Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

А

Рис. 377

к плоскости По). Направление, в котором отметки прямой убывают, указывается стрелкой. Для того чтобы проградуировать проекцию прямой, т. е. определить на ней проекции точек с целочисленными отметками, необходимо знать интервал L.

где 1АВ— заложение прямой (длина горизонтальной проекции); hA — hB—превы- шение точки А над точкой В (рис. 375).

Из приведенных определений уклона прямой и ее интервала следует, что

во втором (рис. 377), где заданная прямая имеет уклон / = 1 : 2 , ее интервал L = 2 м.

На рис. 376 показана возможность и графического градуирования с помощью пучка прямых, параллельных отрезку АВ, который в масштабе чертежа определяет истинную длину расстояния между точками Л и б . Положение отрезка АВ на рис. 376 можно рассматривать как результат вращения АВ вокруг его горизонтальной

проекции. Заметим, что прямые АА4 и

На том же рис. 376 найден и истинный угол ф наклона прямой к плоскости По.

Особенность градуирования прямой а (см. рис. 377) заключается в том, что здесь сначала пришлось4 вычислить расстояние AL от точки А до ближайшей точки с целой отметкой «9». В данном

следует иметь в виду, что их интервалы равны, а отметки должны возрастать в одном направлении. Равенство интервалов объясняется тем, что параллельные прямые образуют равные углы с плоскостью По.

§ 78. ПЛОСКОСТЬ

Прежде всего познакомимся с некоторыми определениями, необходимыми для задания и изображения плоскости на чертежах с числовыми отметками.

1. Масштабом падения или масштабом уклона плоскости а называется градуированная проекция линии ската. Его выделяют двумя параллельными прямыми (тон-

Заметим, что на основании теоремы о проецировании прямого угла масштаб падения плоскости и проекции ее горизонталей взаимно перпендикулярны.

лена двумя прямыми: / и касательной В„Кп к основанию конуса, проведенной из точки

Если уклон iAl! прямой I меньше уклона i плоскости а, то задача имеет два реше-

ния, так как и прямая /, и точка В„ оказываются внутри конуса.

На том же рисунке показано построение горизонталей плоскости а, проходящей через прямую А7ВЬ и имеющей уклон / =

=1:1,5.

Вэтом примере вершина вспомогательного конуса совмещена с точкой А7, его высота h принята равной 1 м.

Основание же конуса, окружность радиуса R=\/i= 1,5 м, оказалось на уровне

точки Вц. Касательная к основанию конуса, проведенная из точки Ва, является горизонталью с отметкой в одной из двух плоскостей, удовлетворяющих условию поставленной задачи.

К описанному построению не раз придется обращаться при изображении откосов насыпи или выемки полотна железной

задании плоскости всегда можно построить ее масштаб падения и горизонтали, с помощью которых и определяют прямые пересечения плоскостей. Здесь следует различать два случая.

а) Масштабы падения плоскостей не параллельны (рис. 381). Искомая прямая построена по двум точкам Мд и Л/в, в которых пересекаются горизонтали одного уровня. В точке М пересекаются горизон-

плоскостей будет биссектрисой угла, который образуют проекции горизонталей пересекающихся плоскостей.

б) Масштабы падения плоскостей параллельны (рис. 382).

В этом случае линией пересечения плоскостей будет их общая горизонталь, для построения которой необходимо найти только одну точку М.

На рис. 382 эта точка определена введением вспомогательной плоскости у, масштаб падения которой не параллелен масштабам падения заданных плоскостей.

Последовательность дальнейших построений такова:

1.у П « = Л4В5.

2.у П Р = С 4 0 5 .

3.М=Л4 В5 ПС4 £>5 .

4. m = aflP (тзМ, т.La;).

Пример 1. Построить план крыши здания, контур которого показан на рис. 383. Все скаты имеют одинаковый уклон, а число скатов равно числу сторон контура здания. Каждый пронумерованный отрезок этого контура служит горизонталью (карнизом) соответствующего ската.

