Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов
.pdfРис. 59
— вектор, принадлежащий плоскости а
иортогональный вектору п.
Выразив множители скалярного произ-
ведения (4.1) через их компоненты, получим
(Х—ХА)ПХ + (У — УА) NY + (Z — ZA) л г = 0.
(4.2)
Это линейное относительно координат х, у, г уравнение можно преобразовать к виду
Ax + By + |
C-z + D = |
0. |
(4.3) |
О положении плоскости |
относительно |
||
плоскостей проекций |
удобно |
судить |
по ее |
следам — прямым линиям, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций. Плоскость общего положения (не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций) имеет три следа: г о р и з о н т а л ь н ы й а л ь ф р о н т а л ь - н ы й а„2, п р о ф и л ь н ы й а„3 *.
Следы плоскости общего положения а (рис. 59) пересекаются попарно на осях в точках а*, ау , а*. Эти точки, называемые точками схода следов, можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью а с двумя из трех плоскостей проекций.
Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие — разноименные проекции — оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости совпадает
* Следы проецирующих плоскостей обычно обозначают иначе (см. § 15).
Рис. 60
со своей горизонтальной проекцией, фронтальная же его проекция находится на оси Ох, а профильная — на оси Оу.
Совмещая горизонтальную и профильную плоскости с фронтальной, получим изображение плоскости а ее следами на эпюре (рис. 60). Следует заметить, что разноименные проекции каждого следа оставляют без обозначений.
Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся прямые, вполне определяют положение плоскости в пространстве. Третий след плоскости всегда можно построить по двум данным.
§15. Р А З Л И Ч Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я ПЛОСКОСТИ
ОТ Н О С И Т Е Л Ь Н О ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
1. Плоскость а, перпендикулярная плос-
кости Пь —г о р и з о н т а л ь н о п р о |
е - |
ц и р у ю щ а я п л о с к о с т ь (рис. 61 |
и |
62). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, которая одновременно является горизонтальным следом ai плоскости.
Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с горизонтальным следом а\.
Так, горизонтальная проекция треугольни-
ка ABC, расположенного в плоскости |
а, |
|||
есть прямая |
линия, |
совпадающая |
с |
|
ai (А\В\С\ =<*i). |
Угол |
г|>, |
который |
образуется между плоскостью а и Пг,
проецируется на плоскость |
без искаже- |
||
ния. |
|
|
|
2. Плоскость р, перпендикулярная |
плос- |
||
кости П2,— ф р о н т а л ь н о |
п р о е ц и - |
||
р у ю щ а я |
п л о с к о с т ь |
(рис. |
63). |
30
Ci В,
S ^ v
Рис. 61
/ / в>г )Аг
А -
С
В
Рис. 62
Рис. 63
Фронтальная проекция такой плоскости представляет прямую, которая одновременно является фронтальным следом р2
плоскости. Фронтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с ее фронтальным следом. Например, фронтальная проекция
треугольника ABC, который находится в плоскости (5, есть прямая линия А^В^С?, совпадающая с fbУгол ф между плоско-
стями р и 111 проецируется |
на l b без |
||
искажения. |
|
|
|
3. Плоскость у, перпендикулярная |
плос- |
||
кости Из,— п р о ф и л ь н о |
п р о е ц и р у - |
||
ю щ а я п л о с к о с т ь . |
На |
рис. |
64" и |
65 показан тот частный случай, когда профильно проецирующая плоскость проходит через ось Ох и делит пополам угол между плоскостями Tli и ГЬ. Профильная проекция такой биссекторной плоскости представляет собой прямую, которая является профильным следом уз плоскости.
Профильные проекции всех точек этой плоскости совмещаются с профильным
следом (ЛзВ3Сз = |
7з). |
4. Плоскость б, параллельная плоскости |
|
Hi, называется |
г о р и з о н т а л ь н о й |
(рис. 66). Эта плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций Пг и И3. Фронтальная и профильная проекции такой плоскости б — горизонтальные прямые, совпадающие со своими одноименными следами 62 и 63. Любая фигура, расположенная в плоскости б, на горизонтальную плоскость проекций Hi проецируется без искажения.
