Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

Рис. 451

Задание первого (верхнего) окна просмотра приведет к выводу на экран изображения, показанного на рис. 452. Выполнение процедуры «Возврат к предыдущему окну» приведет к восстановлению на экране исходного изображения (рис. 451). Задание второго (нижнего) окна просмотра приведет к выводу на экран изображения, показанного на рис. 453. Выполнение процедуры «Возврат к предудьпцему окну» опять приведет к восстановлению на экране первоначального изображения (рис. 451).

СДВИГ ОКНА ПРОСМОТРА

Функция «Сдвиг окна просмотра» по-

зволяет передвинуть текущее окно в пространстве графического объекта в любом направлении, не меняя его размеры. Эта функция полезна при вводе и редактировании графических элементов, попавших на границу текущего окна, либо при вводе длинных и узких объектов.

§ 98. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФИЧЕСКИМИ

ОБЪЕКТАМИ

Каждая графическая система имеет систему функций редактирования сформированного графического объекта. Эти функции предназначены не только для исправления ошибок, но и позволяют ускорить процесс его формирования. Работа большинства функций редактирования основана на выделении — пометке — части объекта (группы примитивов), подвергаемой той или иной процедуре. Пометка выполняется или заданием прямоугольной области вокруг части графического объекта (в этом случае помеченными становятся попавшие в окно примитивы), или непосредственным указанием курсора тех графических примитивов, которые должны быть включены в группу.

ОТКАТКА

Наиболее простая из функций редактирования — откатка. Она заключается в последовательной отмене последних действий, выполненных пользователем. Эта функция не требует задания группы редактирования. Каждое ее выполнение приводит к удалению графического примитива, введенного последним, либо отмене любой другой функции редактирования.

Рис. 300

УДАЛЕНИЕ (СТИРАНИЕ)

Функция удаления стирает примитивы, включенные в группу редактирования. Эта функция используется не только для устранения допущенных при формировании объекта ошибок, но может быть использована и для других целей.

Часто, при создании сложных объектов, необходимо выполнять предварительные вспомогательные построения, которые в дальнейшем необходимо удалять.

СДВИГ

Функция используется для плоскопараллельного перемещения помеченной группы примитивов в пространстве графического объекта. Описав группу, можно переместить ее в любое место пространства объекта. Как правило, выделив графические примитивы, входящие в группу сдвига, необходимо также определить «точку привязки группы», так как при сдвиге группы сохраняется не только состав примитивов и их атрибуты, но и расположение примитивов относительно друг друга.

Эта функция полезна не только при исправлении ошибок, связанных с неточностями при состыковке отдельных частей графического объекта. Часто опытные пользователи описывают сложные части объекта отдельно, в стороне от других частей, а затем, используя функцию сдвига, вставляют описанную часть в нужное место графического объекта.

КОПИРОВАНИЕ

Функция позволяет создать копию «помеченных» примитивов и переместить ее в произвольное место пространства графического объекта.

При задании группы копирования необходимо определить «точку привязки хруппы», так как при копировании также сохраняется расположение примитивов относительно друг друга.

Эта функция используется не только для ввода повторяющихся частей объекта. Ею часто пользуются при задании его «похожих» частей. Скопировав группу примитивов, ее можно затем отредактировать — «подправить». Такой

режим намного эффективней, чем описание группы «с нуля». Опытные пользователи легко выделяют такие группы в описываемом объекте, тем самым значительно сокращая время работы над объектом.

РАЗМНОЖЕНИЕ

Функция используется при описании объектов с многократно повторяющимися группами примитивов. Описав группу один раз, можно многократно копировать ее в любое место пространства объекта.

ПОВОРОТ

Эта функция используется для поворота группы «помеченных» примитивов в плоскости проекций. Для выполнения этой функции необходимо, кроме задания собственно группы, определить точку, относительно которой будет совершен поворот, а также угол, на который будет повернута группа относительно заданной точки. Повернутая система координат, изображенная на рис. 453, первоначально была описана как система с осями, параллельными сторонам рамки чертежа. Затем была выполнена процедура копирования, совмещенная с поворотом относительно точки, обозначающей начало координат. Те части графического объекта, которые находятся под углом, удобно описывать в не повернутом, привычном положении, а затем, выполнив функцию поворота, расположить их требуемым образом.

СИММЕТРИЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Для графических объектов или их частей, имеющих ось (или плоскость) симметрии, нет необходимости в их полном описании. Достаточно описать лишь его половину, а затем, воспользовавшись функцией симметричного отображения, автоматически получить объект целиком. Если же объект (или его часть) имеет две оси симметрии, работа по его описанию еще более упрощается. (Проекции торов, представленных на рис. 451, выполнялись с использованием именно этой функции.)

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

Эта функция позволяет производить линейное искажение группы примитивов вдоль одной или сразу двух координатных осей. Коэффициент искажения вдоль каждой оси задается или непосредственно в виде действительного числа или процентах.

Описываемая функция удобна при задании эллипсов с заданными размерами большой и малой оси, либо при построении проекций окружностей. На рис. 454 показаны проекции окружности, плоскость которой перпендикулярна плоскости Пг и наклонена к плоскости Пх под углом 60°. Для построения горизонтальной проекции окружность была сначала построена без искажения, а потом искажена вдоль оси X с коэффициентом 0,5.

Рис. 454

Любая графическая система обладает средствами записи и чтения графических объектов. Объекты хранятся в виде файлов на устройствах с файловой структурой. Как правило, это магнитные или лазерные диски, дискеты.

При формировании объекта на любой стадии его можно сохранить, пусть и в незавершенном виде. Необходимь/м атрибутом любого графического объекта является его имя, которое задается при первом его сохранении. В дальнейшем пользователь находит объект среди множества других объектов именно по его имени. Опытные пользователи имеют собственную систему задания имен объектов, используя так называемые «говорящие» имена. Если пользователь задает

имя, совпадающее с именем другого объекта, уже хранящегося на диске, графическая система предупреждает его о возможной потере информации и предлагает пользователю подтвердить правильность введенного имени.

ЧТЕНИЕ ИЗ ФАЙЛА НА ДИСКЕ

Сложные графические объекты, как правило, невозможно описать за один сеанс работы пользователя с графической системой. Пользователь завершает работу с системой, выполняя, как правило, функцию «сохранить». Новый сеанс работы начинается с чтения записанного ранее объекта. Для того чтобы прочитать именно тот объект, пользователю необходимо помнить его имя и ввести его в ответ на соответствующий запрос графической системы.

Г Л А В А 19

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 99. ЗАДАНИЕ ОТСЕКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Наибольшего преимущества, по сравнению с ручными способами геометрических построений, можно добиться при использовании вычислительной техники именно при работе с пространственными объектами.

Пространственные объекты формируются (составляются) из отсеков различных поверхностей. Каждая поверхность задается определителем, который, как известно, имеет геометрическую и алгоритмическую часть. Если для задания поверхности можно сформировать определитель или записать ее уравнение (формализовать задание поверхности), то такая поверхность называется регулярной.

Алгоритмические части обычно определяют отдельные команды графической системы, отвечающие за создание регулярных поверхностей. Для каждой такой команды необходимо задать графические объекты, необходимые для ее выполнения. Эти объекты и составляют геометрическую часть определителя, хотя в графических системах термин «геометрическая часть определителя» не используется.

Рассмотрим примеры автоматического построения каркасов отсеков некоторых поверхностей.

На рис. 455 слева показана плоская кривая линия, составленная из двух дуг и отрезка прямой линии. Эта кривая выполняет роль элемента геометрической части определителя поверхности параллельного переноса, каркас которой показан в центре, а справа — проекция с учетом видимости.

На рис. 456 показаны этапы формирования более сложной поверхности параллельного переноса, имеющей прикладное значение.

