Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

7. Проведены проекции горизонтали, на которой находится вершина А: фронталь-

проведена прямая, перпендикулярная hi. По этой прямой будет перемещаться горизонтальная проекция А! точки А при обратном вращении плоскости. Горизонтальная проекйия А> вершины А (после обратного поворота) будет получена в пересечении прямой, перпендикулярной hi, с ранее проведенной проекцией горизонтали.

9. В проекционной связи на фронталь-

главное заключалось в том, что через каждую вершину треугольника по плоскости, повернутой до положения уровня, проводили прямые линии — горизонтали плоскости а, с вращения которых и начинали процесс обратного поворота плоскости. Первый этап этого поворота завершали построением проекций горизонталей, а в результате второго этапа на заранее подготовленных проекциях прямых определяли проекции вершин заданной плоской фигуры.

принято называть задачи на построение геометрических фигур, отвечающих наперед заданным условиям.

Значительную часть конструктивных задач удается решить методом « п е р е с е ч е - н и я м н о ж е с т в » , содержание которого в общем виде можно описать следующим образом.

Пусть искомое множество точек М (некоторая геометрическая фигура) должно отвечать ряду условий, ряду характеристических свойств, которым должны обладать элементы этого множества.

чи на отдельные части, на отдельные условия.

Далее следует последовательно определить те множества Mi, М2, ..., Мп, каждое из которых удовлетворяет соответствующему условию или отдельной группе условий и отвечает требуемым характеристическим свойствам.

Наконец, остается определить те и только те элементы, которые принадлежат одновременно каждому из найденных мно-

Графические построения в ряде случаев могут быть упрощены, если проекции некоторых из заданных геометрических фигур подвергнуть специальному преобразованию, повторяющему решение одной из четырех основных задач, рассмотренных выше. Покажем целесообразность таких преобразований на конкретных примерах.

Пример 1. На прямой а определить точки, удаленные от плоскости a (/if|/) на расстояние п мм (рис. 167).

Множество точек Mi, отвечающих первому условию, уже задано — это сама прямая а.

Второму условию будут удовлетворять точки двух плоскостей Р и v. параллельных а и удаленных от а на п мм. Точки этих плоскостей являются вторым множеством М2. Пересечение Mi и М2 даст искомый результат.

Переход от системы плоскостей П2/П1 к П4/П1 был осуществлен с таким расчетом, чтобы в новой системе П4/П1 плоскость а стала проецирующей ( а ± П 4 ) .

Напомним, что для этого необходимо обеспечить ортогональнось плоскости П4 и горизонтали h плоскости а ( П 4 Х Л ) . Расстояние п между параллельными плоскостями

водной плоскости (рис. 168).

Искомая прямая должна быть такой,

чтобы для ее произвольной точки К выпол-

каждому условию порознь. Множество М\ прямых, отвечающих только первому усло-

ния, образующими которого служат заданные прямые.

Построения на эпюре окажутся менее громоздкими, если перейти к новой системе плоскостей проекций, в которой прямые а, Ь и с будут проецирующими. Центр окружности, описанной около трех точек (проекций заданных прямых на плоскость

Рис. 258

115, им перпендикулярную), будет ортогональной проекцией на ту же плоскость искомой прямой т.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какими будут проекции траектории точки, вращающейся вокруг оси х?

2.По трем положениям вращающейся точки определить ось i, около которой вращается точка.

3.Даны прямая I и параллельная ей плоскость а. Каким должно быть положение оси, вращением вокруг которой прямую I можно совместить с плоскостью а?

4.Как следует расположить новую плоскость проекций, чтобы определить расстояние между двумя параллельными фронталями?

5.Каким должно быть положение оси вращения при преобразовании плоскости общего положения в горизонтально проецирующую?

6.Что представляет собой множество точек, равноудаленных отдвух пересекающихся плоскостей? Как построить это множество точек, пользуясь способом замены плоскостей проекций?

ГЛАВА 7

К Р И В Ы Е Л И Н И И

Точку, прямую и плоскость называют элементарными геометрическими фигурами в том смысле, что из них могут быть созданы все остальные геометрические фигуры.

Приняв в качестве элементарной фигу-

сти, катящейся без скольжения по прямой. Эта кривая состоит из ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности (рис. 169).

В некоторых случаях линию удается определить как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех них свойством.

Так, лемниската Бернулли определяется как множество точек плоскости, для которых произведение расстояний до двух точек F| и F2 той же плоскости есть величина постоянная, равная с2, т. е. MF\-MFi = cl (рис. 170).

