Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

4) из точки / ' радиусом У—L описать полуокружность, которая пересечет А'В'

вточках М и N; эти точки делят отрезок А'—Г и равный ему отрезок /'—В' в отношении 3:7;

5)через точки М и N провести прямые, параллельные боковым сторонам параллелограмма, и отметить точки Е', F', О' и Н', расположенные на диагоналях;

6)построить касательные к эллипсу в найденных точках. Две касательные параллельны диагонали А'С', две другие параллельны B'D'.

Получив восемь точек и столько же касательных, можно с достаточной точностью вычертить эллипс.

Втом частном случае, когда параллельной проекцией квадрата, описанного около окружности, является ромб, оси эллипса совместятся с диагоналями ромба. В общем же случае построение осей эллипса, вписанного в параллелограмм, связано с определением главных направлений двух совмещенных плоских полей, находящихся

вперспективно-аффинном соответствии.

Покажем, что для любого аффинного преобразования плоскости существуют такие два взаимно перпендикулярные так называемые г л а в н ы;е н а п р а в л е - н и я , которые переходят снова во вваимно перпендикулярные.

Пусть даны ось родства 0\02 и родственные точки С и С' (рис. 316). Требуется провести через точку С' две взаимно перпендикулярные прямые так, чтобы и родственные им прямые были ортогональны. Другими словами, нужно построить четырехугольник C M C N , углы при точках С' и С которого должны быть прямыми, а вершины М и N должны принадлежать прямой 0|0г.

Известно, что около четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180 можно описать окружность. Прямые углы при вершинах С' и С должны опираться на общий диаметр MN. Значит, центр описанной окружности находится на оси родства.

Положение этого центра О определяется пересечением оси родства и перпендикуляра РО, восставленного к отрезку С'С в его середине. Далее, проведя окружность радиусом ОС, находим точки М и N, в которых она пересекает ось родства. Соединяя М и N с С', получим искомые прямые. Действительно, прямые МС' и NC' перпендикулярны, так как угол, образованный ими, опирается на диаметр. По той же причине перпендикулярны' и прямые МС и NC.

Если точка С является центром окружности т, то двум диаметрам АВ и EF этой окружности можно поставить в соответствие два взаимно перпендикулярных диаметра А'В' и E'F' эллипса т'.

Такие диаметры эллипса называются его осями. Построение осей А 'В' и E'F' эллипса дано на том же рис. 316. Теперь рассмотрим определение осей эллипса, который нужно вписать в данный параллелограмм Q'R'S'T' (рис. 317).

Прежде всего построим квадрат QRST, родственный заданному параллелограмму.

Для упрощения чертежа ось родства 0\02 совмещаем со стороной ST. Проведя диагонали в параллелограмме и квадрате, находим родственные друг другу точки С и С'. Остается построить окружность,

проходящую через эти точки и имеющую центр на оси родства 0\02, т. е. дальнейшие графические построения по существу ничем не отличаются от построений, связанных с определением главных направлений.

§ 66. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

» Переход от ортогональных проекций предмета к аксонометрическому изображению рекомендуется осуществлять в такой последовательности:

1. На ортогональном чертеже размечают оси прямоугольной системы координат, к которой и относят данный предмет. Оси ориентируют так, чтобы они допускали удобное измерение координат точек предмета. Например, при построении аксонометрии тела вращения одну из координатных осей бывает целесообразно совместить с осью тела.

2. Строят аксонометрические оси с таким расчетом, чтобы обеспечить наилучшую наглядность изображения и видимость тех или иных точек предмета.

Практика построения аксонометрических проекций показывает, что лучшие по

шой ширине предмета коэффициент искажения по оси у необходимо увеличивать.

Хорошие результаты по наглядности да-

ет также прямоугольная диметрия с соотношением коэффициентов искажения 1:0,5:1.

Из косоугольных аксонометрических проекций широко применяются фронтальная диметрия (П'ЦПг) и горизонтальная изометрия (П'|| Hi) вследствие простоты их построения. Как отмечалось выше, фронтальные проекции не искажают формы фасада, а горизонтальная изометрия сохраняет без изменения все контуры плана.

3. По одной из ортогональных проекций предмета чертят вторичную проекцию.

