Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

раэдра на FIi, а затем с помощью реальной

плоскости проекций. В этом случае все вершины основания совмещены со своими тенями. Для построения тени пирамиды (рис. 418) достаточно найти тень ее вершины и полученную точку S m соединить

скрайними точками основания.

Грани пирамиды, к которым примыкает

падающая тень, окажутся в тени собственной.

§ 9 0 . ТЕНИ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ МНОГОГРАННИКОВ

Задача построения теней пересекающихся многогранников не ограничивается определением контуров собственных теней и падающих на плоскости проекций. Решение задачи завершается построением падающих теней от неосвещенных граней одного тела на пересекающиеся с ними

проходящих через контур собственной тени одного многогранника, с освещенными гранями второго. Таким образом, основой всех построений является определение тени прямой на плоскость. Такая задача рассматривалась в § 88, где для ее решения был использован метод обратных лучей. Сущность этого метода иллюстрирует рис. 419, на котором показано построение тени прямой АВ, падающей на грань SEF треугольной пирамиды. Предполагается, что сначала были найдены падающие тени прямой и пирамиды на плоскость II. Из

торых обратные лучи встречают ребра пирамиды, определяют прямую, являющуюся тенью АВ на грань SEF. Применение метода обратных лучей для эпюрного ре шения этой задачи показано на рис. 420.

Обратимся к двум пересекающимся многогранникам, изображенным на рис. 421. Прежде всего строим контуры их падающих теней на общую плоскость оснований П, по которым определяем со-

бственные тени. Неосвещенными оказа-

призмы. Затем нужно установить, имеют ли место случаи, когда неосвещенная грань одного тела пересекает освещенную грань другого.

В приведенном примере две теневые

грани призмы пересекаются с освещенной гранью SEF пирамиды и неосвещенная грань пирамиды SDE — с освещенной гранью АСС'А' призмы. Рассмотрим последовательно каждую пару из указанных граней.

При построении тени от грани ABB'А1 призмы на грань SEF пирамиды воспользуемся обратными лучами, которые проведены через точки Кц и ^-п- В этих точках тени ребер SE и SF пересекаются с тенью ребра А'В1. Полученные с помощью об-

ратных лучей точки К' и L' определяют

в точке М, перейдет с плоскости П на освещенную грань призмы. Точки N, в которой ребро SE пересекает грань, и М определяют искомую границу падающей тени. Контур тени от грани ВСС'В' на освещенную грань пирамиды будет невидимым и поэтому его не строим.

Метод обратных лучей является весьма удобным, но не единственным при построении тени от многогранника на многогранник. В некоторых случаях рационально использовать точки пересечения ребер с гранями, на1которые падает тень данного ребра. Эти точки не всегда могут быть расположены в пределах контура грани. Так, тень ребра Sv4 пирамиды на грани призмы (рис. 422) построена с помощью точек М и N, в которых ребро SA пересекает продолженные за пределы своих контуров грани призмы EFF'E' и FDD'F'. Тень ребра S.4 на плоскость первой грани определена точками М и S„. Последняя представляет собой тень вершины S на грань EFF'E1. В точке К тень ребра преломляется и с одной грани переходит на другую.

Световые лучи, касаясь тела произвольной формы, в общем случае образуют ц и- л и н д р и ч е с к у ю п о в е р х н о с т ь , а не призму, как это было у многогранников Линия касания лучевого цилиндра и данного тела отделяет освещенную часть его от неосвещенной. Это контур собственной тени. Линия пересечения лучевой цилиндрической поверхности с плоскостью проекций или другой поверхностью служит контуром падающей тени. Как и прежде,

контур падающей тени является тенью от контура собственной.

В одних случаях каждый контур можно строить независимо один от другого, в других сначала целесообразно определять контур собственной тени и по нему находить падающую, в третьих — наоборот. Приводимые ниже примеры поясняют сказанное.

Пример 1. Построить собственную и падающую тени шара (рис. 423).

Лучевая поверхность в данном случае представляет собой поверхность прямого кругового цилиндра. Окружность одного из нормальных сечений этой поверхности

ни. Опуская описание построения проекций сечения, заметим, что новая плоскость Ш расположена параллельно световому лучу. В новой системе Г14 / П i плоскость а стала проецирующей. Контуром падающей тени служит след лучевой поверхности. В данном примере это эллипс, центр которого является тенью центра шара.

Пример 2. Построить собственные и падающие тени конусов и цилиндров.

