Uchebniki / Начертательная геометрия Крылов

Рис. 277

ры, а плоскостью симметрии служит плоскость xOz. Биквадратная кривая, по которой пересекаются сфера и цилиндрическая поверхность, определяется системой следующих уравнений:

В этой системе цилиндрическая повер-

хность задана первым уравнением, сфе-

ра — вторым.

Для того чтобы получить уравнение проекции линии пересечения на плоскость хOz, необходимо исключить координату у.

Вычитая из второго уравнения системы первое, получим

2ax + z2 = R2 — л2 + а2,

Итак, фронтальная проекция т.2 линии пересечения цилиндра и сферы может быть представлена уравнением (9.3). Эта линия — парабола. Ее вершина имеет координаты х = с, z = 0.

В заключение данной главы приведем алгоритм определения линии пересечения поверхностей с помощью их параметрических уравнений, вывод которых дан в § 42 ... 47. Предлагаемую методику целесообразно использовать при рабо-

поверхностей, одна из них у, фиксирует образующую, а вторая и, — точку на ней.

Искомая линия будет определена системой уравнений (9.4) и (9.5). Приравняв координаты радиусов-векторов точек, принадлежащих ли-

Для решения этой системы необходимо задаться рядом значений одного из параметров Ц; или Vi. Заметим, что достаточно найти только два параметра, фиксирующих точку на одной из заданных поверхностей.

В гл. 18 будет приведен пример, иллюстрирующий применение изложенной методики.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Перечислите графические операции при построении плоских сечений любой поверхности.

2.Назовите три этапа решения задачи на пересечение прямой линии с поверхностью.

3.При каких условиях линия пересечения поверхностей может быть построена с помощью концентрических сфер?

4.Перечислите условия, при выполнении которых можно применять способ эксцентрических сфер.

5.Что представляет собой множество центров пучка сфер, под которым понимают сферы, пересекающиеся по одной окружности?

6.Как построить плоскость, которая проходит через данную прямую I и пересекает конус вращения по параболе?

7.На поверхности сферы определить точки, равноудаленные от трех заданных точек, расположенных вне сферы.

8.При каком условии две поверхности вращения общего вида могут иметь общую плоскость симметрии?

9.В каких случаях линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на две плоские кривые?

10.Как определить точки, удаленные на расстояние а мм от каждой из трех пересекающихся прямых, не принадлежащих одной плоскости?

11.На кривой линии I определить точку,

ближайшую к поверхности вращения (рис.

279).

12.Как на данной прямой определить точки, удаленные от поверхности вращения на рассто-

Г Л А В А 10

ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ

ККРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Вдифференциальной геометрии доказывается, что касательная плоскость к поверхности Ф в точке А представляет собой множество прямых, касательных к любым кривым, проходящим по поверхности через данную точку.

ниже, покажут, что плоскость может касаться поверхности либо в точке, либо по линии (прямой или плоской кривой). Касаясь поверхности в данной точке, плоскость может пересекать поверхность по одной или двум линиям. На поверхности могут быть точки, в которых либо нельзя провести касательную плоскость, либо касательная плоскость не определяется единственным образом. Такие точки называются о с о б ы м и . К их числу относятся точки самопересечения поверхности, точки ребра возврата, заостренные вершины поверхностей вращения (когда образующая пересекает ось вращения не под прямым углом).

Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называ-

верхности. Так называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на построение нормалей к кривым поверхностям можно свести к задачам на построение касательных плоскостей.

f 55. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ К ЛИНЕЙЧАТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Линейчатые поверхности представляют собой множество прямых линий — образующих. Плоскость, касательная к линейчатой поверхности в произвольной точке на данной образующей, проходит через эту образующую. Сказанное объясняется тем, что каждая образующая является своей собственной касательной.

Рис. 258

В общем случае, переходя от точки к точке вдоль образующей, нормаль к поверхности меняет свое направление. Вместе с нормалью вращается и касательная плоскость, причем осью вращения является та образующая, вдоль которой движется точка касания (рис. 281).

Если же все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, то касательная плоскость при движении точки касания вдоль образующей остается неподвижной (рис. 282).

В том случае, когда это условие выполняется для всех образующих, линейчатая поверхность — развертывающаяся (см. § 43).

Рассмотрим конкретные примеры построения касательной плоскости к некоторым линейчатым поверхностям.

Пример 1. Построить плоскость, касательную к конусу и проходящую через точку А, лежащую на его поверхности (рис. 283).