5. Плоскость а, параллельная плоскости
Рис. 64
Рис. 65
31
г
с — _ |
|
0 J |
|
S |
А, |
В, |
С, |
|
|
|
и |
|
|
Рис. 67 |
|
Пг, |
называется |
ф р о н т а л ь н о й (рис. |
67). Эта плоскость перпендикулярна плоскостям П| и Пз. Горизонтальная и профильная проекции плоскости а — прямые линии, совпадающие со своими одноименными следами о\ и сгз. Любая фигура, расположенная в плоскости а, на фронтальную плоскость проекций Пг проецируется без искажения.
Рассмотренные выше горизонтальная б и фронтальная а плоскости часто называ-
ются |
п л о с к о с т я м и |
у р о в н я . |
|
|||
В заключение параграфа еще раз под- |
||||||
черкнем основное свойство |
проецирующих |
|||||
плоскостей: |
если фигура |
расположена в |
||||
плоскости, |
перпендикулярной |
некоторой |
||||
плоскости проекций, |
то на эту плоскость |
|||||
фигура |
проецируется |
в виде |
прямой, |
кото- |
||
рая совпадает с одноименным |
следом |
про- |
||||
ецирующей |
плоскости. Проекция прямой, |
лежащей в такой плоскости, в частном случае может быть точкой,' но и эта точка находится на одноименном следе проецирующей плоскости.
§ 16. ПОСТРОЕНИЕ СЛЕДОВ ПЛОСКОСТИ
Каждый след плоскости представляет собой прямую, для построения которой нуж-
но знать либо д в е т о ч к и , |
либо о д н у |
т о ч к у и н а п р а в л е н и е . |
Двумя точ- |
ками, с помощью которых определяется положение следа плоскости, могут быть одноименные следы двух прямых, принадлежащих плоскости.
На рис. 68 показано построение горизонтального следа плоскости а с помощью одноименных, т. е. горизонтальных следов пересекающихся прямых а и Ь, которыми определена плоскость а.
На рис. 69 приведен пример построения следов плоскости, заданной тремя точками.. Горизонтальный след аП1 плоскости
определен горизонтальными следами М и М' прямых АВ и ВС. Фронтальный след а и построен с помощью одноименных сле-
32
дов N и Ni прямых АВ и АС. Заметим, что d|] можно было бы построить с помощью
фронтального следа одной из прямых и точки схода а*.
Наконец, точки схода следов ау и а г позволяют построить и третий — профильный след плоскости а,, . Если бы точки
"з схода ау и аг оказались за пределами
чертежа, то для построения ссп пришлось
бы определять профильные следы двух прямых плоскости а.
f 17. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ. РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим две основные задачи на взаимную принадлежность точки, прямой и плоскости.
Задача |
1. П о с т р о и т ь |
п р о е к ц и и |
п р о и з в о л ь н о й п р я м о й I п л о с - |
||
кости |
а, к о т о р а я |
з а д а н а пе- |
р е с е к а ю щ и м и с я п р я м ы м и т и п (рис. 70).
Воспользуемся основной аксиомой принадлежности, утверждающей, что прямая принадлежит плоскости, если две точки
этой прямой принадлежат той же |
плоско- |
|
сти. На заданных прямых т и п отмечаем |
||
произвольные точки Л е т |
и B e n , |
кото- |
рые и определяют искомую |
прямую |
1{1\, |
1г). Одна из двух точек, А или В, может
быть несобственной, и тогда |
аксиома при- |
||
надлежности формулируется |
так: |
прямая |
|
принадлежит плоскости, |
если |
имеет с |
|
плоскостью одну общую |
точку и парал- |
||
лельна какой-либо прямой, |
расположен- |
ной в этой плоскости. На рис. 71 показаны
Рис. 71
проекции прямой I, принадлежащей плоскости а(т[\п). Эта прямая пересекает прямую п в точке А и параллельна прямой т.
