Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

6)повторяя построение, изложенное в

п.4, строим перспективу ребра 7'В'\

7)соединяя точки В' и F', получаем перспективу горизонтального ребра B'L';

8)вычерчиваем перспективы двух параллельных наклонных прямых А'В' и M'L'.

Проверкой точности построения является сходимость прямых А'В' и M'L' на вертикали, проведенной через точку схода F2.

Особо следует' выделить случай, когда высота горизонта равна нулю или настолько мала, что вторичная проекция предмета оказывается очень сжатой. На примере построения перспективы прямоугольного параллелепипеда покажем применение ре-

заключающуюся в том, что вторичная проекция предмета создана не на предметной плоскости, которая в данном примере совпадает с плоскостью горизонта, а на некоторой вспомогательной горизонтальной плоскости, смещенной книзу от плоскости горизонта на произвольное расстояние Н.

Прямая 0 3 0 4 (см. рис. 356), параллельная линии горизонта, является линией пересечения вспомогательной плоскости с картиной; ее обычно называют о п у щ е н - н ы м о с н о в а н и е м к а р т и н ы .

Не повторяя изложенного ранее описания построений вторичной проекции и перспективы предмета, отметим, что при создании перспектив вертикальных ребер параллелепипеда высоту их, равную Hi, откладывают не от опущенного основания, а от линии горизонта, которая в рассматриваемом примере совпадает с истинным основанием картины — прямой О1 02 .

Метод архитекторов, обеспечивающий значительную точность перспективных изображений и, главное, сокращающий время их создания, не исключает радиального метода. Пользуясь методом архитекторов для построения перспективы предмета в целом, некоторые точки его можно построить с помощью радиального метода.

Применение метода архитекторов связано с некоторыми затруднениями лишь тогда, когда одна или обе точки схода F[ и F2 связок параллельных прямых оказывают-

ся за пределами чертежной доски.

Если размеры рабочего места позволяют показать только одну из точек схода, например F2, то каждую точку вторичной проекции рекомендуется определять пересечением двух прямых, первая из которых принадлежит пучку с точкой схода F2, а вторая является прямой любого другого пучка горизонтальных параллельных линий. Направление этого второго пучка должно быть лишь таким, чтобы точка схода его оказалась в пределах рабочего пространства. Обычно это бывает пучок прямых, перпендикулярных картине, точка схода которых расположена в главной

чалом рассматриваемой прямой АуАу^ является точка Ац которую и необходимо

намести на масштабе широт, используя ординату уА точки А. Соединив точку Ау с .О, построим перспективу прямой, пересекающей масштаб глубин в точке А'у.

точки А будет расположена на пересече-

с Р. Вертикальная прямая, проведенная через А'У до пересечения с линией А'ГР, определяет отрезок А'уА'ъ, перспективно равный координате гА.

Наконец, остается на вертикальной прямой, проходящей через вторичную проек цию точки А, построить отрезок, равный ЛуЛз, что и сделано с помощью горизонта-

картины, когда все линейные размеры, снимаемые с ортогонального чертежа, уве-

ся недоступными. Тогда обращаются за

Р и с . 423

бе широт откладывают отрезки, длина которых равна уменьшенной вдвое координате у.

Пересечение прямой 20D2 и масштаба глубин определяет ту же точку А'у, которая могла быть получена с помощью прямых ЛЛ„ , D'% или D"No-

Уо Объясняется это пропорциональностью

отрезков, выражаемой следующими ра-

венствами:

0'А'у УА УА/П

А'Р I 1/п

§74. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ М О Д Е Л Ь

ЦЕ Н Т Р А Л Ь Н О Г О ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Для аналитического описания центрального проецирования обратимся к рис. 363,

XЛ, YА, ZA, рассмотрим подобные треугольники 5Л2Л И SA'IA', а также SAIAI и 5РЛ'2. Из их подобия следует, что

D

U - D+ Ул •X,

Рис. 424

Пусть теперь точка А вместе с геометрическим объектом (ГО), которому она принадлежит, начнет вращаться вокруг оси 2. Это вращение ГО позволит получить его перспективное изображение в различных ракурсах и тем самым оценить архитектурные достоинства или недостатки проектируемого объекта. Заметим, что для многократного построения ГО целесообразно использовать экран дисплея. Программа, реализующая эти построения, приведена в гл. 18.

На рис. 364 ГО и точка А изображены в двух положениях: первоначальном, когда угол поворота ф = 0, и повернутом (штрихпунктирный контур ГО).

Координаты точки А в неподвижной системе s(x,y,z), которая лишь при <р = = 0 совпадает с системой sо, станут иными, а именно:

где Хо, Уо, Z0 — координаты точки А, заданной своими ортогональными проекциями при ф = 0.

Подстановка (13.2) в (13.1) дает:

ций сведен к пересчету координат Хо, Ко,

картинной плоскости. Преобразования точек пространства, соответствующие уравнениям (13.3), называют д р о б } н о - л и -

нейными. Эти уравнения могут быть использованы при разработке программы для автоматизированного построения перспективы.

§ 75. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ

Примеры, приведенные в настоящем параграфе, иллюстрируют некоторые особенности построений, с которыми приходится часто сталкиваться при перспективных изображениях плоских фигур и трехмерных тел. Во многих из них применяется перспективное деление отрезка в данном отношении. Обратимся к рис. 365, где отрезок АВ разделен в отношении т:п. Выполненное построение основано на том, что равным отрезкам прямой, параллельной плоскости картины, соответствуют равные отрезки на перспективе той же прямой. Предварительно делят вторичную проекцию отрезка в отношении т:п. Для этого через один из его концов проводят прямую, параллельную основанию картины, и откладывают на ней от точки А\ отрезки, пропорциональные т и п (на

в том же отношении разделит и полудиагонали квадрата.