Образующая SM, проведенная через s

зующим SK и SL, определяется пересекающимися прямыми: a (b[\t) и p(&f|*')- Задача имеет решение, если точка М вспомогательной прямой b не находится внутри основания конуса.

К построению плоскости, параллельной данной" прямой (световому лучу) и касательной к конусу или цилиндру, приходится прибегать при определении контуров собственной и падающей тени. Если эти тела стоят на горизонтальной плоскости (земле), удобно пользоваться горизонтальными следами плоскостей.

Пример 4. Построить плоскость, касательную к цилиндру и параллельную данной прямой а (рис. 288).

Так как искомой плоскости должна принадлежать одна из образующих цилиндра (линия касания) и прямая, параллельная данной а, то для определения направления следов t касательных плоскостей необходимо построить плоскость 6, параллельную а и образующим цилиндра. На рис. 288 плоскость б, проведенная через произвольную точку А, определена пересекающимися прямыми: AM и AM1 (АМ\\а, АМ{ параллельна образующим).

Две искомые плоскости ос и' р, параллельные 6, коснутся цилиндра по образующим КК' и LL' соответственно (t и параллельны ММ1 ).

Пример 5. Построить касательную плоскость к однополостному гиперболоиду вращения и проходящую через точку А на его поверхности.

Однополостный . гиперболоид вращения — поверхность дважды линейчатая.

Рис. 289

Через каждую точку этой поверхности можно провести две прямолинейные образующие. Они-то и определят искомую плоскость.

Касаясь поверхности в данной точке, эта плоскость пересекает гиперболоид по двум прямым. На рис. 289 горизонтальные проекции прямолинейных образующих построены как касательные к горловой окружности, проведенные из At. Фронтальные проекции этих прямых получены с помощью точек М и М\ в которых образующие пересекают верхнее основание гиперболоида.

Заметим, что касательная плоскость и к другой дважды линейчатой поверхности — гиперболическому параболоиду — также определяется теми двумя прямолинейными образующими, которые проходят через заданную точку на поверхности.

Рис. 290

Если задана одна проекция "точки, например Лг, вторую определяем с помощью проведенной через заданную точку параллели — окружности радиуса г.

В качестве кривых, проходящих по поверхности через точку Л, целесообразно взять уже построенную параллель и меридиан. Касательная к первой — прямая АВ, находясь в одной горизонтальной плоскости с рассматриваемой параллелью, спроецируется на Пг в прямую, параллель-

второй прямой (касательной к меридиану) повернем меридиан вокруг оси i до совмещения с главным меридианом. Точка А при этом займет положение Л'. Проведем через точку Л1 касательную к главному меридиану и продолжим ее до пересечения с осью i в точке С или до М1 на плоскости у (одна из этих точек всегда может быть найдена в пределах чертежа). Теперь остается привести меридиан и построенную касательную в первоначальное положение. Соединяя точку Л с С или с М, получим вторую прямую, которая, пересекаясь с АВ, определяет искомую касательную плоскость.

Пример 2. Построить плоскость, касающуюся сферы в точке Л на ее поверхности (рис. 291).

Так как радиус сферы, проведенный в точку касания, является нормалью сферической поверхности, то задача построения касательной плоскости сводится к построению плоскости, перпендикулярной радиусу СЛ. Эта плоскость может быть определена прямыми Л и / , первая из которых горизонталь (Л1_1_С|Л|), а вторая — фронталь ^2-1_С2Л2).

Пример 3. Построить плоскость, касательную к сфере и проходящую через точку Л, данную вне сферы (рис. 292).

Через такую точку можно провести множество прямых, касательных к сфере. Это множество представляет собой коническую поверхность с вершиной в заданной точке Л. Такая коническая поверхность,

А

Рис. 292

описанная вокруг сферы, касается ее по окружности т. Вместе с тем любая плос-

а (ЛКПО и сферы имеется только одна общая точка К — точка касания. Задача, таким образом, допускает множество решений.

Искомые плоскости легко построить, если прямая, соединяющая точку А и центр сферы С, перпендикулярна одной из плоскостей проекций. В случае, когда АС — прямая общего положения, необходимо преобразовать эпюр с таким расчетом, чтобы одна из проекций прямой АС оказалась точкой. Решение завершается построением плоскости, касательной к вспомогательному прямому круговому конусу.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Как можно построить касательную плоскость к дважды линейчатой поверхности (однополостному гиперболоиду и гиперболическому параболоиду)?

2.Через прямую линию общего положения провести плоскость, расположенную под заданным углом к плоскости проекции П]. При каком соотношении углов наклона прямой и плоскости

кШ возможно решение этой задачи?