В качестве примера построения поверхности вращения на рис. 457 показаны ортогональные проекции и аксонометрия каркаса гиперболоида, образованного вращением прямой линии вокруг оси, не лежащей с ней в одной плоскости. По сравнению с поверхностями конуса вращения и кругового цилиндра, эта поверхность не так проста для понимания,

а процесс построения проекций гиперболоида вращения традиционными ручными методами достаточно сложен.

При задании поверхности вращения указывается угол поворота образущей вокруг оси, который не должен превышать 360°. Если задать угол меньше 360°, будет построен отсек поверхности.

Для задания винтовой поверхности, кроме угла поворота образующей вокруг оси, необходимо задать коэффициент пропорциональности между линейным смещением образующей вдоль оси и углом ее поворота. Угол поворота для винтовой поверхности может превышать 360°. На рис. 458 представлена аксонометрическая проекция винтовой поверхности.

Некоторые графические системы име-

строить поверхности по заданным аналитическим уравнениям, достаточно сложно создать модель, например, поверхности Мебиуса.

На рис. 459 представлен частный случай поверхности Мебиуса, когда замкнутой направляющей служит окружность. Параметрические уравнения такой поверхности имеют следующий вид:

V

X=(R + Uco&-)cosV,

V

Y=(R + Ucos —) sin V,

V Z= Usin 2

где V — угловой параметр, фиксирующий точку на окружности, а также удвоенный угол наклона прямолинейной образующей к плоскости окружности,

O^V^ln;

U — линейный параметр, определяющий точку на образующей, —15<Г/<-(-15;

R — радиус окружности.

§ 100. КОМПОНОВКА И ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

Формирование сложного пространственного объекта из отдельных, ранее созданных и сохраненных на диске его частей, заключается в последовательном их присоединении друг к другу. В отличие от формирования плоских изображений, эта

процедура требует от пользователя постоянного контроля правильности присоединения по всем трем координатам.

Как правило, после выбора присоединяемого объекта его проекция появляется на экране и перемещается за курсором до тех пор, пока пользователь не зафиксирует его положение. Опытные пользователи обычно имеют постоянно пополняемую библиотеку графических элементов, из которых формируют различные объекты. Таким образом, процесс компоновки пространственных объектов чем-то напоминает работу с виртуальным «конструктором», при которой нужный объект «строится» из отдельных, возможно повторяющихся, деталей. Пример сформированного таким образом объекта представлен на рис. 460.

На рис. 461 представлена аксонометрическая проекция трех известных пересекающихся поверхностей. Если учесть, что для задания такого объекта потребовалось около трех минут, можно представить, каким эффективным помощником может служить простая графическая система при изучении курса начертательной геометрии.

Построение проекции пространственного объекта на экране дисплея представляет собой известную процедуру «3D=>2D», при которой с помощью определенной функции производится преобразование трехмерных координат точек объекта в двухмерные координаты проекций.

В § 64 и 74 приведены примеры таких функций для получения центральной и параллельной ортогональной проекции. Благодаря простоте функций преобразования координат и быстродействию современных ЭВМ, проекции даже очень сложных и насыщенных объектов строятся практически мгновенно. Это позволяет, динамично меняя параметры проецирования, создавать различные эффекты.— облет объекта, его вращения и т. п.

Отдельным важнейшим вопросом является обеспечение наглядности и реалистичности получаемых изображений на экране дисплея.

Первым шагом в этом направлении является удаление невидимых линий. В настоящее время существует большое количество способов построения проекций пространственных объектов, обеспечивающих решение задачи видимости. Они подробно рассмотрены в многочисленных учебниках по машинной графике, и даже их краткий обзор может занять несколько страниц текста. Тем не менее, в основе практически каждого из них лежит метод конкурирующих точек при определении видимости, описанный в начале учебника (§ 12).

Для повышения наглядности создаваемого изображения используют тонирование — цветовыми оттенками различной интенсивности «заливаются» участки по-

Рис. 461

верхности объектов. Самым простым способом выбора уровня интенсивности цвета для участка поверхности является вычисление угла отклонения вектора нормали к участку от направления на источник света. Затем для найденного угла подбирается наиболее подходящий уровень интенсивности или яркости.

