Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

на левее точки В. Относительное смещение

к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное А у.

Наконец, отрезок Аг показывает превышение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.

Вопросы для самоконтроля

1.Какими координатами определяется каждая проекция точки?

2.На границе каких октантов расположена точка А (6, 0, —5)?

3.В каком октанте находится точка, если все

еекоординаты отрицательны?

4.Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направлении, перпендикулярном профильной плоскости проекций Г13? Параллельно оси г?

5.В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой? Где располагаются две другие проекции этой точки?

6.Точки А и В расположены симметрично относительно плоскости Пг. Какому условию должны удовлетворять их координаты?

7.Что представляет собой множество точек пространства, все три проекции каждой из которых оказываются совмещенными одна с другой?

ГЛАВА 3

П Р Я М А Я Л И Н И Я

§ 7. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Прежде всего выясним вопрос: как можно определить положение прямой в пространстве?

Обычно отвечают: двумя точками. Это верно, но не полно. Кроме двух точек положение прямой можно определить двумя плоскостями, двумя проекциями, точкой и углами наклона к плоскостям проекций, точкой и направляющим вектором.

Не останавливаясь на первых двух способах задания прямой в пространстве, которые известны читателю из курса элементарной геометрии, покажем, что положение прямой вполне определяется д в у - мя е е п р о е к ц и я м и .

Итак, пусть в плоскостях П1 и П2 даны две прямые: AiBt и А2В2 (рис. 30). Проведем через эти прямые плоскости а и р , перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае, если эти плоскости не параллельны, линией их пересечения будет прямая ЛВ, проекциями которой являются А\В\ и А2В2 (первая — горизонтальная проекция, вторая—фронтальная).

Плоскости а и р могут слиться в одну плоскость у, если Л161 и А2В2 перпендикулярны оси х и пересекают ее в одной точке (рис. 31).

Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить буква-

ми или цифрами две какие-либо точки. Если же обозначений не сделать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что АВ%\1, и АВЩ 2 -

Существуют и аналитические способы задания прямой в пространстве при помощи уравнений.

Можно получить уравнение прямой в векторной форме, если заданы радиус-

Для произвольной точки М прямой справедливо следующее равенство:

щая все вещественные значения, называемая параметром.

Векторному уравнению (3.1) прямой со-

прямой будет не раз использовано при составлении уравнений линейчатых поверхностей, формирование которых происходит при движении прямой линии.

Прямую линию можно задать и уравне-

где первое уравнение описывает горизонтальную проекцию прямой, а второе — фронтальную. В том случае, когда прямая

Заметим, что каждому из уравнений (3.3) или (3.4) соответствует плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Так, первые уравнения системы (3.3) и (3.4) определяют плоскость a J. И i (см. рис. 30), а вторые — плоскость р ± 1 Ь .

§ 8. РАЗЛИЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

ми двух точек — А и В. Соединяя прямыми одноименные проекции точек, получают проекции отрезка прямой.

называют горизонтальными или горизонталями.

Так как все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости Пь то для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство zA = zB. Значит, на эпюре фронтальная проекция

А2В2 параллельна оси Ох. Горизонтальная же проекция прямой может занимать относительно оси любое положение. Профильная проекция /43Вз|] оси Оу.

3. Прямые, параллельные фронтальной плоскости проекций (рис. 36), называются фронтальными или фронталями.

6С,

Рис. 39

Рассуждая, как в п. 2, убеждаемся, что горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Ох, фронтальная в общем случае занимает произвольное положение,

апрофильная — параллельна оси Oz.

4. Прямые, параллельные профильной плоскости проекций (рис. 37 и 38), называются профильными. Для любых двух точек профильной прямой справедливо равенство хА—хв, а значит, горизонтальная

ифронтальная проекции этой прямой будут перпендикулярны оси Ох.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере, удаления от зрителя поднимается, вторая — понижается. На рис. 37 представлен отрезок восходящей профильной прямой, на рис. 38 — отрезок нисходящей прямой.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются п р я м ы м и у р о в н я . Каждая из них проецируется на парал-

иП3.

В точку обращается проекция прямой

на ту плоскость, относительно которой прямая перпендикулярна.