Если же за элементарную фигуру принята прямая, то всякую линию можно рассматривать как огибающую своих касательных.

Точки кривой линии могут определяться и законом своего движения. В механике уравнения движения точки в координатной форме имеют вид

Давая параметру t различные значения, определяют координаты движущейся точки и таким образом находят ее положение в пространстве. Множество всех этих точек образует некоторую линию, параметрическими уравнениями которой являются уравнения движения точки.

Задание кривой линии уравнениями (7.1) вполне равносильно заданию кривой вектор-функцией одного скалярного аргу-

мента t в определенной области изменения последнего:

Каждому значению t ставится в соответствие вектор r(i)—OM, который откладыва ют от некоторой фиксированной точки О пространства (рис. 171). При изменении параметра t точка М описывает в пространстве кривую пг.

Вектор-функция (7.2) может быть пред-

идругие способы задания кривых.

Не всякую линию удается выразить в

аналитической форме. Тогда ее задают графически на чертеже.

Графически — своим изображением может быть задана и закономерная линия, образование которой подчинено определенным геометрическим условиям.

В начертательной геометрии к р и в ы е л и н и и и з у ч а ю т с я по их п р о е к - ц и я м . Построение проекций линий существенно зависит прежде всего от того, принадлежат ли все точки данной кривой одной плоскости или нет. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая кривая называется п л о с к о й . Примером плоских кривых являются окружность, эллипс, парабола, гипербола, циклоида и др.

Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими

Примером таких кривых служат винтовые линии, имеющие большое применение

втехнике.

Укажем некоторые свойства проекций

плоских и пространственных кривых. Так, если точка А принадлежит кривой

m (рис. 172), то проекция А\ этой точки принадлежит проекции mi кривой.

Секущая и касательная к кривой проецируются соответственно в секущую и касательную к проекции кривой.

Пусть через точку А кривой пг проведена секущая п (рис. 172). Проекция секу-

шей определяется точками А \ и Вi, принадлежащими проекции т\ рассматриваемой кривой. Прямая п\, пересекая проекцию кривой, является по отношению к т\ секущей.

Касательную / можно рассматривать как предельное положение секущей, которое занимает последняя при сближении

ция секущей превратится в касательную t\ к проекции т i кривой.

§ 37. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать на их так называемые х а р а к т е р н ы е точки, к которым относятся особые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскостей проекций и наиболее близкие

кним.

Об ы к н о в е н н о й точкой кривой называют такую точку М (рис. 173), которую

можно заключить в прямоугольник (хотя бы очень малый) так, что попавшая внутрь него часть кривой является простым отрезком *. Все другие точки называются о с о б ы м и (Л и В на рис. 173).

На рис. 174 изображены некоторые из особых точек плоских кривых: 1) узловая точка Л или точка самопересечения (рис. 174, а), в которой кривая имеет две различные касательные; 2) точка возврата первого рода (рис. 174, б), в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, име-

подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенную (вблизи точки С) по одну сторону от обеих ветвей кривой.

На рис. 175 показано, как по заданной фронтальной проекции /2 линии /, принадлежащей плоскости а (Л(1/). может быть построена ее вторая (горизонтальная 1\) проекция.

В основе выполненного построения лежит решение задачи, описанное в § 17, где по фронтальной проекции Аг точки А, принадлежащей данной плоскости, определялась ее горизонтальная проекция А\.

} 38. ПРОЕКЦИИ п л о с к и х

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ Л И Н И Я

Плоской а л г е б р а и ч е с к о й кривой называется кривая, определяемая в де-

ной прямой линией не может быть больше порядка кривой.

Известны линии, число точек пересечения которых с любой прямой всегда меньше порядка этой кривой. Например, линия, определяемая уравнением у = х* (рис. 176), пересекается с любой прямой не

О

Рис. 176

асоставляет с плоскостью 111 угол <р (рис.

177).

Один из диаметров окружности — тот, что параллелен плоскости П>, спроецируется в натуральную величину. Этим диаметром является отрезок АВ. Его проекция AiBi=AB.

Все хорды, перпендикулярные диаметру АВ, сокращаются в cos ср раз. Так MiN\ = MN cos <р. Нетрудно показать, что проекция окружности есть эллипс с большей

то подстановка (7.6) в (7.5) дает

cos о<р

или

где b — a cos <р.

Итак, ортогональная проекция окружности радиуса а есть эллипс с полуосями а и a cos ф.

Аналогично можно доказать, что ортогональной проекцией эллипса является эллипс, гиперболы — гипербола и параболы — парабола.