Световые лучи, касаясь боковой поверхности конуса, образуют две плоскости (рис. 424). Для построения контура падающей тени определяют тень вершины конуса и затем из точки S|t проводят касательные к основанию. Отрезки касательных 5П Л и 5П В являются тенями тех образующих S/1 и SB конуса, которые отделяют освещенную часть его от неосвещенной.

Эпюрное решение этого примера выполнено на рис. 425. В связи с тем что падающая тень вершины конуса оказалась на задней полуплоскости Пь для окончания построения определена тень вершины в

только тем, что вместо тени вершины приходится определять падающую тень верхнего основания цилиндра.

Решение этого примера на эпюре пока-

р а л л е л ь н ы е с в е т о в о м у л у ч у , ка- с а ю т с я д а н н о й п о в е р х н о с т и .

Для решения так сформулированной задачи в поверхность вращения вписывают сферы и строят проекции тех окружностей, по которым каждая сфера касается дан-

гательной сферы, проведенный в искомую точку касания, должен быть нормалью к касательной плоскости. Значит, фронтальная проекция радиуса С2А2 должна составлять прямой угол с одноименной проекцией фронтали касательной плоскости. В приведенном примере касательная плоскость должна быть параллельна фронтально расположенным световым лучам. Вот почему прямая С2А2 перпендикулярна фронтальной проекции луча (см. рис. 428). Точка А, в которой радиус пересекает окружность касания сферы и поверхности вращения, принадлежит искомому контуру собственной тени. Горизонтальная проекция точки А (и ей симметричной В) определяется как точка пересечения горизонтальной проекции параллели радиуса г и линии проекционной связи. Аналогично находят и остальные точки. Контур падающей тени строят как тень от контура собственной.

Дополнительные построения, которые приходится выполнять, если световые лучи не параллельны плоскостям проекций, по-

казаны на рис. 429. Здесь прежде всего построены новые проекции (s| и si) светового луча, повернутого на угол ф до положения, параллельного 1Ь. Затем, согласно изложенной выше методике, найдена проекция точки А\ принадлежащей контуру собственной тени. Остается проделать обратное преобразование эпюра, заключающееся в повороте найденных точек вокруг оси поверхности вращения на угол ф против движения часовой стрелки.

§ 92. ТЕНИ НА ФАСАДАХ ЗДАНИЙ

Построение теней на фасадах зданий основано на определении точек пересечения световых лучей с вертикальными плоскостями фасада или с наклонными скатами крыши. Кроме фасада зданйя, для выполнения построений необходимо иметь заданной еще одну проекцию (план или боковой фасад).

Определяя контур падающей тени, который является параллельной проекцией контура собственной тени, рекомендуется пользоваться следующими правилами.

тности, тень отрезка прямой на параллельную ему плоскость равна и параллельна самому отрезку (см. рис. 408).

2. Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости а, то тень прямой на плоскости а совпадает с направлением проекции луча на ту же плоскость. Объясняется это, как было показано в § 86, тем, что световые лучи в данном случае образуют плоскость, которая по отношению к а является проецирующей.

Покажем применение указанных правил для построения теней на фасаде здания, ортогональные проекции (фасад и план) которого показаны на рис. 430. Там же прямой s задано направление светового луча.

Для построения тени от фронтального свеса крыши, ограниченного спереди линией а, достаточно найти тень от произвольной точки, принадлежащей этой линии. На рис. 430 в качестве такой точки

взята точка А (Л2, Л1), расположенная на коньке крыши. Проведенный через эту точку световой луч пересекает фронтальную плоскость а в точке Ло2. Падающие тени аа2 и а'а2 от наклонных ребер свеса крыши пройдут через Ла2 параллельно самим ребрам (см. § 86).

При построении тени в нишах оконных и дверных проемов следует помнить, что контуром падающей тени ниши является фигура, равная очертанию ниши, но смещенная в направлении фронтальной проекции луча на некоторое расстояние. Это смещение находим, определяя тень центра Вр2 дуги окружности для чердачного окна и тень Ср2 вершины верхнего левого угла оконных проемов.

При построении тени от угла основной части здания на фасад пристройки сначала найдена тень от точки F, а затем и от вертикального ребра / на плоскостях у и 5.

Падающая тень от свеса крыши основного здания на фасаде пристройки построена следующим образом. Сначала найдена тень al2 от наклонного свеса а[ в плоскости б. Для этого через точки Д и £ были проведены световые лучи до пересечения с этой плоскостью. Затем построена тень от горизонтального ребра ED крыши основного здания. Тень EMDf,2 от этого отрезка, перпендикулярного плоскости 6, совпадает с фронтальной проекцией светового луча (см. § 86).