Следующими шагами повышения реалистичности создаваемых изображений являются создание бликов, учет нескольких точечных источников света, построение собственных и падающих теней (гл. 17), моделирование фактуры материала, из которого выполнен объект или отдельные его части.

Наличие трехмерной модели геометрического объекта и возможности построения любых его проекций с удалением (либо нанесением другим типом линии) невидимых линий позволяет сделать автоматическим создание необходимой проектной документации, включая построение стандартных видов, разрезов, сечений, аксонометрических и перспективных проекций. При таком уровне проектирования отпадает необходимость использования «твердых копий» — чертежей на бумаге, кальке и т. п., и в настоящее время использование электронных носителей проектной документации достаточно распространенное явление в практике работы многих проектных фирм.

Для первоначального знакомства и освоения изложенных принципов формирования графических объектов наиболее подходящей (с точки зрения авторов) является графический редактор PROTOCad. Это небольшая простая в освоении и эксплуатации система трехмерной машинной графики требует минимальных вычислительных ресурсов (она устойчиво работает даже на давно не производимых процессорах 386 серии под управлением

К РАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Начертательная геометрия, основная задача которой состоит в изучении методов изображения пространственных фигур на плоскости, возникла из практических потребностей человека. Запросы точного естествознания, техники, промышленности и искусства способствовали развитию этой науки.

Необходимость изображать окружающие и вновь создаваемые предметы появилась на заре человеческой культуры. Так, развитие письменности связано с такой ее формой, когда мысли о предметах выражались изображением самих предметов.

Прежде чем научиться описывать предметы словами, человек рисовал их. Рисунки и были первыми прототипами чертежей. Потребность в изображении реальных объектов была вызвана, таким образом, стремлением облегчить общение людей друг с другом в процессе производства материальных благ.

Еще в глубокой древности было установлено, что основой для построения изображений, отвечающих определенным условиям, является проекционный чертеж. Примерами использования проекционных методов служат рисунки на граните, сохранившаяся стенная живопись, изображения в папирусах. Содержание древней росписи на китайском шелке и на стенах пещерных храмов Аджанты в Индии веема разнообразно. Но в основе каждого из этих памятников лежит изоб-

MS DOS). При этом эта система позволяет формировать достаточно сложные плоские и трехмерные объекты.

К тому же система PROTOCad распространяется фирмой-производителем

— TRIUS, Inc бесплатно, ее установочные файлы используют небольшой объем дискового пространства и легко могут быть получены в Интернет по адресу http://www.triusinc.com.

ражение реальных предметов трехмерного пространства на плоскости.

Попытку научного обоснования перспективы как центральной (конической) проекции делает Евклид (III в. до н. э.). Его «Оптика» содержит рад аксиом и теорем об условиях «видения» предметов. «Десять книг об архитектуре» римского зодчего Витрувия (вторая половина I в. до н. э.) показывают, что обязательными составными частями архитектурного проекта тех времен должны были быть план и фасад здания. В сочинениии Витрувия имеются также некоторые правила практического построения перспективы. В частности, без теоретического доказательства приводится утверждение о точке схода горизонтальных линий.

В эпоху средневековья сколько-нибудь заметного движения вперед в области совершенствования проекционных методов не произошло. Развитие производительных сил в этот период было сковано путами феодальных производственных отношений. Власть церкви, схоластика и теология никак не могли способствовать прогрессу науки.

Возрождение наук и искусств в Европе, связанное с ломкой устоев отживающего феодализма, вызвало новый расцвет геометрии.

Ряд блестящих умов этой эпохи, в числе их Леонардо да Винчи (1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (1471 —

1528), создали основы теории перспективы. В «Трактате о живописи», который был составлен после смерти Леонардо из его разрозненных заметок, изложена теория реалистического искусства эпохи Возрождения. Значительное место в этом труде уделено учению о линейной и воздушной перспективе, пропорциях, геометрической теории пропорций, которая служила основой объемно-пространственной композиции сооружений.

