Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

Вкнигу включены все разделы курса начертательной геометрии, предусмотренные учебной программой: ортогональные проекции, аксонометрия, линейная перспектива и проекции с числовыми отметками.

Внастоящем издании существенно переработан раздел, посвященный поверхностям, где дано их параметрическое описание, которое позволяет сравнительно просто получать графическое изображение каркаса или сети поверхности на экране ЭВМ.

Всвязи с радикальными изменениями процессов проектирования и конструирования, многие этапы которых автоматизированы, возникла необходимость в дополнении курсов графических дисциплин таким разделом как «Использование вычислительной техники в инженерной графике».

Считая, что решение задач автоматизации проектно-конструкторских работ должно базироваться на формализации описания проектируемых объектов, авторы учебника значимое место в нем удели-

ли построению математических моделей рассматриваемых поверхностей, а также моделей процессов параллельного и центрального проецирования.

В заключение заметим, что освоение «вторичной грамотности» (программирование и компьютеризация) не должно идти в ущерб грамотности «первой», под которой следует понимать знание фундаментальных наук, включая и начертательную геометрию, формирующих творческого специалиста. Инженер обязан мастерски владеть международным языком

— языком чертежа, который был и остается одним из наиболее информативных языков техники.

Введение, краткий исторический очерк и главы 1, 2, 5, 7, 12 написаны Н. Н. Крыловым; главы 10, 11, 16 — В. JI. Николаевым; главы 6, 9,13 — Г. С. Иконниковой; главы 3, 4, 15 — Н. Н. Крыловым и В. Л. Николаевым; главы 8, 14 — Г. С. Иконниковой и Н. Н. Крыловым; глава 17 — Г. С. Иконниковой, Н. Н. Крыловым и В. Л. Николаевым; глава 18, 19 — В. Е. Васильевым.

Авторы

1. Точки, расположенные в пространстве,— прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D ... или цифрами 1, 2, 3, 4, ...

2. Прямые и кривые линии в пространстве — строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d

3.Плоскости — строчными буквами греческого алфавита а, р, у, ... .

4.Поверхности — прописными буквами греческого алфавита: Ф, в, Л,

5.Способ задания геометрической фигуры указывается в скобках рядом с обозначением геометрической фигуры. Например:' а {А, В) —

секающимися прямыми а и 6.

6.Углы — строчными буквами греческого алфавита ф, ij), ш.

7.Особые прямые имеют постоянные обозначения:

а) линии уровня: горизонталь—А; фронталь — f;

б) следы плоскости общего положения обозначают той же буквой, что и плоскость с добавлением подстрочного индекса, соответствующего плоскости проекций, например am, « т ;

в) следы проецирующих плоскостей:

<*| — горизонтальный след плоскости а-]_П|,

Рг— фронтальный след плоскости P-LII2. Проецирующие плоскости изображаются

только одним следом — тем, который является проекцией данной плоскости на плоскость, ей перпендикулярную;

г) оси вращения — i, j.

а1, а2, а3,... и т. д.

9.Плоскости проекций — прописными буквами греческого алфавита: горизонтальная — IT 1; фронтальная — П2; профильная — П3.

10.Новая плоскость проекций при замене плоскостей проекций — буквой П с добавлением подстрочного индекса: ГЦ, ГЬ, ГЬ,... .

11.Проекции точек, прямых и плоскостей — соответствующей буквой и добавлением подстрочного индекса, указывающего плоскость проекций: на плоскости Г1 •—Ai, а 1, at ; на плоскости Пг — А2,02, аг; на плоскости П3 — Аз, аз, аз-

12.Плоскость проекций при построении аксонометрических и перспективных изображений — прописной буквой греческого алфавита с добавлением значка «штрих» — ГГ.

13. Плоскость проекций в методе проекций

счисловыми отметками — По.

14.Аксонометрические и перспективные проекции точек, прямых и плоскостей — буквами, соответствующими натуре, с добавлением значка «штрих»: А', а', а'.

15.Проекции точек на чертежах с числовыми отметками — той же буквой, что и натура, с добавлением числа, определяющего расстояние от точки до плоскости проекций: As, З21, Со.