Иными словами, аффинный класс кривой второго порядка сохраняется при ортогональном проецировании. Здесь исключены случаи вырождения проекций в прямые линии, когда плоскость кривой перпендикулярна плоскости проекций.

Выясним теперь вопрос о числе точек, определяющих кривую второго порядка, которая в любой декартовой системе координат задается уравнением

анх2 + 2апху + а22у'2 +

Если кривая второго порядка задана достаточным числом точек, принадлежащих ей, то для определения уравнения этой линии следует по данным условиям (координатам точек) вычислить коэффициенты уравнения (7.8). Так как в рассматриваемом уравнении хотя бы один из коэффициентов ац, а\2 и а22 отличен от нуля, то, разделив на него обе части уравнения (7.8), получим равносильное ему уравнение с пятью неизвестными коэффициентами. Для вычисления коэффициентов необходимо знать пять точек, координаты которых должны удовлетворять уравнению. (7.8). В аналитической геометрии [1] доказывается, что если из пяти данных точек никакие четыре не лежат на одной прямой, то через пять данных точек проходит единственная линия второго порядка.

Как определить любую другую точку кривой второго порядка по пяти заданным?

На этот вопрос дает ответ теорема Паскаля, утверждающая, что во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка (эллипс, гиперболу, параболу), точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой, называемой прямой Паскаля; при этом шестиугольник может быть как выпуклым, так и звездчатым. Противоположными сторонами считают такие, которые отделе-

ны двумя сторонами. В шестиугольнике, изображенном на рис. 178, противоположными сторонами являются стороны АВ и

DE, ВС и EF, CD и FA.

Опуская доказательство этой теоремы, с которым можно ознакомиться в специальной литературе по проективной геометрии [21], покажем, как по пяти данным точкам А, В, С, D, Е можно построить сколько угодно других точек той же кривой.

Принимая эти пять точек за вершины шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, построим четыре его стороны АВ, ВС, CD, DE и зададимся направлением EN пятой.

Для построения прямой Паскаля вос-

ных сторон шестиугольника должна пересечь прямую Паскаля в точке M = CDf) П KL. Через эту точку М и пройдет шестая сторона вписанного шестиугольника. Вершина F будет определена пересечением прямых EN и AM.

Аналогично, меняя направление прямой EN, можно построить сколько угодно точек кривой второго порядка, проходящей через пять заданных точек.

Заметим, что теорема Паскаля применима и к многоугольникам, число вершин которых меньше шести. В этих случаях следует только предположить, что какиелибо вершины совпадают, а стороны, соединяющие эти совпавшие вершины, являются уже не хордами, а касательными к кривой.

Так, кривая второго порядка вполне определяется тремя точками А, В и С и касательными АР и ВТ в двух из них (рис. 179).

Чтобы применить теорему к вписанному

Рис. 178

треугольнику ABC, будем считать, что в точке А совпадают две вершины: А и А\,

( B B i ^ B T ) определяет одну точку К припой Паскаля. Ее вторую точку L найдем, задавшись направлением BN, для которого противоположной стороной служит АС (L = BN(]AC). Прямая Паскаля KL пересекает сторону ВС третьей пары противоположных сторон в точке М, через которую и пройдет вторая сторона AM этой пары. Третья пара противоположных сторон и определяет точку Е, принадлежащую заданной кривой.

Рассмотрим теперь часто встречающийся пример построения проекций окружно-

сти будут эллипсы, большими осями кото-

представляет собой большую ось горизонтальной проекции, а отрезок 32—42, равный также 2R, является большой осью фронтальной проекции окружности.

Что касается малых осей, то они будут получены при проецировании на плоскости Hi и Пг тех диаметров окружности, которые соответственно перпендикулярны горизонтали и фронтали плоскости а. Объясняется это тем, что согласно теореме о проецировании прямого угла проек-

ции только указанных двух диаметров составят с большими осями эллипсов угол, равный 90

Построение малой оси 51—61 — горизонтальной проекции окружности — связано с решением следующей задачи: на прямой СМ (линии ската плоскости а) от заданной на ней точки С отложить отрезок, длина которого равна R. Решение этой задачи выполнено методом замены плоскостей проекций. Отметим, что плоскость Ш-1-П1 и параллельна прямой СМ.

Аналогично находят точки 7 (7s, 72) и 8 (#5, 82), определяющие малую ось эллипса на фронтальной проекции окружности.