Дальнейшему формированию научной

вы» и «О конических сечениях», имеющие совершенно общий проективно-геометри- ческий характер. С работами Ж. Дезарга

ние тех свойств плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки.

Много примечательного в развитие проекционных методов внесли талантливые представители народов нашей страны.

О методах изображения в допетровской Руси позволяют судить иллюстрации в рукописных и печатных книгах, фрески, геометрические чертежи на глиняных плитках — «вавилоны» для расчета пропорций в строительном деле, планы и рисунки городов. Эти памятники и документы свидетельствуют о самобытности проекционных методов, об их непрерывном совершенствовании.

В середине XVI в. И в а н Г р о з н ы й , проводя прогрессивную политику централизации Руси, осуществил сбор географических материалов. К 1570 г. был создан «Чертеж» Московской Руси. До наших дней, к сожалению, сохранились лишь копии текста пояснений к этому «Чертежу».

Появление в России в XVII в. передовых для того времени промышленных предприятий привело к созданию и распространению производственных чертежей, ибо без них было немыслимо изготовление предметов определенного вида и размеров.

шенстве владея проекционными методами, до тонкости зная чертежное искусство, Петр установил единые правила выполнения чертежей в точном масштабе. Подготовка специалистов-чертежников была сосредоточена в Московской Инженерной школе. В это же время издается ряд учебников по черчению, например пособие «Приемы циркуля и линейки» (1725 г.).

Все это позволило развернуть в стране значительные по объему картографические работы по созданию атласов рек, морей и русских территориальных владений в Сибири. В 1701 г. выпускается «Чертежная книга городов и земель Сибири», составленная С е м е н о м Р е м и -

зо в ы м .

Овысокой графической культуре и совершенстве применявшихся в России методов изображения свидетельствует и чертеж корпуса корабля, выполненный Пет-

ром I. Этот документ, показывающий, что автор его был незаурядным графиком, хранится и поныне в Русском

музее. Сохранился и другой собственноручный чертеж Петра I — первый план адмиралтейства, дающий отчетливое представление о деталях сооружения. Во второй половине XVIII в. рост всей экономики содействовал и культурному и техническому подъему страны. Изучение чертежей, проектов, выполненных в этот период, позволяет утверждать, что искусство проектирования и техника выполнения конструктивных чертежей в России достигли высокого совершенства. Приме-

П о л з у н о в (1728—1766). Созданный

в1763 г. чертеж паросиловой установки показывает, что автор его умело использовал разрезы для выявления на чертеже конструктивных особенностей своего изобретения.

Многочисленные конкретные примеры безукоризненного владения проекционными методами и искусного оформления проектов дает нам графическое наследие ве-

величественные сооружения сохраняют и поныне значение драгоценных памятников русской классической архитектуры. В их числе возведенный по проекту А. Н. Воронихина Казанский собор — национальный памятник победоносной Отечественной войны 1812 г., знаменитый «дом Паш- кова»—.шедевр русской архитектуры, созданный В. И. Баженовым. Теперь в этом доме находится Библиотека им. В. И. Ленина. Из множества зданий, построенных М. Ф. Казаковым, выдающимися являются Петровский дворец, где в настоящее время размещается Военно-воздушная академия, и здание бывшего Сената в Московском Кремле (ныне здание СМ и ВС СССР).

К концу XVIII в. проекционные методы уже имели свою многовековую историю. Однако единого метода изображения объемного тела на плоском чертеже разработано еще не было. Исторически назрела задача научного обобщения накопленного и чрезвычайно разрозненного материала по графическим методам изображения. Развитие промышленности и связанное с ним разделение труда настоятельно требовали создания единой теории изображения, строгой систематизации правил выполнения чертежей — документов, обеспечивающих четкую передачу замыслов зодчего, инженера, проектировщика исполнителю. Эта задача была успешно решена замечательным французским ученым и активным участником Великой француз-

трудах Монж свел в стройную научную систему весь накопленный развитием науки и техники в ряде стран материал по ортогональному проецированию.