16.Основные операции: а) совпадение двух

геометрических фигур = , например a = 6, At = = б) взаимная принадлежность геометрических фигур э или е , например А Ea, ftea; в) пересечение двух геометрических фигур П. например a{\b, aflP; г) результат геометрической операции = , например K = af"|". ' = « П Р -

Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, в котором изучаются методы изображения пространственных фигур на чертеже и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

расстояний и натуральных величин геометрических фигур. Построение геометрических фигур (их образов на чертеже^, отвечающих заданным условиям, составляет содержание к о н с т р у к т и в н ы х задач.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. М о н ж а (1746— 1818) завоевала себе достойное место в высшей школе как наука, без которой немыслимо формирование инженера и архитектора.

Важное прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она учит грамотно владеть выразительным техническим языком — языком чертежа, создавать чертежи й свободно читать их.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность — по плоскому изображению мысленно создавать представление о форме предмета, начертательная геометрия готовит будущего инженера к успешному изучению специальных предметов и к техническому творчеству — проектированию.

Еще Маркс указывал на то, что процесс труда заканчивается•результатом, который уже в начале этого процесса имелся в представлении работника: «Паук совершает операции, напоминающие операции ткача, и пчела постройкой своих восковых ячеек посрамляет некоторых людей-архи- текторов. Но и самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что прежде чем стрбить ячейку

из воска, он уже построил ее в своей голове» («Капитал», т. 1, 1967, с. 189).

Эта невидимая работа мозга, это незримое и порой мучительное вынашивание инженерной идеи будут тем плодотворнее, чем сильнее развито пространственное воображение, чем свободнее владеет автор методами изображения трехмерных тел на плоскости.

Однако только графическая информация о проектируемом объекте не может удовлетворить современному способу производства. В ряде случаев чертежи дополняют аналитическим описанием.

При построении чертежей поверхностен с помощью ЭВМ в условиях автоматизированных систем проектирования зачастую требуются числовые характеристики, определяющие положение точек и линий, принадлежащих данной поверхности.

Отражением этой черты современного производства и проектирования являются те разделы книги, в которых приведены векторные уравнения линий и поверхностей.

Векторная форма описания геометрических фигур позволяет сравнительно просто преобразовать графическую информацию о строении линий и поверхностей в цифровую. Однако основой математического описания проектируемого объекта служит его геометрическая модель, построенная с помощью методов начертательной геометрии.

СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку

предмета. Это свойство чертежа называют «обратимостью».

3.Изображение предмета должно быть удобным для чтения размеров.

4.Процесс построения изображения должен быть простым.

Рассмотрение приведенных на рис. 1 и 10 схем центрального и параллельного проецирования позволяет сделать заключение о том, что так полученные проекционные чертежи не являются «обратимыми». Одна центральная или параллельная проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Действительно, по заданной проекции А' не представляется возможным определить положение точки А, так как каждой точке А' на плоскости П' будет соответствовать любая точка проецирующего луча SA'.

Отом,-как устраняется эта неопределенность и обеспечивается взаимная однозначность между точками пространства

каждого из применяемых в технике методов изображения.

Г Л А В А I

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К ИЕ П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я ПРИ Ц Е Н Т Р А Л Ь Н О М

И П А Р А Л Л Е Л Ь Н О М П Р О Е Ц И Р О В А Н И И

}1. ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТЬ

ИПРОСТРАНСТВО

Многие положения геометрии, которые будут рассмотрены в настоящем курсе, приобретут большую общность, если мы воспользуемся понятиями б е с к о н е ч н о

у д а л е н н ы х или н е с о б с т в е н н ы х точек и прямых.

Действительно, обратимся к рис. 4, где показано проецирование фигуры Ф, распо-

точке А фигуры Ф будет соответствовать точка А' фигуры Ф'.

Обратно, любой точке В' фигуры Ф' соответствует точка В фигуры Ф.

Однако распространить это положение на все точки плоскостей П и П' в пространстве Евклида, изучаемого в элементарной геометрии, не удается.

Так, для точки К', расположенной на луче SK', параллельном плоскости П (рис. 5), не существует соответственной точки на плоскости П. Проведем теперь через центр проецирования S луч, параллельный

ственных точек плоскости, то соответствие между двумя плоскостями П и П' при центральном проецировании становится взаимно однозначным для любых точек.

Точке К' теперь соответствует несобственная точка плоскости П, присоединенная к прямым а и Ь, параллельным лучу SK', а несобственной точке прямых т' и п', проведенных по плоскости П' параллельно лучу SL, соответствует точка L плоскости П.

Евклидовы плоскость и пространство.

