки, принадлежащие одной параллели поверхности вращения.

На рис. 247 показана параллель р, полученная при пересечении Ф плоскостью р, перпендикулярной оси I. Вспомогательная плоскость р пересечет заданную плоскость по горизонтали А1.

Параллель р и горизонталь А1, находясь в одной плоскости р, пересекаются в точках / и 2, которые принадлежат искомой линии. Полученные точки симметричны друг другу относительно плоскости а, перпендикулярной хорде 1—2 и проходящей через ее середину. Заметим, что плоскость о, являясь множеством точек, равноудаленных от концов хорды /—2, пройдет через ось поверхности вращения, все точ-

ки которой также равноудалены от точек / и 2.

Очевидно, что для любой другой пары точек, расположенных на концах хорд других окружностей (но параллельных хорде 1—2), плоскость о будет также являться

Свойством симметрии обладает и проекция кривой сечения на плоскость, перпендикулярную оси i, так как отрезки, соединяющие симметричные друг другу точки сечения, параллельны той же плоскости.

Высшая и низшая точки в данном случае должны быть симметричными самим себе и, следовательно, каждая из них должна находиться на оси симметрии кривой сечения. Этот вывод позволяет наметить достаточно простой путь определения этих

На рис. 249 приведено решение по существу такой же задачи с использованием способа замены плоскостей проекций, когда плоскость a (f(]h) общего положения была преобразована в проецирующую. Ее след а4 на плоскости 114 является вместе с тем и вырожденной проекцией сечения заданной поверхности тора.

Заметим, что в данном примере новая плоскость проекций П4 параллельна а — общей плоскости симметрии заданных поверхностей (тора и плоскости а) . Каркас тора на рис. 249 представлен всего лишь одной параллелью т, которая в точках 5 и 6 пересекается с плоскостью а. С помощью плоскости у, параллельной П2 и проходящей через ось тора, найдена точка 4, отделяющая видимую часть фронтальной проекции сечения от невидимой.

Пример 4. Конические сечения.

На рис. 250 изображены три сечения прямого кругового конуса * различными плоскостями. Докажем, что:

1) если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, то

всечении получается эллипс (рис. 250, а) \

2)если секущая плоскость параллельна только одной образующей, то в сечении будет парабола (рис. 250, б);

3)если пересечь конус плоскостью, параллельной двум его образующим (в

этих утверждений повторим стереометрические рассуждения бельгийского математика Данделенома (1794—1887), который использовал факт равенства отрезков, касательных к сфере, проведенных из одной точки. Это факт позволил ему установить фокальные и директориальные свойства конических сечений.

Итак, пусть плоскость а (рис. 251 и 252) пересекает все образующие конуса по кривой /. Впишем в конус две сферы с центра-

проходит через центр основания, в ином случае конус называется н а к л о н н ы м .

касаются конуса. Возьмем на кривой /

нуса, а потому эта сумма постоянна. Постоянна будет и сумма отрезков М/7 ' и

MF\

Следовательно, коническое сечение / представляет собой множество точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F' и F2 есть величина постоянная. Это фокальное свойство присуще только эллипсу.

Аналогично Доказывается фокальное свойство для гиперболы (рис. 253) с той лишь разницей, что сферы располагаются в различных полостях конуса. В этом случае коническим сечением будет множество точек М, разность расстояний которых от двух точек F1 и F2 есть величина постоянная. В принятых на рис. 253 обозначениях MF2-MFl=AB.

Рассмотрим, наконец, сечение конуса плоскостью а, параллельной одной образующей конуса (рис. 254). На этот раз впишем в конус сферу, касающуюся плос- кости-а в точке F, а конуса — по окружности т, расположенной в плоскости р. Покажем, что для любой точки'М конического сечения справедливо равенство MF = = MN, в котором отрезок MN перпендикулярен прямой d пересечения плоскостей а