§ 9. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

Из трех точек С, D и Е, приведенных на рис. 40, лишь одна С лежит на прямой АВ.

В тех случаях, когда точка и прямая расположены в плоскости уровня а, параллельной какой-либо плоскости проекций П,, то вопрос об их взаимном расположении может быть решен при построении

e C i D i , ГгеСг/ЭгНо точка F не лежит на прямой CD, о чем свидетельствуют их проекции на плоскость Щ.

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении. Поэтому, чтобы на эпюре некоторый отрезок разделить в данном отношении, надо в том же

отношении разделить его проекции. На рис. 40 отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ—\:3.

Возвращаясь к рис. 41, можно сделать вывод (без построения третьей проекции), что точка F не принадлежит прямой CD, так как

C2f 2 CXF |

§10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ДЛ И Н Ы ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ

ИУГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ

КПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Как видно из рис. 42, длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВ[В, в котором: катет АВ1 = А tBi (проекции отрезка АВ на плоскость П|), а катет ВВ[ равен Az — разности расстояний точек А и В от плос-

В

кости 111. Угол ср в том же треугольнике определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости Пь

Если вместо плоскости П| взять плоскость Пг, то длину отрезка АВ можно определить аналогичным путем из прямоугольного треугольника АВА1 (рис. 43), где

угол наклона прямой АВ к плоскости Пг. На рис. 44 и 45 показано на эпюрах нахождение длины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям Hi (угол ф) и Пг

(угол г|>).

Рис.131Рис.132Рис.133

§ II. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Следом прямой линии называется'точка, в которой прямая пересекается с плоскостью проекций. Так как след прямой принадлежит одной из плоскостей проекций, то одна из координат каждого следа должна быть равна нулю.

В общем случае прямая может пересе-

ресечение с плоскостью Из.

Рассмотрим сначала прямую а в системе двух плоскостей проекций и найдем ее горизонтальный и фронтальный следы.

Эти следы на рис. 46 определены как точки, в которых прямая пересекается со своими проекциями. Каждый след, явля-

проекций, совпадает с одноименной своей

горизонтального следа М и горизонтальная проекция N\ следа N должны лежать на оси Ох. Причем это будут те точки оси, в которых она пересекается с соответствующими проекциями данной прямой. Пересечение а\ и оси Ох определяет N\, а пересечение аг и той же оси Ох дает Мг-

Отмеченные особенности в расположении проекций следов позволяют сформули-

мым. Особенность этих точек, как отмечалось выше (см. § 4), заключается в том, что они равноудалены от плоскостей проекций и тем самым находятся в биссекторной плоскости р второй и четвертой четвертей (Л = а П Р ) . Если же некоторая прямая а параллельна fS, то точка А становится несдбственной точкой прямой а. В этом случае проекции ai и аг прямой а должны быть параллельны.

Следы прямых, являясь точками, в которых прямая переходит из одной четверти в другую, позволяют отмечать ее видимость. Видимой частью прямой будет та,

Рассмотрим построение следов прямой линии в системе трех плоскостей проекций.

Горизонтальный и фронтальный следы прямой определяются по тем правилам,

которые были указаны выше. Появится только необходимость показать и профильные проекции этих точек.

Профильный след Т на рис. 49 найден как точка пересечения прямой а с ее профильной проекцией. След Т совпадает со своей одноименной профильной проекцией. Две другие проекции этого следа, как и любой точки, расположенной на плоскости Пз, находятся на осях Оу и Ог. Так как точка Т есть одна из точек данной прямой, то ее проекции Т\ и Тг лежат на одноименных проекциях прямой.

§12. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

1.Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые а и b имеют одну общую точку, проекции которой Е\ и Е2 расположены на

кулярную данным прямым) — параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, т. е. если а\\Ь, то а, ||6|, а2\\Ьг-

В общем случае справедливо и обратное утверждение: если на эпюре одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны. Действительно, проецирующие плоскости, проведенные через проекции прямых, пересекутся по параллельным между собой прямым.

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки взаимного положения прямых следует построить их проекции на плоскость Из или выполнить построение, показанное на рис. 52.