Построение падающей тени от дверного козырька сводится к построению теней от тех ребер козырька, которые являются границей его собственной тени. Первое ребро, ограничивающее контур собственной тени, проходит через точку G перпендикулярно фасаду пристройки. Вторым является горизонтальное ребро GH, третьим — вертикальное НК. И последнее ребро, перпендикулярное фасаду, проходит

через точку К. Для построения тени от козырька были найдены тени от вершин этой ломаной линии: точек G, Н и К в плоскостях б и е.

Тень Ln2 от верхней точки L ребра ограждения, как видно из чертежа, падает на вертикальную плоскость подступенка лестницы. Поэтому с правой стороны падающая тень от ограждения лестницы ограничена двумя вертикальными отрезками и наклонным под углом 45° отрезком, представляющим собой тень от горизонтального ребра ограждения, перпендикулярного фасаду здания.

И наконец, для построения тени от антенны на плоскость крыши а найдена точка пересечения светового луча, проходящего через вершину М антенны. Для этого световой луч был предварительно заключен в горизонтально проецирующую плоскость X, которая пересекла плоскость крыши по линии 1—2. В месте пересечения фронтальной проекции луча с фронтальной проекцией линии 1—2 определена точка Ма2.

В заключение рассмотрим пример определения тени от трубы на плоскость крыши (рис. 431). Опуская описание построений, связанных с нахождением точек пересечения световых лучей с профильно проецирующей плоскостью ската крыши, докажем, что тень от вертикальных ребер трубы на наклонную плоскость крыши проецируется на Пг в прямую, составляющую с осью х тот же угол q>, который образует с плоскостью Г11 данный скат крыши.

Действительно, из равенства треугольников А2В2Аа2 и АзВзА^з (они равны по двум сторонам и углу, заключенному между

ними) следует, что АА2В2Аа2— ААзВзАлз, а значит, и /L(pi=Z_<p как доцолняющие равные углы до 90°.

Г Л А В А 17

ТЕНИ В ПЕРСПЕКТИВЕ И АКСОНОМЕТРИИ

Для придания перспективным и аксонометрическим проекциям большей выразительности строят собственные и падающие тени изображенных предметов. В основу этих построений положены те же предпосылки, которые были рассмотрены в главах 15 и 16, посвященных геометрической теории теней и ее приложениям в ортогональных проекциях. 1

Не повторяя их заново, перейдем к конкретным примерам построения теней в перспективе и аксонометрии, на которых покажем некоторые особенности, присущие этим методам.

С целью упрощения (в разделе теней) перспективы точек и их вторичные проекции обозначаются прописными буквами (или цифрами), но без правого верхнего

удаленным в бесконечность, то вторичная проекция его должна быть на линии горизонта. Что касается перспективы источника света (Солнца), то она может быть как под линией горизонта, так и над ней, причем в обоих случаях само Солнце расположено над плоскостью горизонта Г.

ni

Рис. 438

пипеда оказались в собственной тени, а падающая тень «наплывом» идет к зрителю (рис. 436). Очевидные удобства построения присущи случаю, когда световые лучи параллельны плоскости картины (рис. 437). Следует иметь в виду, что при этом параллельны между собой не только вторичные проекции, но и сами световые лучи.

На первом из трех рассматриваемых примеров (см. рис. 435) показано построение тени от вертикального шеста на вертикальную и горизонтальную грани параллелепипеда. На первой грани тень параллельна самому отрезку. По горизонтальной грани она направлена в точку схода вторичных проекций лучей (в точку S?),

которая вместе с тем является вторичной проекцией источника света S0.

На рис. 438 и 439 дано построение тени пирамиды и конуса. В обоих случаях пре-

тени тех ребер, а на следующем — тени тех образующих, которыми определяются контуры собственных теней рассматриваемых геометрических тел.

На рис. 440 представлен пример построения собственных и падающих теней прямого цилиндра, основание которого находится на плоскости Пь

Прямолинейный контур падающей тени цилиндра представляет собой следы лучевых плоскостей, касательных к цилиндру. Следами таких плоскостей на рис. 440 служат касательные к основанию цилиндра, проведенные из точки S? (вторичной проекции источника света S0 ).

Точки касания А | и В\ определяют те образующие АА\ и ВВ\, которые принадлежат контуру собственной тени. Этот контур замыкается дугой ADB верхнего основания. Найдя тени точек указанной дуги на предметной плоскости, заканчиваем построение падающей тени.

В заключение рассмотрим несколько примеров построения теней от одного предмета на другой. Во всех случаях световые лучи параллельны картинной плоскости.

На рис. 441 показано построение пада-