На какой координатной плоскости целесообразно строить вторичную проекцию? Решать этот вопрос следует, исходя только из сравнительной простоты графических построений. Вычерчивать рекомендуется ту вторичную проекцию предмета, которая проще других.

Если же на аксонометрическом чертеже предстоит показать тени, то вторичную проекцию обычно строят на горизонтальной плоскости.

4. Создают аксонометрическое изображение.

Масштабы ортогонального и аксонометрического чертежа могут быть различными. Так, при построении прямоугольной диметрии детали {u:v:w= 1:0,5:1) все линейные размеры ее вдоль осей х' и z' могут быть увеличены или уменьшены в п раз, но тогда размеры в направлении оси у должны быть соответственно увеличены или уменьшены в 0,5 п.

Итак, процесс вычерчивания аксонометрического изображения предмета рекомен-

фигуры, являющейся видом данного предмета сверху или спереди. Поэтому прежде всего рассмотрим примеры построения аксонометрии фигур, расположенных в плоскостях проекций.

Пример 1. Построить прямоугольную изометрическую проекцию правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 318).

В этом случае за оси координат следует принять оси симметрии шестиугольника — х и у. Для построения изометрической проекции от начала аксонометрических осей — точки О' по оси х' отложены отрезки О'А' = 0'D' = ОА (коэффициенты ис-

кажения по всем осям приняты равными единице).

Замечая, что оставшиеся вершины попарно симметричны относительно осей координат, от точки О' по оси у' откладывают отрезки О'—/' и О'—2', равные друг другу и отрезкам О—/ и О—2.

Через точки Г и 2' проводят прямые, параллельные оси х', на которых остается определить положение точек В', С', Е', F', что и сделано с помощью равных отрезков l'-B', Г—С', 2'—Е', 2'—F', длины которых соответствуют координате х вершин В, С, Е и F шестиугольника.

Пример 2. Построить прямоугольную диметрическую проекци^о кривой т, расположенной в плоскости хОг (рис. 319).

Аксонометрическую проекцию плоской кривой строят по координатам отдельных точек. Так, на заданной кривой т были намечены точки 1,2, 3 и т. д. и определены их прямоугольные координаты. Переходя к аксонометрическому чертежу, -следует учитывать коэффициенты искажения. В нашем случае u=w— 1, а потому аксонометрические координаты каждой точки кривой равны прямоугольным.

Перейдем к построению аксонометрии объемных предметов.

Пример 3. Построить прямоугольную изометрическую проекцию усеченной шес-

тиугольной призмы со сквозным прямоу-

так чтобы их начало оказалось в центре основания призмы.

Опустим описание процесса построения вторичной проекции призмы, иначе придется дословно повторить текст первого примера, в котором был построен правильный шестиугольник.

Отметим лишь, что две линии невидимого контура А\В\ и C\D'i соответствуют сквозному прямоугольному отверстию. Следующий этап работы — создание аксо-

проводят вертикальные прямые, на которых затем откладывают отрезки, равные

так, чтобы обеспечить соответствие между ортогональным и аксонометрическим изображениями призмы.

На рис. 320 это взаимно однозначное соответствие иллюстрируется точками А и Е и отрезком, который их соединяет.

Пример 4. Построить прямоугольную диметрическую проекцию узла железобетонной колонны (рис. 321).

На ортогональном чертеже оси координат располагаем так, чтобы узел оказался

в одном из нижних октантов. Такая ориентировка узла дает возможность показать примыкание балок к колонне и плите. При построении вторичной проекции и аксонометрии узла линейные размеры вдоль осей х' и г' удваивались, а в направлении оси у' — сохранялись без изменения. Тем самым было выполнено условие, которому в случае прямоугольной диметрии должно удовлетворять отношение коэффициентов искажения: u:v \w— 1:0,5:1.

На примере точки Е можно проследить за переходом от ортогонального чертежа к аксонометрическому.

Аксонометрическое изображение узла на рис. 321 несколько смещено книзу. Оно оторвано от вторичной проекции с той лишь целью, чтобы сохранить на чертеже последовательные этапы построения.

Пример. 5. Построить прямоугольную диметрию цилиндра, в котором имеется сквозное треугольное отверстие (рис. 322).

