Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

Рис. 332

в точке А\, определяет перспективу горизонтальной проекции точки А. Условимся точку А\ называть в т о р и ч н о й п р о е к - ц и е й точки А (первичной считается Ai)- На плоскости Л/ перспектива точки и ее вторичная проекция принадлежат одной вертикальной прямой. Объясняется это тем, что прямая А'А\ представляет собой линию пересечения двух вертикальных плоскостей: картины П' и лучевой а.

Лучевая плоскость расположена в пространстве вертикально, потому что проходит через перпендикуляр АА\ к плоскости Mi. Покажем теперь, что перспектива точки и ее вторичная проекция однозначно определяют положение точки в пространстве. Пусть на рис. 332 заданы точки А',

первичную проекцию А\. Восставив в полученной точке А1 перпендикуляр к IIi, находим его пересечение с лучом S/4'. Это и будет искомая точка пространства А.

§ 68. СИСТЕМА ПЛОСКОСТЕЙ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ

В настоящем параграфе ознакомимся с аппаратом линейной перспективы, которым будем пользоваться в дальнейшем.

Прежде всего рассмотрим четыре плоскости ГГ, П1, N и Г (рис. 333). Первая из них II'— вертикальная плоскость картины; на ней строят перспективное изобра-

N проходят через точку зрения S соответственно параллельно П' и П|. Горизонтальная плоскость/" называется п л о с к о -

Плоскости Г и П' пересекаются по гори-

Ли

сти. Луч SP-LI1', находясь в горизонтальной плоскости Г, пересечет картину в точ-

ны. Основание Si перпендикуляра, опу-

дальности), расположенными на линии го-

часть пространства перед зрителем за картиной — п р е д м е т н ы м пространством, а пространство позади наблюдателя называют м н и м ы м .

Для построения перспективы необходимо знать положение точки зрения S относительно плоскостей П' и II].

§ 69. ПЕРСПЕКТИВЫ ТОЧЕК, РАСПОЛОЖЕННЫХ В РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТЯХ ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрим точку.Л в предметном пространстве (см. рис. 333) и проследим за тем, как будут изменяться положения ее перспективы и вторичной проекции при движении самой точки Л вдоль проецирующего луча 5Л. Пусть точка переместится из положения А в А1. Ее перспектива останется по-прежнему в точке А'. Что же касается вторичной проекции, то она сместится вертикально вверх на Дг. По мере дальнейшего удаления точки А от плоскости картины ее вторичная проекция будет приближаться к линии горизонта, так как угол наклона луча, определяющего вторичную проекцию, при таком перемещении уменьшается ( ф г < ф , ) . В пределе, когда точка А удалится в бесконечность, угол ф

нии горизонта. Этот очень важный вывод не раз будет использован в дальнейшем.

Сопоставляя положение точек Л и Л1 относительно плоскости картины с их вторичными проекциями, заключаем, что чем ближе точка к картине, тем меньше расстояние от ее вторичной проекции до основания картины. Если две точки (Л и В) равноудалены от плоскости картины, то их вторичные проекции находятся на одинаковом расстоянии от основания картины (см. рис. 333).

Действительно, в этом случае прямая Л|В] параллельна основанию картины и в

и мнимом (точка Е) пространствах. Вто-

предметного пространства могут быть расположены только между основанием картины и линией горизонта (см. рис. 333). Наконец, на основании картины находятся вторичные проекции точек, лежащих на картинной плоскости (например, точка М на рис. 334). Что касается линии гори-

вторичной проекции точки можно установить, в каком пространстве находится данная точка.

Рис. 338

Рис. 339

такой прямой равно" отношению их центральных проекций.

В справедливости этого утверждения можно убедиться, рассмотрев рис. 339, где

плоскости, то перспектива прямой и ее вторичная проекция совпадают.

§71. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Л И Н И Й

1.Параллельные прямые.

Покажем, что перспективы параллельных прямых пересекаются.

Точка пересечения связки параллельных прямых называется точкой схода.

Действительно, рассмотрим построение перспектив параллельных прямых а и Ь,

показанных на рис. 340. Продолжив каждую из прямых до пересечения с картиной, найдем их начала — точки ЛГ и N'. Второй точкой, определяющей искомые перспективы, будет точка F', для построения которой из точки зрения S проводят луч параллельно данным прямым до пересечения с ГГ.

Если же горизонтальные прямые перпендикулярны к картине, то точкой схода их служит главная точка Р (рис. 342).

В дальнейшем, при построении перспективных изображений предметов часто придется строить перспективы параллельных прямых, лежащих в предметной плоскости ГГ. Их точка схода располагается на линии горизонта (рис. 343).

Центральные проекции параллельных прямых могут быть и параллельны, если

Рис. 340

Рис. 300

h

А' „2

Рис. 345

их точка схода окажется несобственной точкой плоскости картины IT. Единственное условие, которому должны удовлетворять такие параллельные прямые, заклю-

чается в том, что они должны быть параллельны плоскости картины.