§ 39. В И Н Т О В Ы Е Л И Н И И

Цилиндрическая винтовая линия. Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося около своей оси так, что путь, проходимый точкой по образующей, все время пропорционален углу поворота цилиндра.

стоянном mare h винтовая линия пересекает все образующие цилиндра, на поверхности которого она расположена, под

Построение проекций цилиндрической винтовой линии дано на рис. 181. Исходными данными служат: R — радиус цилиндра, h -— шаг винтовой линии и направление линии - в данном случае правое.

Так как угловое перемещение точки, движущейся по цилиндрической винтовой, прямо пропорционально линейному перемещению, то при повороте точки на 360°/я она должна переместиться параллельно

оси цилиндра на 1 /п шага. В нашем случае п = 12, а потому и окружность, являющаяся горизонтальной проекцией цилиндра, и высота его, равная шагу h, разделены на 12 равных частей.

Фронтальная проекция каждой последующей точки, например смещена относительно предыдущей точки /2 вдоль оси цилиндра на '/12 шага h, и, кроме того, эта проекция находится на общем перпендикуляре к оси Ох с соответствующей горизонтальной проекцией — точкой 2\.

Фронтальная проекция винтовой линии представляет собой деформированную синусоиду, так как закономерность ее построения та же, что и при построении синусоиды.

При развертке цилиндрической поверхности на плоскость винтовая линия превращается в п р я м у ю . Это объясняется тем, что линейное и угловое перемещения точки связаны прямой пропорциональной зависимостью. Следовательно, винтовая линия есть геодезическая линия * цилиндрической поверхности.

линией (рис. 182) можно установить зависимость между радиусом цилиндра R, ша-

* Геодезической называется линия, которая имеет наименьшую длину среди всех линий на поверхности, соединяющих две данные точки.

гом h и углом подъема винтовой линии ср, а именно: A = 2n/?tg<p.

Коническая винтовая линия. Такую линию описывает точка, которая движется по какой-нибудь образующей прямого кругового конуса, вращающегося в то же время около своей оси так, что путь, проходимый точкой по образующей, все время

ется шагом конической винтовой линии.

Особенность построения горизонтальной проекции конической винтовой линии (рис. 183) состоит в том, что горизонтальная проекция движущейся точки определяется с учетом двух движений: вращательного — вместе с образующей и поступательного — вдоль образующей.

Так, при построении точки / горизонтальная проекция образующей конуса SO была повернута на 360°/12, а точка перемещена по ней на '/12 длины SO. В такой же последовательности построены и остальные точки.

екция каждой точки винтовой линии определяется пересечением фронтальных проекций параллелей * конуса, плоскости которых смещены одна относительно другой на расстояние, равное Л/12, и линий проекционной связи.

Для того чтобы получить векторное параметрическое уравнение винтовых линий, выразим координаты произвольной точки М этих линий через угловой параметр v, характеризующий поворот точки вокруг оси z (рис. 184).

Введем обозначения: h — шаг винтовых линий; 2qp— угол при вершине конуса; р — расстояние от точки М до оси г. Это расстояние для цилиндрической винтовой линии постоянно, а для конической

С учетом принятых обозначений коорди-

* Параллелями конуса вращения являются окружности — линии пересечения конуса плоскостями, перпендикулярными его оси.

Рис. 183

Рис. 184

наты точки М определяются следующими равенствами:

1. Построить проекции окружности, заданной диаметром АВ и фронтальной проекцией Сг одной из принадлежащих ей точек (рис. 185).

2.Построить проекции окружности, которая задана центром С и касательной I.

3.Кривую /, расположенную в плоскости Пь повернуть вокруг оси i на 60° (рис. 186).

4.Точка М движется по правой винтовой линии с шагом р — 120 мм. Построить ее проекции, соответствующие угловому перемещению, равному 120". Первоначальное положение точки обозначено через Ма . Ось винтовой линии

iперпендикулярна IIi (рис. 187).

5.Построить проекции винтовой линии, заданной уравнениями

jc = 30cost>, у = — 3 0 sin у,

_80

2л -о.

6. Вращающаяся точка отсекает на осях координат равные отрезки. Определить ось вращения.

Рис. 185

Рис. 186.

7. Дана развертка одного витка левой винтовой линии, принадлежащей цилиндрической поверхности. Построить ее ортогональные проекции.

ГЛАВА 8

П О В Е Р Х Н О С Т И

$ 40. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Существуют два основных способа фор-

Впервом случае поверхность Ф пред-

движение и форма которой подчинены некоторому закону. Эту линию принято называть о б р а з у ю щ е й . Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режу-

Рис. 188