Так как уклоны, а значит, и интервалы всех скатов равны, то проекциями линий их пересечения должны быть биссектрисы тех углов, что образованы горизонталями пересекающихся скатов. Заметим, что на рис. 383 сначала был построен план четырехскатной крыши, ограниченной прямыми 1, 2, 3, 4, и только потом учитывались левый и правый выступы здания.

Пример 2. Дан план участка насыпи дороги на прямой без уклона (рис. 384).

Требуется построить проекции полуврезного и выступающего въездов на эту

въезда проходит через точку М4, бровка выступающего—через точку 7"4. Ширина въездов равна а. Отметим, что въезды необходимы для передвижения строитель- но-дорожных машин, которые применяются при сооружении земляного полотна.

Уклоны въездов определяются ведомственными строительными нормами

Рис. 383

Рис. 384

(ВСН 186—75) Минтрансстроя, согласно которым для движения скреперов /| = = 0,12 ... 0,17. Нарушение этих норм в нашем примере вызвано желанием получить компактный чертеж.

В конечном счете должны быть построены проекции линий пересечения тех плоскостей, которые определяют форму и самих въездов, и их откосов с поверхностью заданного участка насыпи дороги.

Начнем с формообразования более простого выступающего въезда, расположенного на северном откосе насыпи дороги.

Масштабом падения плоскости въезда может служить та бровка, что проходит через точкуТ4 и принадлежит поверхности северного откоса насыпи.

Возникла подзадача: по плоскости откоса, через данную точку 7"4 провести прямую заданного уклона i\. Она решена построением точки Рз, в которой горизонталь откоса с отметкой 3 пересекается с окружностью радиуса R = Li = \/i\=2 м. Эту

окружность можно рассматривать как основание вспомогательного конуса высотой

са насыпи и определяет бровку Т4Р3 выступающего въезда. К го проекция ограничена крайними горизонталями с отметками 0 и 4.

Что же касается построения горизонта-

да, то оно требует выполнения графических операций, рассмотренных в примере 2 предыдущего параграфа. Заметим лишь, что нулевая горизонталь проведена как касательная к основанию конуса, вершина которого расположена в точке Si.

Отличие полуврезного въезда (рис. 385) заключается в том, что откосу насыпи а принадлежит не бровка въезда, а его ось MN (на рис. 384 это прямая М4Л/0).

Кроме того, проектируя такой въезд, необходимо предусматривать создание двух откосов v и 6, проходящих соответственно через бровки АВ и EF.

Построение оси M4No аналогично построению бровки 7*4Рз выступающего въезда. Направление горизонталей плоских откосов у и 6 определено с помощью вспомогательных конусов, вершина F0 одного из которых на 1 м ниже его основания. Отметим, что два параллельных откоса б и у пересекаются плоскостью а по параллель-

Рис. 386

Р е ш е н и е . Искомая плоскость может быть определена двумя прямыми, пересекающимися в точке D6 и соответственно параллельными прямым АВ и ВС, принадлежащим заданной плоскости а. В нашем

случае DE\\ABnDF\\ВС. Причем LAB=--LDE

иLI)F—Lnc.

Решение возможно несколько упростить, если воспользоваться тем, что масштабы падения параллельных плоскостей параллельны (а,||Р;), их интервалы равны (La — l-t>) и отметки горизонталей возрастают в одном направлении.

В обоих случаях прежде всего градуиру-

ся вычерчиванием масштаба падения р,,

§ 80. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Пользуясь принятой символикой, напомним те графические операции, последовательное выполнение которых позволит

а>

Рис. 387

решить вопрос о взаимном расположении прямой АВ и плоскости а (рис. 387):

1.р э А В .

