Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

Для этого прежде всего проведем через прямую а вспомогательную плоскость у. Весьма удобно в качестве такой плоскости воспользоваться одной из проецирующих плоскостей. »

В данном случае через прямую а проведена горизонтально проецирующая плоскость у, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой. Далее построены проекции п\ и «г линии пересечения плоскостей, сравнение которых с проекциями данной прямой показывает, что прямая а не параллельна плоскости треугольника BCD.

§ 22. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ

Задача, которой посвящен настоящий параграф, является одной из основных задач начертательной геометрии. От того, насколько хорошо она будет усвоена, зависит успешное изучение последующего материала. Достаточно перечислить некоторые из задач курса, которые в конечном счете сводятся к определению точки пересечения прямой линии и плоскости: пересечение прямой с многогранником, пересечение многогранника, конуса, цилиндра и любой линейчатой поверхности с плоскостью, пересечение двух многогранников.

Согласно изложенной в § 20 методике решения задачи на пересечение прямой линии и плоскости необходимо различать следующие три этапа:

I) построение вспомогательной плоско-

сти у, которую проводят через прямую

а( а е у ) ;

2)построение линии пересечения п

вспомогательной плоскости у и заданной

а(п = aflv);

3)определение искомой точки К как

91 показано, как целесообразно проводить проецирующие плоскости через прямые, различно расположенные в пространстве.

Рассмотрим решение примеров. На рис. 92 дано изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью треугольника BCD.

Точка пересечения К найдена с помощью горизонтально проецирующей плоскости у, которая с заданной, плоскостью пересекается по прямой п.

Построение прямой п — линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью — было рассмотрено в § 19. Искомая точка К пересечения прямой а с данной плоскостью треугольника BCD определена как трчка пересечения линий а и п.

Точно в такой же последовательности решаются два примера на эпюре (рис. 93 и 94). При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки.

Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной плоскости взята гори-

Рис. 98

дит через данную точку А перпендикулярно данной прямой (рис. 98).

Поскольку известно направление главных линий этой плоскости — горизонтали и фронтали, искомую плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми.

Так, через точку А проведена горизонталь будущей плоскости (горизонтальная проекция ее перпендикулярна U), а затем через эту же точку А проведена фронталь искомой плоскости (фронтальная проекция ее перпендикулярна /2). Плоскость а {h[)f), перпендикулярная прямой /, построена.

{ 24. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости а (рис. 99). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является

На эпюре (рис. 100) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра п к данной плоскости a ( h f ] f ) . Построение ni и пг не

вызывает затруднений, так как плоскость ос задана главными линиями.

Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии т . Эти две пересекающиеся линии — п и т — и определяют искомую плоскость, перпендикулярную плоскости а.

Поставим теперь следующую задачу: через данную прямую т провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости а (а || ft)(рис. 101).

Если прямая m не перпендикулярна данной плоскости а, то через такую прямую можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной. Эта плоскость на рис. 101 вполне определяется двумя пересекающимися прямыми: данной т и перпендикуляром п, опущенным из произвольной точки D прямой т на плоскость а.

Используя признак взаимно перпендикулярных плоскостей, можно, не определяя двугранного угла между ними, сделать вывод о том, перпендикулярны плоскости друг другу или нет.

Пусть даны две плоскости a (Af|/) и Р (ABC) (рис. 102). Требуется установить, перпендикулярны ли они друг другу. Для этого на одной из них (на плоскости р) взята произвольная точка А, через которую проведена прямая п, перпендикулярная другой плоскости а. Остается установить относительное положение п и плоскости р. Если п лежит в плоскости р, то PJL

.La, в противном случае данные плоскости не перпендикулярны. На рис. 102 видно, что прямая п не принадлежит плоскости р (ABC). Следовательно, плоскости а и р не перпендикулярны друг другу.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. При каком положении плоскости ее горизонталь является и профильной прямой?

2.Какая из главных линий плоскости определяет ее положение в пространстве?

3.В каком случае фронталь плоскости является одновременно и линией наибольшего уклона?

4.В каких пределах может изменяться уклон прямой, принадлежащей плоскости, если эта

плоскость образует с плоскостью Пi угол <р =

=45°?

5.Сколько вершин можно задать произвольно при построении проекций параллелограмма, ромба, квадрата?

6.При каком условии ортогональная проекция квадрата может быть ромбом?

7.Как построить прямую, параллельную двум пересекающимся плоскостям?

8.Сколько плоскостей симметрии имеет одна плоскость?

9.Назовите основное свойство проецирующих плоскостей.

10.Построить плоскость, проходящую через прямую I и перпендикулярную данной плоскости общего положения.

11.При каком условии проекция биссектрисы угла является биссектрисой проекции того же угла?

12.Даны две скрещивающиеся прямые общего положения. Требуется построить плоскость, равноудаленную от каждой из них.

13.Решение каких задач начертательной геометрии требует многократного определения точек пересечения прямой с плоскостью? Назовите три основных этапа выполнения этой задачи.

14.Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через начало координат? Как построить следы такой плоскости?

ГЛАВА 5

МН О Г О Г Р А Н Н И К И

§25. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

ИПОСТРОЕНИЕ ИХ ПРОЕКЦИЯ

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Предметом нашего изучения будут только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые расположены по одну сторону каждой его грани.

Форма и положение многогранника в пространстве могут быть определены заданием его ребер, основанием и вершиной, если это пирамида, основанием и одним из боковых ребер, если это призма.