Начало координат совмещаем с центром нижнего основания, а ось г с осью цилиндра. В данном случае вторичную проекцию целесообразно построить на координатной плоскости x'O'z', так как для

этого потребуется провести только прямые линии. Такой проекцией служит параллелограмм A'zB'iC'iD'i и треугольник E2F2G2. Для того чтобы придать чертежу большую наглядность, цилиндр изображен с вырезом одной четверти.

Не останавливаясь на вычерчивании эллипсов — контуров верхнего и нижнего оснований цилиндра, рассмотрим построение одной из точек N' эллиптической дуги, по которой наклонная плоскость треугольного отверстия пересекает цилиндрическую поверхность.

Аксонометрическую проекцию N' точки N можно найти с помощью ортогонального чертежа и независимо от него.

В первом случае на ортогональных проекциях определяют две прямоугольные координаты Хн и ун этой точки. Затем с помощью координаты х\ на прямой E2G2 показывают вторичную проекцию Ы'ъ Наконец, через N'2 проводят прямую, параллельную оси у', и откладывают на ней от точки N'2 отрезок, равный 0,5ум (в данном примере и = 1 : 2 ) . Другими словами, N' строят способом координат.

Та же точка может быть определена пересечением образующей L'M' цилиндра

Рис. 300

Рис. 323

Рис. 324

и горизонтали N W наклонной плоскости отверстия, причем и образующая, и горизонталь должны принадлежать одной плоскости ос, параллельной координатной плоскости у'О'г'. На рис. 322 аналогично найдены и остальные точки кривой на-

Проецирующие лучи, с помощью которых создается аксонометрия шара, обра-

гольном направлении проецирования по эллипсу.

В этом примере картинная плоскость перпендикулярна к образующим проецирующей поверхности и очерком проекции шара является окружность. Ее радиус равен радиусу шара.

На рис. 323 для придания изображению объемности показаны сечения шара координатными плоскостями, а '/» шара, расположенная в первом октанте, предполагается удаленной.

При построении сечений — трех равных эллипсов — на осях координат откладывались отрезки, равные 0,82R (R — радиус шара). Увеличение этих отрезков до R потребовало бы увеличения во столько же раз (в 1,22 раза) радиуса окружности, которая является очерком аксонометрической проекции шара.

Пример 7. Построить косоугольную диметрическую проекцию кулачковой полумуфты с вырезом одной четвертой части ее (рис. 324) *.

Так как в этом случае плоскость аксонометрических проекций параллельна фронтальной плоскости Пг, то все грани детали, параллельные Пг, в аксонометрии изобразятся без искажения. Начало координат целесообразно расположить в одной из точек оси полумуфты. Пусть это будет точка О, расположенная в плоскости, от которой начинается шпоночная канавка. Центры остальных окружностей смещены вдоль оси у' от начала координат. Смещение каждого центра определяется его координатой у, уменьшенной вдвое (коэффициент искажения по оси у{ равен 0,5). Для того чтобы построить внешний контур торцовой грани кулачков, нужно на оси у' взять точку С', удаленную от начала координат на расстояние, равное ус/2. Аналогично найдены центры и других окружностей. Чтобы изображение полумуфты получилось более наглядным, выполнен разрез двумя плоскостями, вскрывающий ее внутреннюю форму. Заметим, что построение аксонометрии детали с вырезом '/4 ее целесообразно начинать с создания тех фигур (сечений), которые оказываются расположенными в секущих плоско-

* На рис. 324 и 325 показана левая система координат.

стях. Покажем применение этого способа на следующем примере.

Пример 8. Построить горизонтальную изометрическую проекцию детали, изображенной на рис. 325.

Прежде всего вычерчиваем фигуры сечения детали, расположенные в координатных плоскостях x'O'z' и y'O'z'. В данном случае, когда u = v — w— 1, все размеры в направлении осей координат переносят с ортогонального чертежа без искажения. Недеформированными останутся и все окружности, расположенные в горизонтальных плоскостях. На цилиндре диаметра d (рис. 325) выделена образующая АВ, которая на аксонометрическом изображении детали является одной из очерковых.

Пример 9. Построить прямоугольные изометрические проекции элементов опорного узла деревянной фермы.

На рис. 326, а показан деревянный узел на лобовой врубке из цилиндрических элементов. Для закрепления примыкающего к нижнему поясу верхнего наклонного элемента поставлен стяжной «болт». Горизонтальный элемент нижнего пояса имеет срез, под которым находится подферменный, а ниже настенный брус.