Отрезки AD и ВС, концы которых принадлежат профильным прямым, могут либо пересекаться, либо скрещиваться. В первом случае данные прямые АВ и CD расположены в одной плоскости и парал-

лельны. Рис. 52 соответствует второму случаю, когда AB%CD. Решение того же вопроса можно получить сравнением двух отношений А2В2/А1В1 и C2D2/C1D1. Равенство этих отношений будет указывать, что

АВ\\ CD.

3. Скрещивающиеся прямые. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 53).

Точке пересечения фронтальных проек-

ций прямых соответствуют две точки £ и F, из которых одна принадлежит прямой,а, другая — прямой Ь. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки — Е и F — находятся на общем перпендикуляре к плоскости Пг. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой (рис. 53), позволяет установить, какая из двух точек ближе к зрителю*. В нашем случае ближе к зрителю находится точка Е, лежащая на прямой а. Следовательно, прямая а проходит в этом месте впереди прямой Ь.

Точке пересечения горизонтальных проекций соответствуют также две точки К и L, расположенные на разных прямых. Совпадение их горизонтальных проекций произошло потому, что обе точки в пространстве оказались на одном перпендикуляре к плоскости П|.

Отмеченная стрелкой (см. рис. 53) фронтальная проекция этого перпендикуляра дает ответ на вопрос о том, какая из двух точек выше.

Как видно из чертежа, точка К выше точки L. Следовательно, прямая b проходит над прямой а.

§ 13. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то проекции их в общем случае образуют угол, не равный 90°.

* Предполагается, что прямые расположены между зрителем и плоскостью проекций.

Действительно, пусть сторона АВ прямого угла ABC параллельна плоскости Г1 ь Требуется доказать, что проекция его: угол /4ifiiCi=90° (рис. 54).

Прямая АВ перпендикулярна плоскости а, так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ\, проходящим через точку В.

Прямая АВ и ее проекция А\В\ —г-две параллельные прямые, а потому А\В\ также перпендикулярна плоскости а. Следовательно, А\В\ перпендикулярна В\С\.

Докажем теперь, что если ортогональная проекция угла ABC на некоторую плоскость П| является прямым углом и одна из сторон угла параллельна той же плоскости, то угол ABC — прямой (рис. 54).

Прямая Л|б| перпендикулярна плоскости а, так как образует прямые углы с б|С] по условию и с ВВ\ по построению. Но А\В\ параллельна АВ. Значит, и прямая А В-La. Следовательно, угол между АВ и ВС — прямой.

В

[ Ч .

w

Рис. 56

На основании изложенного можно ут-

1.Как расположена прямая I общего положения в пространстве, если /1Ц/2?

2.Как расположена прямая относительно плоскостей проекций, если сумма углов, которые

она образует с П i и 1Ь, равна 90°?

3.Как на прямой линии определить точку, равноудаленную от плоскостей Hi и Пг? На какой прямой такой точки не существует?

4.Может ли ортогональная проекция острого угла быть тупым углом, а тупого — острым?

5.Могут ли проекции скрещивающихся прямых быть параллельными?

6.В каком случае проекции прямого угла на плоскости III и Г12 равны 90°?

7.Построить проекции светового луча, отраженного от трех плоскостей проекций. Падаю-

щий луч задан вектором s (рис. 56).

8.На прямой, определяемой точками А (10; 30; 10) и В (60; 10; 50), построить отрезок АС

длиной 45 мм.

9.Задавшись горизонтальной проекцией отрезка АВ прямой общего положения и его длиной, построить фронтальную проекцию Л2В2.

10.Определить расстояние от точки А (20; 40;

50)до каждой из координатных осей.

Г Л А В А 4

плоскость

§ 14. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ, СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ

Положение плоскости в пространстве можно определить: 1) .тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой

58).

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому.

Важно подчеркнуть, что задание плоскости а точкой А и вектором п (пх, пу, п2), перпендикулярным плоскости а, содержит наименьшую, но достаточную информацию о положении плоскости — всего шесть чисел: координаты точки А и вектора п.

где R — радиус-вектор произвольной точки М плоскости а (см. рис. 58), a (R — гА)