Этому частному случаю соответствуют прямые, показанные на рис. 344, где обе пары параллельных прямых расположены фронтально (параллельно картине), a KL и MN являются к тому же и вертикальными прямыми.

2. Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.

Если две прямые линии имеют общую точку, то точки пересечения их перспектив

На рис. 346 представлены две скрещивающиеся прямые, где точке пересечения перспектив соответствуют две различные точки £ и С, первая из которых принадлежит прямой а, вторая — прямой Ь.

§72. ВЫБОР ТОЧКИ И УГЛА ЗРЕНИЯ . ОРИЕНТИРОВКА КАРТИНЫ

Для того чтобы обеспечить удачное перспективное изображение предмета, рекомендуется руководствоваться следующими правилами, выработанными практикой.

1. Угол между проецирующими лучами, направленными в крайние точки плана предмета — у г о л з р е н и я ф (рис. 347), следует брать в пределах от 18 до 53°. Оптимальное значение угла зрения равно 28°. Если вертикальные размеры предмета больше его длины, то точку зрения S следует удалить от картины на полторы-две высоты предмета, для того чтобы угол зрения в вертикальной плоскости оказался

вдопустимых пределах.

2.Картинную плоскость ориентируют

так, чтобы, во-первых, главная точка оказалась в пределах средней трети угла зрения, и, во-вторых, горизонтальный след III картинной плоскости с одной из сторон плана (чаще всего с главным фасадом) составлял угол от 25 до 30°. Боковой фасад при этом получит сильное перспективное сокращение, и изображение в целом получится более выразительным. Целесообразно, кроме того, картинную плоскость совместить с одним из ребер предмета, которое на перспективной проекции изобразится в истинную величину.

Трудоемкий процесс построения перспективы значительно упрощается, если плоскость картины расположить фронтально.

3. Высоту горизонта обычно принимают на уровне глаз человека, стоящего на земле, т.е. //=1,5...1,7 м. При изображении застройки большого района высоту гори-

«с п т и ч ь е г о п о л е т а » .

§ 73. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ

1. Радиальный метод. Сущность этого метода заключается в определении точек пересечения лучей с картинной плоскостью, поэтому его часто называют м е т о - д о м с л е д а л у ч а .

На рис. 348 показано построение перспективы точки по заданным ее ортогональным проекциям.

Кроме ортогональных проекций точки

Л (Ai, Л2) на эпюре изображены горизонтальный след 11| картинной плоскости ГГ, проекции точки зрения S (Si, S2) и главной точки картины Р (Рi, Рг)-

Построив проекции луча SA (S1Ai и ЗгЛг), определяют точку пересечения этого луча с плоскостью картины. Проекции найденной точки пересечения обозначены через (ЛО | и (ЛОг-

Рядом с эпюром показана совмещенная с плоскостью чертежа картина ГГ, на которой изображены ее элементы (основание, линия горизонта и главная точка Р).

Остается точку пересечения луча с картиной, найденную на эпюре, перенести на перспективный чертеж. Так как положение точки на плоскости определяется двумя координатами, то в качестве таких координат можно принять прямоугольные коор-

Этот отрезок определяет координату z точки пересечения картины и луча, направленного в г о р и з о н т а л ь н у ю п р о е к - ц и ю точки Л (см. эпюр на рис. 348).

Радиальный метод является простейшим методом построения перспективы в том смысле, что его применение не требует знания теории перспективы. Действительно, предмет, точка зрения и картинная плоскость изображались на эпюре. На том же эпюре создавались проекции проецирующих лучей и определялись точки пересечения их с картиной.

Однако применение радиального мето-

да, включающего многократное повторение одних и тех же построений, требует много времени и не обеспечивает должной точности. Достаточно сказать, что для построения перспективы отрезка прямой необходимо проделать десять элементарных операций, под которыми здесь следует понимать проведение прямой по линейке и построение отрезка, равного данному, с помощью циркуля. Радиальный метод оказывается рациональным при построении перспективы предмета, в плане которого имеется много не п а р а л л е л ь н ы х между собой линий.

2. Метод архитекторов. В практике работы архитектурных мастерских широко применяется метод построения перспективных изображений с использованием точек схода параллельных прямых. Этот метод принято называть м е т о д о м а р х и - т е к т о р о в .

Так как создание перспективы предмета рекомендуется начинать с его вторичной проекции, то сущность рассматриваемого метода может быть показана на примере построения перспективы фигуры, расположенной на горизонтальной плоскости.

Ортогональные проекции такой фигуры, которую можно рассматривать как план некоторого здания, представлены на рис. 349. На том же эпюре изображены горизонтальный след картинной плоскости, проекции точки зрения и главной точки

р (Ро).

Замечая, что линии контура плана могут

но параллельных прямым направлений / и

//. Лучи SF1 и SF2, будучи параллельными прямым, расположенным в горизонтальной плоскости, пересекут картину в точках, лежащих на линии горизонта h (рис. 350). При построении перспективы без

иP0F1 (см. рис. 349) *.