В своем классическом произведении «Geometrie descriptive» («Начертательная геометрия»), опубликованном в 1798 г., Монж разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе, содержащем ортогональные проекции трехмерного тела, решать различные стереометрические задачи. Им была создана абстрактная геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трехмерного пространства ставятся в соответствие две ее ортогональные проекции на взаимно перпендикуляр-

ные плоскости. Проекционный чертеж, построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом инженеров, архитекторов и техников всех стран.

Г. Монж первый перешел от изучения геометрии на плоскости к глубокому исследованию геометрии в пространстве. Он вошел в историю науки и техники не только как основатель начертательной геометрии, но и как автор теории образования поверхностей, методов интегрирования уравнений с частными производными'первого порядка. Значительны заслуги Монжа и в других науках: химии, металлургии, оптике. О захватывающе интересной и полной приключений жизни Г. Монжа можно прочитать в книге В. Демьянова «Геометрия и марсельеза» (М.: Знание, 1979).

Со времен Монжа начертательная геометрия завоевала себе достойное место в технической школе всех стран.

История начертательной геометрии в России неразрывно связана с деятельностью Института корпуса инженеров путей сообщения, основанного в Петербурге в 1809 г. Под непосредственным влиянием Института формировалась и русская школа начертательной геометрии.

К моменту, когда курс начертательной геометрии был введен в программы других учебных заведений, Институт корпуса инженеров путей сообщения уже подготовил достаточно? опытных и квалифицирован-

стьянов был назначен репетитором по начертательной геометрии. В 1818 г. он начинает самостоятельное чтение курса на русском языке и в 1821 г. издает первый русский учебник по этой дисциплине —

28-летнего Я. А. Севастьянова была достойно отмечена присвоением ему звания профессора.

Необходимо заметить, что в то время преподавание в Институте корпуса инженеров путей сообщения велось только на французском языке и Севастьянову пришлось приложить г^ного сил для того, чтобы осуществить свое, по тому времени смелое, нововведение, ломающее установившиеся традиции. Автор первого печатного курса начертательной геометрии на русском языке успешно справился и с вставшей перед ним задачей создания русской терминологии этой учебной дисциплины. В целом предложенная Севастьяновым терминология используется и поныне. Но не только этим мы обязаны талантливому ученому и педагогу. Основоположник начертательной геометрии в нашей стране Я. А. Севастьянов в своих исследованиях всегда стремился теоретическую работу направить на решение практических задач.

Об этом свидетельствуют его труды: «Начальные основания разрезки камней» (1818), «Приложение начертательной геометрии к воздушной перспективе, к проекции карт и гномонике» (1831). Научное наследие Я. А. Севастьянова, органиче-

XIX в. особое развитие получает проективная геометрия, о предмете которой в общих чертах было сказано выше. Проективная геометрия позволила установить значительно более широкий взгляд на круг задач начертательной геометрии, обобщить проекционные методы, создать новые рациональные способы решения позиционных задач. Проективная геометрия способствовала глубокой разработке теоретических основ начертательной геометрии. Анализ всех построений, применяемых в методе ортогональных проекций, показал, что многие из них являются частными случаями аффинных преобразований плоских фигур. Использование свойств аффинного соответствия позволило создать стройную теорию аксонометрических проекций, вскрыть геометрическую сущность основной теоремы аксонометрии.

щенные методу проекций с числовыми отметками и аксонометрии.

Большое влияние на развитие методов преподавания начертательной геометрии в России оказала педагогическая и научная работа профессоров Н. И. М а к а р о в а (1824—1904) и В. И. К у р д ю м о в а (1853 —1904).

Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения В. И. Курдюмов положил начало научному преподаванию начертательной геометрии. До Курдюмова курсы начертательной геометрии представляли собой в большинстве своем только собрание решений различного рода задач. Основы систематизации этих задач и принципиальная сущность их решения в предшествующих курсах почти не освещались. Для В. И. Курдюмова задачи являются лишь средством иллюстрации основных теоретических положений. Читая лекции не только по начертательной геометрии, но и по строительному искусству, В. И. Кур-