Задача 2. П о с т р о и т ь |
п р о е к ц и и |
|||
т о ч к и А |
(рис. 72), к о т о р а я |
п р и - |
||
н а д л е ж и т п л о с к о с т и |
о б щ е г о |
|||
положения |
а (т\\п). |
|
|
|
Если точка расположена |
в плоскости, то |
|||
из трех координат, определяющих |
ее |
поло- |
||
жение в пространстве, произвольно |
можно |
2 Начертательная геометрия |
33 |
Рис. 73 |
Рис. 74 |
задавать |
только две. Эти две |
координаты |
(в общем |
случае любые две |
из трех) по- |
зволяют построить только одну проекцию точки, например А2 — фронтальную.
Как найти ее горизонтальную проекцию? Для этого воспользуемся вспомогательной прямой, которую проведем по плоскости а через точку А. Заметим, что таких прямых можно провести через точку А по плоскости а множество.
Одна из них представлена на эпюре. Прежде всего через заданную фронтальную проекцию Аг точки проведена одноименная проекция /2 вспомогательной прямой. Ее проекция построена с помощью точек В к С, в которых прямая / пе-
ресекает данные прямые т и п . |
Искомая |
|
горизонтальная |
проекция А1 |
точки |
А определена |
пересечением |
и линии |
проекционной связи.
Если же плоскость а — проецирующая, то необходимость обращения к вспомогательной прямой I отпадает. В этом случае горизонтальная проекция Ai точки А должна быть расположена на одноименном следе си плоскости а (рис. 73). Следует иметь в виду, что по горизонтальной проекции В\ точки В в рассматриваемом частном случае расположения плоскости a(a_l_ni) нельзя однозначно определить положение фронтальной проекции Вч. Каждая точка горизонтального следа ai плоскости а может рассматриваться как проекция горизонтально проецирующей прямой т , принадлежащей плоскости a (см. рис. 73). Точно так же каждой точке
Рис. 75
фронтального следа (Ь плоскости 0 (($ _1_Пг) будет соответствовать фронтально проецирующая прямая л (рис. 74).
Отмеченной особенностью проецирующих плоскостей пользуются при определении точек их пересечения с прямой линией (см. § 19).
f 18. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
Среди прямых линий, которые могут быть расположены в данной плоскости, особое место занимают прямые четырех направлений.
1. |
Г о р и з о |
н т а л и h — прямыё, лежа- |
щие |
в данной |
плоскости и параллельные |
горизонтальной плоскости проекций (рис. 75). Фронтальная проекция горизонтали как линии, параллельной плоскости Пь— горизонтальна.
2. Ф р о н т а л и . / |
— прямые, |
располо- |
|
женные в плоскости и параллельные |
плос- |
||
кости Пг (рис. 76). |
|
|
|
3. П р о ф и л ь н ы е |
п р я м ы е |
р — |
пря- |
мые, которые находятся в данной плоскости и параллельны плоскости Пз (рис. 77).
4. Л и н и и н а и б о л ь ш е г о с к а т а — прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно горизонталям (рис. 78 и 79).
Перечисленные прямые называют г л а в н ы м и л и н и я м и п л о с к о с т и .
На любой плоскости можно провести множество главных линий.
34
4
Рис. 76
Все линии четырех направлений образуют плоские пучки параллельных прямых, т. е. все горизонтали плоскости параллельны между собой, все фронтали плоскости также параллельны друг другу и т. д.
Следует заметить, что следы плоскости, рассмотренные ранее (см. § 16), можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след — это горизонталь плоскости, фронтальный — фронталь- и профильный — профильная линия плоскости.