Пример 3. Построение оконных и дверных проемов.

В построении оконных и дверных проемов можно достигнуть значительного упрощения, если эту задачу свести к делению перспективы отрезка на пропорциональные части. На ортогональной проекции фасада здания (рис. 369,а) создают сетку из горизонтальных и вертикальных линий, проходящих через углы контуров окон и дверей. Построение этой сетки на картине можно выполнить следующим образом:

Рис. 368

Вг

а) на фронтальных проекциях А^Еч и Е2Сг отрезков контура стены отмечают точки h , 2d, ... , 11а, через которые проведены прямые, образующие сетку. Этим точкам на картине соответствуют точки /', 2', ... , 11', принадлежащие перспективам А'Е' и Е'О тех же отрезков;

б) построение указанных точек осуществляют с помощью двух пучков горизонтальных параллельных прямых. На рис. 369,б перспективой бесконечно удаленной точки одного из пучков является точка F, второго — точка F1.

Пример 4. Перспектива поверхности вращения.

Каждую поверхность на чертеже можно достаточно наглядно представить ее каркасом, который позволяет легко построить очерк проекции и решить любую позиционную задачу. Таким каркасом для поверхности вращения (рис. 370) служит множество ее параллелей — окружностей, расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i.

На рис. 370, где ось i _L 111, перспективы всех окружностей построены с помощью описанных около них квадратов, одна па-

параллельны, a AD и ВС перпендикулярны плоскости картины. Через F' и F2 обозначены точки схода диагоналей квадратов, причем в данном примере эти точки совпадают с точками дальности. Очерк проекции поверхности вращения прорисовывается как огибающая построенного семейства эллипсов.

Пример 5. Перспектива линейчатой поверхности с плоскостью параллелизма.

Геометрическая часть определителя коноида (рис. 371) представлена плоскостью

нейной направляющей от, как и плоскость а, перпендикулярна Пь

Прямолинейная образующая АВ построена с помощью точек пересечения направляющих с плоскостью р, которая параллельна а. Так, А — т П [i и B — ri |"|р. Аналогично определены и другие прямые,

Рис. 370

принадлежащие каркасу линеичатои по-

жены на рис. 372. На этой же фигуре показан и горизонтальный след плоскости картины (III). Ограниченные размеры чертежа не позволили отметить положение точки зрения, главной точки и точек схода связок параллельных прямых. Внешний контур вторичной проекции на опущенную плоскость и перспектива моста при высоте горизонта, равной нулю, изображены на рис. 373.

Сведения, необходимые для выполнения этих построений, содержатся в § 73.

Укажем на особенности построения перспективы арочного пролетного строения, контур которого расположен в вертикальной плоскости а.

На рис. 372 и 373 горизонтальный след этой плоскости проведен штриховой линией. Через точку No на опущенном осно-

ния а|"|Н'. Построенная перспектива сетки горизонтальных и вертикальных прямых позволяет определить точки контура арки.

Опуская подробное описание создания перспективы сетки, которое было изложе-

Для построения контура арки, расположенного в плоскости р, можно воспользоваться ранее найденными точками в плоскости а.

Так, на рис. 373 точки С' и К', лежащие в плоскости р, были получены с помощью лучей, проведенных в точку схода F2 через точки А' и М', принадлежащие плоскости а.

На этих лучах вертикальными прямыми, проходящими через вторичные проекции точек (C'i и К\), опеределено положение точек С'и К'

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. В каком случае перспектива точки совпадает со своей вторичной проекцией?

2.Вторичные проекции каких точек пространства принадлежат линии горизонта?

3.Как будет изменяться перспектива предмета, если точка зрения будет удаляться от картины по прямой, перпендикулярной картине?

4.Как должны располагаться окружности относительно точки зрения и картины, чтобы их перспективами были отрезок прямой, эллипс, парабола, гипербола?

5.При каком положении прямой отношение

длин ее отрезков не изменится и в перспективе?

Г л а в а 14

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

§ 76. СУЩНОСТЬ МЕТОДА

Способы изображения, рассмотренные в предыдущих разделах, оказываются неприемлемыми при проектировании таких инженерных сооружений, как полотно железной или шоссейной дорог, плотины; дамбы, аэродромы, т. е. в тех случаях, когда высота объекта существенно меньше его размеров на плане. Изображением только плана инженерного сооружения и ограничиваются в методе проекций с числовыми отметками.

Эти отметки (числа), которые указыва-

Рис. 374

ют расстояния обычно в метрах от точек, принадлежащих данному объекту, до некоторой горизонтальной плоскости По позволяют судить о размерах и положении изображенного объекта по высоте. На плоскость По — плоскость нулевого уровня, и осуществляют ортогональное проецирование геометрических фигур и реальных объектов. Полученные чертежи будем называть планами, на которых принято показывать линейный масштаб, необходимый для решения метрических задач.

Перед числовыми отметками точек, расположенных под плоскостью Пи, ставится знак минус.

При выполнении графических построений, связанных с решением позиционных задач, нужно использовать свойства параллельных и ортогональных проекций, так как процесс создания планов (горизонтальных проекций) сохраняет эти свойства.

Примером оформления чертежа с числовыми отметками может служить рис. 374, где показана кривая АВ, пересекающая плоскость По-

§ 77. ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Кроме задания прямой двумя точками (рис. 375 и 376) в проекциях с числовыми отметками прямую а определяют горизонтальной проекцией, отметкой одной из ее