3.Построить плоскость, касательную к сфере

иравнонаклоненную к трем плоскостям проекций.

4.Построить плоскость, касающуюся конуса

исферы.

5.Как построить плоскость, которая касается конуса и параллельна данной прямой?

6.Могут ли две линейчатые поверхности, одна из которых развертывающаяся, а другая неразвертывающаяся, взаимно касаться по прямолинейной образующей?

7. Что называют нормалью к поверхности

взаданной точке ее?

8.Как построить нормаль к поверхности вращения в данной точке ее?

Г Л А В А 11

П О С Т Р О Е Н И Е Р А З В Е Р Т О К

( 57. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с одной плоскостью. Так

как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности — плоских многоугольников.

1. Развертка пирамиды. Развертка пирамиды осуществляется в следующем по-, рядке:

а) определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов. На рис. 293 способом вращения найдена длина боковых ребер и способом замены плоскостей проекций определено основание пирамиды;

б) по найденным трем сторонам (рис. 294) строят какую-либо из боковых граней, например SoAoflo, пристраивая к ней следующую SoBoCo, а затем и осталь-

ные грани (масштаб развертки уменьшен);

в) достраивают основание пирамиды

AoBoCoDo.

Точки, расположенные внутри контура развертки, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. Примером первой пары точек на рисунках слу-

Для определения точки Ко на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям (рис. 293) найти длины отрезков AM (способом замены плоскостей проекций) и SK (способом вращения). Эти отрезки и были использованы затем при построении на развертке сначала прямой SoMo и, наконец, точки Ко-

2. Развертка призмы. В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций (рис. 295). Тогда на эту плоскость (в данном примере на П.») боковые ребра спроецируются в истинную величину.

Пересекая призму вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ее боковым ребрам, строят проекции фигуры нормального сечения — треугольника I, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На рис. 295 Она найдена способом вращения.

Рис. 293

Рис. 294

В дальнейшем строят отрезок /о—1 о (рис. 296), равный периметру нормального сечения. Через точки /о, 20, ЗО и /о проводят прямые, перпендикулярные 1 о— 1 о, на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на

A; Mj

Рис. 295

перпендикуляре, проходящем через точку /о, отложены отрезки loDo — 14D4 и /оА> =

=14Аа.

Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Если требуется, достраивают основания призмы.

Рг Ft Nt G,

В частном случае, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в истинную величину (рис. 297), развертка ее боковой поверхности осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций. Затем в новой системе ГЦ/П,

и совмещают с этой плоскостью боковую

ма) вокруг сторрны AD фронтальные проекции точек F и В (F4 и В4) перемещаются на эпюре по перпендикулярам к A4D*.

Так как после совмещения с плоскостью а все стороны грани ADFB спроецируются на П4 без искажения, то вершины F и В окажутся удаленными от неподвижных точек оси вращения А и D на расстояние, равное истинной длине АВ или DF. Но отрезки АВ и DF проецируются на П| в натуральную величину. Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки F4 и В\ дугой радиуса /Д8, можно получить искомые точки развертки Fo и Во-

Рис. 300

Следующую грань BFGC вращают вокруг ребра BF. На перпендикулярах, по которым перемещаются точки G4 и делаются засечки из точек Fo и Во дугой радиуса (в с . Аналогично строится развертка последней боковой грани призмы.

Построение на развертке точки К, принадлежащей грани ADGC, ясно из рис. 297. Предварительно через эту точку по грани параллельно боковым ребрам проведена прямая NM, которая затем построена на развертке.

§58. РАЗВЕРТКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ИКОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму.

На рис. 298 выполнена развертка . наклонного эллиптического цилиндра. Так как нижнее основание его параллельно плоскости Пь то для построения развертки использован способ раскатки (см. § 57).

Параллельность образующих цилиндра

Рис. 298

плоскости Г1г делает возможным выполнить развертку без предварительного преобразования проекций.

Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n-угольную пирамиду (число я, зависящее от размеров и масштаба чертежа, следует брать в пределах от 8 до 12). Затем строят развертку боковой поверхности вписанной пирамиды (см. рис. 293 и 294). Соединив концы ребер плавной кривой, получают приближенную. развертку боковой поверхности конуса.

На рис. 299 выполнено построение развертки наклонного эллиптического конуса, заданного круговым основанием, лежащим в горизонтальной плоскости, и вершиной S. Истинная величина боковых ребер вписанной восьмиугольной пирамиды найдена способом вращения. Точка М, лежащая на поверхности конуса, перенесена на развертку так же, как и при развертке пирамиды.