2.MN = РП«"

в качестве вспомогательной плоскости р рекомендуется применять любую плоскость общего положения, но только не проецирующую. Эта рекомендация про-

комой точки потребовало бы дополнительных построений.

Из пучка плоскостей, проходящих через данную прямую АВ, следует выделить ту, горизонтали которой в пределах чертежа пересекаются с соответствующими горизонталями плоскости а.

Так, на рис. 387 горизонтали AM и BN плоскости р направлены с таким расчетом, чтобы точки Mi и N4, определяющие

н а л ь н о с т и п р я м о й и п л о с к о - с т и .

Согласно теореме о проецировании прямого угла можно утверждать, что если AB-Lа, то проекции горизонталей плоскости а и перпендикуляра АВ пересекаются под прямым углом или, что то же, проекция прямой, перпендикулярной плоскости, параллельна масштабу падения этой плоскости.

Для того чтобы установить зависимость между интервалами АВ и плоскости а, обратимся к рис. 388, где построен прямоугольный треугольник ABC, катетами ко-

та Н, опущенная из прямого угла на ги-

Сформулированные выше условия, которым должна отвечать проекция перпендикуляра к плоскости, позволяют решить задачу определения расстояния от точки А до плоскости а (а,). Перечислим основные этапы решения этой задачи, выполненные на рис. 389.

1. Построение проекции перпендикуляра АК ИЯ||а,).

2.Определение интервала LAK с по-

3.Градуирование перпендикуляра, отметки которого должны убывать в сторону, противоположную направлению убывания отметок горизонталей плоскости.

4.Определение точки К пересечения

перпендикуляра с плоскостью а. Отметим, что прямая MiNe представляет собой линию пересечения заданной плоскости а и вспомогательной, проведенной через перпендикуляр.

Рис. 389

5. Построение прямоугольного треугольника ЛЛщ/Сбд, длина гипотенузы которого и является искомым расстоянием.

§ 81. ПОВЕРХНОСТИ

Ранее, в гл. 8, мы познакомились с закономерностями формирования некоторых поверхностей.

Но существует большой класс иных поверхностей, строение которых не подчинено строгому математическому описанию.

пографической поверхности может служить рельеф земли.

В рассматриваемом методе все поверхности независимо от способа их образования изображают проекциями их горизонталей с указанием отметок, фиксирующих уровень плоскости каждой горизонтали.

Множество горизонталей образуют дискретный каркас поверхности, позволяющий решать с его помощью позиционные

иметрические задачи.

Так, на рис. 390 показано семейство

эллипсов — горизонталей эллиптического конуса. Очерковыми линиями этой повер-

На Следующем рис. 391 изображены проекции горизонталей топографической поверхности. Их отметки и взаимное расположение позволяют заключить, что дан-

Рис. 390

ный участок земли представляет собой седловину. Направление, в котором происходит понижение местности, указывается бергштрихами (см. штрихи, идущие от горизонталей 17).

При выполнении различных построений на карте в горизонталях считают, что отрезок прямой, например АцВ[ь или СцО|5, соединяющий точки двух горизонталей, разность отметок которых равна единице, принадлежит топографической поверхности. Этим допущением пользуются при построении промежуточных горизонталей. Одна из них, с отметкой 14,5, показана на рис. 391.

с т и о д и н а к о в о г о с к а т а , которая часто встречается в практике проектирования откосов дорог на кривой с уклоном.

Геометрическая часть ее определителя

1-1

7г

кл* *

Рис. 396

необходимо выполнить следующие операции:

1.аэЛдВб-

2.M6jV9 = afl<I>.

3.К = А9Вь(\Мъ^.

Ив этом случае вспомогательная плоскость а, проведенная через данную прямую АВ, не должна быть проецирующей.

Направление ее горизонталей (AgNg и др.) произвольно.

Пример 3. Построение профиля топографической поверхности по заданному направлению 1—1 (рис. 396).