Существует и аналитическое задание многогранника системой линейных неравенств с тремя неизвестными:

Каждому из неравенств в трехмерном пространстве соответствует полупространство с граничной плоскостью, уравнение

которой получится, если знак неравенства заменить знаком равенства.

Область, определяемая системой (5.1), представляет собой пересечение п полупространств. Так как каждое полупространство есть выпуклая область, то их пересечение окажется также выпуклой областью.

Итак, любой выпуклый многогранник можно получить пересечением конечного числа полупространств.

Возможен случай, когда область пространства, определяемая системой (5.1), оказывается незамкнутой (рис. 103) или пустой (рис. 104).

Система (5.1) в последнем случае не совместна. На рис. 103 и 104 стрелками 1, 2, 3, 4 обозначены полупространства, границами которых служат соответственно плоскости а, р, у, 6.

Определение полупространства, удовлетворяющего данному неравенству, осуществляется подстановкой в него коорди-

наты точки О (0,0,0), убеждаемся; что начало координат удовлетворяет неравенству (5.2) и, следовательно, это неравенство описывает полупространство, расположенное «под» плоскостью а (рис. 105).

Рис. 104

Рис. 105

В качестве примера рассмотрим построение многогранника, заданного следующей системой линейных неравенств:

соединить полученные вершины пирамиды и установить видимость пересекающихся проекций ребер, оказавшихся внутри контура каждой проекции многогранника. Для этой цели воспользуемся проецирующими лучами р_1-П| и ql. Пг.

Первый из них проходит через точку

испереди.

§26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМОЙ ЛИНИИ С МНОГОГРАННИКОМ

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения.

Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела.

На рис. 109 показано сечение треугольной призмы плоскостью а(аП6). Каждая из вершин построенного треугольника (12 3) определена как точка пересечения соответствующего ребра с заданной плоскостью а. Так, точка 1 = А А 1 По. Вспомогательная горизонтально проецирующая плоскость у, проведенная через ребро АА[, пересекает плоскость а по прямой ММ. Построив M2Nt, определяем /2 = М2#2П n-42i4j, а затем с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию 1\

этой точки. Аналогичные построения, связанные с поиском точек 2 и 3, на эпюре не показаны.

Решение задачи существенно упрощается, если секущая плоскость перпендику-

из проекций сечения вырождается в прямую линию, совпадающую со следом прое-

Рис. 110

Ниже (см. § 30, 32) будет показана возможность преобразования секущей плоскости общего положения в проецирующую — преобразования, позволяющего получить решение, которое не перегружено обилием накладывающихся одно на другое построений.

Определяя фигуру сечения многогранника (рис. 111), не следует упускать и возможность применения теоремы Дезарга (см. § 2).

Сначала необходимо определить точку пересечения только одного из ребер с заданной плоскостью а, например точку 1 — = а[}а и прямую m = af)Р (Р — плоскость основания призмы). Эта прямая будет служить осью коллинеации в перспектив- но-коллинеарном соответствии двух плоскостей а и р е несобственнойточкой S, через которую проходят прямые а, b и с, соединяющие соответственные точки плоскостей а и р . Заметим, что одна пара таких точек (/ и А) уже находится в нашем распоряжении. Прямая, соответствующая прямой

определяем третью вершину искомого сечения — точку 3 — сП(2 — F).

При решении вопроса о видимости сторон построенного сечения следует иметь в виду достаточно очевидное правило: точка и линия, лежащие на поверхности многогранника, видимы только в том случае, если они расположены на видимой грани.

Перейдем теперь к другой позиционной

задаче — к определению точек пересечения прямой линии / с многогранником. Алгоритм ее решения в принятой символике записывается следующим образом:

1.Провести плоскость а: а э / .

2.Построить сечение т многогранника: a(]SABC = m.

3.Определить искомые точки: К, L =

—1[\т.

На рис. 112 в качестве вспомогательной плоскости, включающей прямую /, взята фронтально проецирующая плоскость а. Сечение т (1—2—3—4) пирамиды построено так же, как это было сделано на рис.

1 1 0 .

Пересечение прямой I с контуром сечения т и определяет искомые точки К и L.

113 при построении линии пересечения треугольных пирамиды и призмы.

Приведем алгоритм определения точек / и 2 пересечения ребра DD[ призмы с пи-

фические операции, можно найти точки пересечения ребер S/1 и SC пирамиды с призмой. Отметим лишь, что для этой цели были применены горизонтально проецирующие плоскости и у з SC.

Попарно соединяют те из найденных точек, которые принадлежат двум общим граням. Если обе грани оказываются видимыми, то видимой будет и линия их пересечения.

3.Как построить ось пучка плоскостей, каждая из которых пересекает заданные пирамиду

ипризму соответственно по треугольнику и параллелограмму?

4.Дана правильная четырехугольная призма, две грани которой параллельны 1Ъ, а две другие

ипроекции этого сечения.

5.Напишите неравенства, определяющие пространство, ограниченное гранями куба, три из которых совмещены с плоскостями проекций. Куб расположен в первом октанте, длина его ребер равна а мм.

6.В какой последовательности решается за-

С П О С О Б Ы П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я П Р О Е К Ц И Й

§ 28. ХАРАКТЕРИСТИКА СПОСОБОВ

При решении м е т р и ч е с к и х з а д а ч , связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.

Покажем, насколько сложность решения конкретной задачи зависит от заданных проекций.

На рис. 114—116 даны проекции точки

кг