На рис. 78 по плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми — горизонталью h и фронталью f , через точку
Рис. 78
А этой плоскости проведена линия наи-
большего ската |
АВ. |
|
|
|
Нетрудно показать, что |
|
горизонтальная |
||
проекция |
линии |
наибольшего |
ската пер- |
|
пендикулярна |
горизонтальной |
проекции |
||
горизонтали |
плоскости. |
Действительно, |
если по определению линии наибольшего ската угол ABC — прямой, а сторона h этого угла параллельна плоскости проекций П1, то этот прямой угол должен проецироваться на плоскость Иi без искажения (см. § 13), т. е. m-LAi. Построение проекций линии наибольшего ската на эпюре показано на рис. 79, где сначала перпендикулярно h\ была построена горизонтальная проекция линии наибольшего ската — п\.
35
2*
|
Рис. 80 |
|
|
|
|
|
Важно отметить, что линия |
наибольше- |
|||||
го ската и ее горизонтальная |
|
проекция |
||||
(см. рис. 78) образуют линейный |
угол, |
|||||
которым измеряется |
двугранный, |
состав- |
||||
ленный |
данной плоскостью |
(ff\h) |
и |
плос- |
||
костью |
проекций П1 |
(так |
как |
плоскость |
y4BfMi-LIIi и она же перпендикулярна плоскости ABC).
С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоско-
сти. На рис. |
80 даны плоскость (/П^) |
и проекции А, |
и Аг точки А. Необходимо |
установить, лежит ли эта точка в данной плоскости. Проведем по плоскости горизонталь ft1 на том же уровне, на котором расположена точка А. Фронтальная проекция горизонтали пройдет через Лг перпендикулярно линии связи, а горизонтальная проекция h\ — параллельно горизонтальной проекции горизонтали h данной плоскости {fflh).
Горизонтальная проекция A i точки А оказалась вне одноименной проекции прямой. Следовательно, точка А не лежит
вданной плоскости.
§19. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.
1. Параллельные |
плоскости. Плоскости |
||
параллельны, |
если |
две |
пересекающиеся |
прямые одной |
плоскости |
соответственно |
параллельны |
двум пересекающимся |
пря- |
мым другой |
плоскости. |
|
При решении различных задач |
часто |
приходится через данную точку А проводить плоскость р, параллельную данной плоскости а.
На рис. 81 плоскость а задана двумя пересекающимися прямыми а и Ь. Искомая плоскость р определена прямыми а1 и 6', соответственно параллельными а и b и проходящими через заданную точку А1.
2. Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточ-
но определить д в е |
т о ч к и , общие |
обеим |
плоскостям, л и б о |
о д н у т о ч к у |
и на- |
п р а в л е н и е л и н и и пересечения |
плос- |
|
костей. |
|
|
Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.
Пусть, например, даны прямая а и гори-
Рис. 81
Рис.131Рис.132Рис.133
36
зонтально проецирующая плоскость а (рис. 82). Тогда горизонтальная проекция К\ искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции ai плоскости а и на горизонтальной проекции а 1 прямой а, т. е. в точке пересечения а\ с ai (/Ci=aif]ai) (рис. 83). Фронтальная проекция К<2 точки К расположена на линии проекционной связи и на фронтальной проекции <22 прямой а.
А теперь разберем один из частных случаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них — п р о е ц и р у ю щ а я .
На рис. 84 приведены плоскость общего положения, заданная треугольником ABC,
игоризонтально проецирующая плоскость
а. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ЛABC и а будут точки пересечения сторон АВ и ВС треугольника ABC с проецирующей плоскостью а. Построение таких точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 84), так и на эпюре (рис. 85) не вызывает затруднений после разобранного выше примера.
Соединяя одноименные |
проекции точек |
|||
D и Е, получим проекции линии пересече- |
||||
ния плоскости АABC и плоскости а. |
||||
Таким образом, горизонтальная проек- |
||||
ция D\E\ |
линии пересечения |
заданных |
||
плоскостей |
совпадает |
с |
горизонтальной |
|
проекцией |
проецирующей |
плоскости a — |
||
с ее горизонтальным следом а\. |
|
|||
Рассмотрим теперь |
о б щ и й |
с л у ч а й . |
Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения а и р (рис. 86). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям.