Рис. 325

Для построения наклонного элемента верхнего пояса начало координат возьмем

но на чертеже. Такое расположение наклонного элемента относительно координатных осей позволяет показать на аксонометрическом чертеже плоскости зуба этого элемента видимыми. (Верхний пояс узла будет виден с боковых сторон и снизу.)

Вычертив аксонометрические оси (рис. 326, б), построим в плоскости x'O'z' по ко-

всего элемента. Так, например, по координатам Х2 и 22 построена точка 2'г вторичной проекции этого элемента.

В дальнейшем, используя вторичную проекцию элемента и координаты «у» отдельных точек, принадлежащих кривым линиям, ограничивающим плоскости зуба, построим аксонометрическую проекцию наклонного элемента опорного узла (рис. 326, в). Так, для построения точек А и В использованы координаты </д и ув этих точек.

Очерковые образующие построенного элемента, касающиеся эллипсов, в общем

случае не совпадают с линиями вторичной проекции. На приведенном чертеже гнездо под стяжной болт не показано.

Аналогично выполнено построение и второго — горизонтального элемента узла (рис. 326, г). Для его построения начало координат взято уже в другой точке — О' Следует заметить, что при построении аксонометрии этого элемента его вторичную проекцию можно было расположить в

менного бруса и настенного не приводятся.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. На чем основана классификация аксонометрических проекций?

2.Что называется коэффициентом искаже-

ния?

3.Назовите стандартные аксонометрические проекции.

4.Что представляет собой вторичнар проекция геометрической фигуры?

Рис. 327

Рис. 300

328).

8.Определить координаты точек А и В, расположенных соответственно на поверхности конуса

ицилиндра (рис. 329).

9.Дано аксонометрическое изображение прямоугольного параллелепипеда. Построить

способ изображения тел и плоских фигур, основанный на применении ц е н т р а л ь-

н о г о п р о е ц и р о в а н и я * (см. «Введение»). Для построения перспективы предмета из некоторой точки S (точки зрения) проводят лучи ко всем точкам изображаемого предмета. На пути проецирующих лучей располагают поверхность 11' (карти-

предмета на плоскости (линейная перспектива) .

Изображение предметов при помощи центрального проецирования отличается хорошей н а г л я д н о с т ь ю . Перспектива предмета соответствует (с некоторым приближением) тому, что видит глаз человека, т. е. она передает кажущиеся изменения величины и формы изображаемого предмета, вызванные его расположением и удаленностью от наблюдателя. Объясняется это тем, что процесс зрения в геометрическом отношении тождествен с методом центрального проецирования. Еще на стадии проектирования перспектива позволяет выявить недостатки архитектурной композиции строительного объекта или комплекса и внести в нее соответству-

вателей.

Этому же способствовали и большие возможности современных ЭЦВМ, с помощью которых удается успешно решать задачи автоматизации чертежно-графиче- ских работ, в том числе и построение перспектив.

Работы А. Ф. Бабушкиной, В. С. Полозова, Р. А. Резникова, В. Н. Семенова свидетельствуют о многообещающих результатах применения машинной графики при

ют и само изображение предметов, построенное в соответствии с тем кажущимся изменением их величины и очертаний, которое обусловлено удаленностью предметов от точки наблюдения и их положением в пространстве.

S J L W

Рис. 331

построении перспектив на вертикальной

инаклонной картине.

Библиография, содержащая обширный

перечень статей, опубликованных за последнее время в области теории перспективы, приведена Н. А. Соболевым в работе

[ 1 6 ] .

Поверхность, на которой создают перспективное изображение, может быть и не плоской, а цилиндрической или сфериче-

будет только линейная перспектива на вертикальной плоскости.

При рассмотрении центрального проецирования было установлено, что одна

точке А' на плоскости П' (см. рис. 331) соответствует любая точка проецирующего луча S J4 ' .

Для того чтобы обеспечить взаимную однозначность между точками изображаемого предмета и точками на картинной плоскости (сделать изображение обратимым), поступают следующим образом. Заданную точку А (рис. 332) ортогонально проецируют на горизонтальную плоскость III, перпендикулярную плоскости ГГ, а затем на плоскости картины определяют перспективные , (центральные) проекции как точки А, так и ее горизонтальной проекции А\. На рис. 332 луч, направленный в А,