Каждая точка плоского сечения / — 1 определялась по двум координатам. Такими координатами для точки К служат отрезок L\ и отметка 80 самой точки. Начало координат — точка N, выбирается на любом уровне, удобном для выполнения чертежа. В данном примере этот уровень равен 75 м. Естественно, что на эту длину следует уменьшать вертикальные отрезки, фиксирующие точки профиля.

Пример 4. Построение линии наибольшего уклона (рис. 396) . Помня о том, что уклон и интервал отрезка любой линии есть величины обратные, строим искомую линию как множество отрезков минимальной длины, концы которых расположены на следующих одна за другой горизонталях топографической поверхности. На рис. 396 это построение выполнено с помощью дуг окружностей, последовательно

касающихся соответствующих горизонталей. Центром первой из этих окружностей служит заданная точка /48|.

§83. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ

При проектировании железнодорожных трасс, шоссейных дорог, дамб, при возведении строительных площадок и т. п. необходимо определять объемы земляных работ, проводимых при сооружении указанных объектов. Решение этой задачи требует построения линий пересечения поверхностей, ограничивающих строительный объект, с землей.

Это построение, громоздкое и трудоемкое во многих случаях, следует начинать с вычерчивания горизонталей поверхностей, образующих данное сооружение. После того как все поверхности будут изображены проекциями своих горизонталей, останется построить линии их пересечения.

Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

Пример 1. На топографической поверхности, заданной горизонталями (рис. 397), запроектирована горизонтальная строительная площадка на высоте 38 м с криволинейным въездом, уклон которого i\ = = 1:5,5. Уклоны откосов насыпи t j = 1:2, выемки 1з= 1:1.

Требуется определить границы насыпных и выемочных откосов, а также линии их взаимного пересечения.

Разобьем решение на следующие этапы. Во-первых, построим границы только шести плоских откосов, ограничивающих

площадку по ее периметру.

Отметим, что восточная часть площадки (правее горизонтали 38, которая является линией нулевых работ) расширена на а м. Этот «припуск» необходим для ус-

и Р), должны пересекаться три линии: т, L и п, две последние из которых являются границами соответственно западного и южного насыпных откосов.

Второй этап решения (рис. 398) посвятим изображению двух откосов насыпей, которые проходят через внешнюю и внутреннюю бровки криволинейного въезда.

Каждый из этих откосов представляет собой поверхность одинакового ската, рассмотренную ранее в § 81, а поверхностью въезда служит коноид.

Не повторяя описания графических операций, связанных с вычерчиванием горизонталей названных поверхностей, перечислим те фигуры, что входят в состав геометрической части определителей въезда и его откосов.

Плоскостью параллелизма коноида в данном примере будет горизонтальная плоскость По. Криволинейной направляющей служит ось въезда — винтовая линия уклона i\, расположенная на вертикальном круговом цилиндре радиуса R, а прямолинейной направляющей — ось этого цилиндра. Радиально направленные проекции прямолинейных образующих коноида пересекаются в оказавшейся за пределами чертежа (см. рис. 398) точке — проекции оси цилиндра. Они являются горизонталями коноида, проведенными через те точки оси въезда, что определены

поверхностей одинакового ската составляют бровки въезда и производящие конуса, образующие которых имеют уклон (=1:2 .

Построенные горизонтали насыпных откосов позволят определить линии, по которым они пересекаются с землей и с западным плоским откосом площадки (линии р и q).

Наконец, завершающим, третьим этапом работы будет определение границы выемки, примыкающей к восточному полукруглому выступу площадки. Горизонтали этой конической выемки представляют собой концентрические дуги окружностей.

Пример 2. Определить границы земляных работ при строительстве железной дороги, ось которой проходит через точку А34 с уклоном /°/оо. Поперечные про-

начертим ее горизонтали, ограничивая их бровками в зоне насыпи и удлиняя каждую из них в обе стороны от оси на 2 м там, где будет выемка. Это «расширение»