Вкачестве вторых точек для построения перспективы каждой из прямых контура рекомендуется использовать характерные точки, в которых эти прямые пересекают

до пересечения с одноименным следом П{ картины. Так найдены точки No, JVO, JVO, Nо и Nо, расположенные на основании картины.

Перенос этих точек с эпюра на картину можно проделать с помощью полоски бумаги, которую следует приложить прямолинейной кромкой к следу Ш картины и отметить на кромке точки No, No, No, No, Nо и Ро. Эту полоску бумаги переносим на рис. 350 и совмещаем ее кромку с основанием О1 — О2 картины так, чтобы точка Ро на полоске совпала с той же точкой на основании.

Остается построить перспективы прямых, пересечение которых определит вершины заданного контура. Так, точка пересечения перспектив прямых NoF2 и NlF' представляет собой перспективу точки 3. Аналогично найдены и остальные точки. Итак, каждая точка плоской фигуры определяется пересечением прямых, принадлежащих двум различным пучкам параллельных линий.

Следует отметить, что в качестве второй точки для построения перспективы прямых не обязательно брать их начала. На рис. 351 и 352 дано построение перспективы того же контура в такой последовательности:

, 1) на линии горизонта картины (рис. 352) отмечают точки схода F1 и F2 пучков параллельных прямых направлений / и //; причем, как и ранее, отрезки PF1 и PF2 на рис. 352 равны соответственно отрезкам PoF\ и PaF] (рис. 351);

2)на основании 0х — О2 картины (рис.

352)определяют положение перспективы точки 1 (I|, h ) , через которую проходит картинная плоскость. Для этого от основания главной точки картины — точки Ро — отложен вправо отрезок Polo, равный отрезку Polo на эпюре;

3)так как через точку 1 (Л, /2 ) проходят две линии различных пучков, то ее перспективу Iх соединяют с точками Fx и F2;

4)следующая точка 2 (21, 2г) располо-

жена на прямой / — 2 первого направления, перспектива которой уже построена; для создания перспективы точки 2 в нее направляют из точки зрения луч (рис. 351) и отмечают точку пересечения горизонтальной проекции этого луча с одноименным следом П1 картины — точку 2». Этой точке на основании картины будет соответствовать так же обозначенная точка 20. Естественно, что отрезки Ро2о на рис. 351 и 352 равны;

5) через точку 2о (рис. 352) проводят вертикальную прямую, которая, пересекаясь с ранее построенной прямой l'—F', определяет положение перспективы точки 2 — точку 2'.

В такой же последовательности получают перспективы и остальных точек.

Описанный путь построения перспекти-

ить перспективу плана в случае, когда точки пересечения некоторых прямых с картиной оказываются за пределами чертежа.

Закончив построение вторичной проекции, следует перейти к изображению самого предмета.

На рис. 353 даны ортогональные проекции двух геометрических тел, план которых тождествен ранее рассмотренной фигуре. Не повторяя объяснений, относящихся к построению вторичной проекции, опишем процесс создания перспективы предмета.

Отметим только, что построение перспективы предмета (как и его вторичной проекции) в данном случае проведено с увеличением всех линейных размеров на картине в п раз. Это значит, что расстояние между основанием картины и линией горизонта на рис. 354 равно не Н, как на рис. 353, а пН. Отрезки PF] и PF2 рис. 354 в п раз больше тех же отрезков на эпюре и т. д.

На рис. 354, после того как была начерчена вторичная проекция, построение перспективы осуществляем в такой последовательности:

1)через все вершины вторичной проекции (точки / ' , 2', 3' и т. д.) проводим вертикальные прямые;

2)от точки 1' на проходящей через нее вертикали отложим отрезок 1'А' длиной

осПп'

вы вертикальных ребер длиной Нз, проходящих через точки 3'\ 4'; 5' и 6', нужно через любое ребро провести вертикальную плоскость а и построить линию пересечения плоскости а с картиной П' (af|IT); затем, отложив на этой прямой от основания картины отрезок NоЛ/1, равный заданной высоте Нз (с учетом масштаба), нужно провести в плоскости а горизонталь заданного уровня Нз до пересечения с перспективой взятого ребра. Так, на рис. 354 через вертикальную прямую, определяемую точкой 4', проводим плоскость а, которая в данном случае совпадает с задней левой гранью предмета; прямая NoF2 представляет собой перспективу горизонтального следа плоскости а; на прямой

(в нашем случае с учетом масштаба пНз)\ соединив точки N' и F2, получим перспективу горизонтали уровня Нз, пересечение которой с вертикальной прямой, проходящей через точку 4', определяет точку Е'. Этим и завершается процесс построения перспективы ребра 4' — £ ' , несовмещенного с плоскостью картины;

5) используя попеременно то левую, то правую точки схода, проводим верхние горизонтальные ребра E'G' и G'K' видимых граней прямоугольного параллелепипеда;