Для определения этих точек заданные
37
плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких
плоскостей целесообразнее |
взять |
п р о е - |
ц и р у ю щ и е п л о с к о с т и |
и, в |
частно- |
сти, плоскости уровня. На рис. 86 первая вспомогательная плоскость уровня у каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям Л и А1, которые определяют точку 1, общую для плоскостей а и р , а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость 6, например, также параллельную III, получим еще одну точку — 2, общую плоскостям а и р . Эта точка опре-
деляется |
пересечением горизонталей Л2 |
и А3, по |
которым вспомогательная плос- |
кость 6 пересекает каждую из данных плоскостей.
Описанный метод применен для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая — тремя точками (рис. 87). С помощью вспомогательной плоскости v найдена точка / как точка, в которой пересекаются горизонтали А и А1. Точно так же с помощью плоскости б определена вторая точка — 2.
Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задаю-
щие плоскость, что и сделано на рис. 88, где построена линия 1—2 пересечения плоскостей а (ДЛВС) и р (bbEF). Точка 1 этой линии определена с помощью фронтально проецирующей плоскости у, проведенной через сторону DE треугольника DEF. Именно эта сторона, проекции которой заданы, и является линией пересече-
38
ния плоскости треугольника DEF и у
(D £ = pflv).
Упрощение графического решения в том и состоит, что не нужно чертить эту прямую, входящую в число элементов, задающих плоскость р.
Та же плоскость у пересечет второй треугольник ABC по прямой KL (KL = yПа).
Аналогично, |
проведя |
через сторону ВС |
|
горизонтально |
проецирующую |
плоскость |
|
б, найдем точку 2. На |
рис. |
88 прямая |
|
ВС = б|~|а, а AI j V бf|Э- |
Пересечение этих |
прямых определяет точку 2. Причем ее
фронтальная |
проекция |
была построена |
|
раньше, чем |
2\. |
|
|
Внимательный читатель, очевидно, за- |
|||
метил, что точки / |
и 2 |
являются точками |
|
пересечения |
сторон |
одного треугольника |
|
с плоскостью |
другого. |
|
К детальному рассмотрению этой важной задачи приступим в § 22.
$ 20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости:
прямая принадлежит плоскости; прямая параллельна плоскости; прямая пересекает плоскость.
Первому случаю был посвящен § 17, в котором рассматривалась одна из основных графических операций — построение прямых линий, принадлежащих плоскости. Критерием этого случая является извест-
ное свойство |
плоскости: |
если прямая |
ли- |
|||
ния соединяет |
две |
точки |
данной |
плоскости, |
||
то такая |
прямая |
всеми |
своими |
точками |
||
лежит в |
этой |
плоскости. |
|
|
Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или
параллельна плоскости, или |
пересекает |
ее. Для более определенного |
суждения |
через прямую а (рис. 89) проводят вспомогательную плоскость у и устанавливают относительное положение двух прямых а и я, последняя из которых является линией
пересечения вспомогательной |
плоскости у |
||
и данной а. Каждому из трех |
возможных |
||
случаев |
относительного |
расположения |
|
этих прямых соответствует |
аналогичный |
||
случай |
взаимного расположения прямой |
||
и плоскости. |
|
|
Рис. 89
Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости а, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая а пересекает плоскость а. Два последних случая требуют более подробного изучения.
| 21. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ
При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стерео-
метрии: |
прямая |
параллельна |
|
плоскости, |
|
если она |
параллельна |
одной |
из |
прямых, |
|
лежащих |
в этой |
плоскости. |
|
|
Следуя методике, изложенной в предыдущем параграфе, оценим взаимное положение прямой а и плоскости, представлен-
39