дополненные соответственно бесконечно удаленными точками, прямыми и плоско-

операция проецирования, перейдем к изучению соответствия двух плоских фигур, возникающего в результате центрального, а затем и параллельного проецирования.

f 2. ПЕРСПЕКТИВНАЯ КОЛЛИНЕАЦИЯ И ГОМОЛОГИЯ

Рассмотрим соответствие плоских фигур при центральном проецировании. Пусть даны две плоскости П и П', пересекающиеся по прямой m (рис. 6), и установлено проецирование из центра S, при котором точка А проецируется в точку А' плоскости П'. Точки А и А' являются соответственными. Каждая прямая плоскости П будет проецироваться в прямую плоскости П'. Так, прямой АС плоскости П соответствует прямая А'С' плоскости П' и обратно.

При центральном проецировании точкам, расположенным на одной прямой плоскости П, соответствуют точки, лежащие на соответствующей прямой плоскости П'.

Следовательно, при центральном проецировании имеет место взаимно однозначное преобразование, при котором точки, лежащие на одной прямой плоскости П, переходят в прямолинейно расположенные точки плоскости П'.

Рис. 6

Соответствие, которому присуще указанное свойство, называют к о л л и н е а - ц и е й .

Коллинеация, при которой соответственные точки лежат на проецирующих лучах, пересекающихся в центре проекций S, называется п е р с п е к т и в н о й к о л л и н е - а ц и е й .

Множество особых точек рассматриваемой коллинеации представляет собой прямую т , по которой пересекаются плоскости П и П'. Каждая точка этой прямой соответствует самой себе, так как каждая из точек прямой m совпадает со своей центральной проекцией. Такие точки называют д в о й н ы м и ^ Двойной будет и прямая т , совпадающая со своей проекцией. Эта прямая называется о с ь ю п е р с п е к - т и в н о й к о л л и н е а ц и и . ,

Две соответственные прямые плоскостей П и П' пересекаются на оси коллинеации. Действительно, рассмотрим соответственные прямые АВ и А'В', которые расположены в одной проецирующей плоскости SAB (см. рис. 6). Находясь в одной плоскости, прямые АВ и А'В' пересекаются в точке Со (см. рис. 6). Эта точка принадлежит трем плоскостям: плоскости :П (как точка прямой АВ), плоскости П' (как точка прямой А'В') и проецирующей плоскости, в которой расположены АВ и А'В'. Следовательно, точка Со должна находиться на прямой т, по которой пересекаются плоскости П и П'.

треугольников, лежащих в одной плоскости *. Теорема Дезарга будет применена в дальнейшем при построении сечения многогранников плоскостью. Перспективно коллинеарное соответствие точек двух плоскостей не нарушается, если одну из плоскостей вращать вокруг оси коллинеации.

Иными словами, все прямые АА', ВВ', ...

(см. рис. 6), соединяющие соответственные точки, при вращении плоскости П' остаются пересекающимися в одной точке прямыми, причем эта точка — центр проецирования — изменяет свое положение в пространстве.

С доказательством этого предложения можно познакомиться в работе Н. А. Г л а- г о л е в а [4].

В процессе вращения обе плоскости могут быть совмещены. Соответствие между точками совмещенных плоскостей уже нельзя рассматривать как результат центрального проецирования. В этом случае будет иметь место преобразование точек одной плоскости в другие точки той же плоскости, при котором сохраняется прямолинейное расположение точек, и остаются неподвижными все точки некоторой прямой. Такое взаимно однозначное преобразование проективной плоскости в себя

Прямая, на которой расположены точки,

* Доказательство теоремы Дезарга для плоскости см. в кн.: Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. М., 1969, с. 99.

щие друг другу фигуры в этом случае называют гомологичными. Гомология определяется заданием центра So, оси m и пары соответственных точек А и А', расположенных на одной прямой с точкой So (рис. 7). В этом случае для каждой точки плоскости, например В, можно определить соответственную ей В'. Для этого поступают следующим образом. Прямая А'В', соответственная прямой АВ, должна проходить через двойную точку Со последней. Это позволило построить на рис. 7 прямую СоА'. Искомая точка В' должна быть и на этой прямой СоА', и на проецирующей линии SoB. Пересечение указанных прямых и определяет точку В'.

На следующем рис. 8 представлен пример, когда одной из заданных соответственных точек является несобственная точка прямой So-Д, т, е. точке А в этой гомологии соответствует несобственная точка прямой S<y4. Для того чтобы построить точку В', соответственную точке В, проводят, как и прежде, прямую АВ до пересечения с осью от в точке Со, через которую пройдет прямая СоВ', соответ-