Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан. М.В.Ишханян

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

3x4 − 2

3x4

− 2

3 −

lim

= lim

x→∞

x8 + 3x + 4

x→∞

x8 + 3x + 4

→∞

x8 + 3x + 4

3 −

3 − 0

= lim

= 3;

x→∞

1+ 0 + 0 1

Пример 7 Вычислить:

x2 − 5x + 6

2 −

lim

а)

lim

; б)

; в)

x3 −

x→3

x→4 3 − 2x +1

limx→∞( x2 +1 − x2 −1)

Решение а) При подстановке x = 3 в числитель и знаменатель они обращаются в нуль. Следовательно, мы имеем неопре-

деленность вида . Разложим числитель и знаменатель

на множители и перейдем к пределу

x2 − 5x + 6

ax2 + bx + c = a(x − x )(x − x ),

lim

x→3

x3 − 27

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

= lim

(x − 3)(x − 2)

= lim

x − 2

− 2

+ 3x + 9

+ 9 + 9

x→3 (x − 3)(x2 + 3x + 9)

x→3 x2

0
б) Имеем неопределенность вида		.	Умножим числитель и
	0

знаменатель на произведение (2 +		)(3 +			) , получим
	x			2x +1

(2 −

)( 2 +

)(3 +

)

(4 − x)(3 +

)

lim

2x +1

= lim

2x + 1

x→4 (3

−

2x + 1)(2 + x )(3 + 2x +

x→4

(2 +

x )(9 − 2x −1)

(4 - x)(3 +

)

(4 - x)(3 +

)

= lim

2x +1

= lim

2x -1

x→4

+ x )(8 - 2x)

x→4 2(2 +

x )(

4 - x)

= lim

3 +

2x +1

x→4 2 (

2 + x )

8 4

в) Имеем неопределенность [¥ - ¥] . Умножим числитель и

знаменатель на

x2 +1 + x2 -1 .

(

)(

)

x2 +1

x2 -1

x2 +1

x2 -1

= lim

+1)

- (x

-1)

lim

x→∞

+1 + x

-1

x→∞

+1 + x

-1

= lim

= 0

x→∞

+1 +

-1

Пример 8 Найти:

4x − 64

tgx - sin x

1- cos 5x

а) lim

;

б) lim

; в)

lim

- cos 2x

x − 3

x→0

x→0 1

x→3

Решение а)

. Воспользу-

Имеем неопределенность вида

емся соотношениями эквивалентности

tgx - sin x

tgx(1- cos x)

x ×

lim

= lim

x→0

→0

x→0

б) Имеем неопределенность вида

шениями эквивалентности

lim	1	− cos 5x	= lim	(5x)2	2	= lim
		− cos 2x		(2x)2
x→0 1			x→0		2 x→0

. Воспользуемся соотно-0

25x2 = 25

4x2 4

в) Имеем неопределенность вида . Введем новую перемен-0

ную y = x − 3 . Тогда x = y + 3 и

lim

- 64

= lim

y+3

- 64

= lim

64 × 4

- 64

= lim

64 ×(4y -1)

→3 x - 3

y→0

Теперь воспользуемся соотношениями эквивалентности

lim

64 ×(4y

-1)

= lim

64 y ln 4

= 64 ln 4 = 128 ln 2

→0

y→0

8 x2 +3

; б) lim(1+ sin x)

Пример 9 Найти: а) lim

2 x

x→∞

x→0

Решение а) Так

как lim

2x2 + 3

= 1, lim (8x2

+ 3) = ¥ , то

x→∞ 2x2 + 5

x→∞

имеем неопределенность вида 1∞ . Представим в виде

8 x2 +3

2 x +3

+ 3

8x +3

2 x +3

(8 x2 +3) ln

(8x

+3) ln 1−

= e 2 x

= e

2 x

= e

2 x

+ 5

−

Вычислим lim(8x

3) ln 1

x→∞

+ 5

Имеем неопределенность [0×¥] . Введем новую переменную

y =

, тогда

8 + 3y2

2 y2

8 + 3y2

-2 y2

lim

ln 1

= lim

2 + 5 y

y→0

= lim -2(8 + 3y2 )

= -8

y→0

2 + 5 y2

Отсюда окончательно получим

8 x2

+ 3

lim

= e−8 .

x→∞ 2x

+ 5

б) lim(1+ sin x)2 x

x→0

=		∞	= lim e	1	ln(1+sin x)	= e	lim	ln(1+sin x)	=
								2 x
				2 x			x→0
	1
			x→0

lim

sin x

lim

= ex→0 2 x = ex→0 2 x = e2 = e

Задачи

Найти пределы:

50.

lim

(

x3 + 5x2 + 6x +1

x→−1

x2 + 4

)

51.

lim

+ x − 3

x→1 x2

52.

lim

3x + 2

x→1 x2 -1

53.

lim

− 25

− 5

x→5

54.

lim

− 2x + 1

x→1 2x2 + x − 3

55.

lim

+ 4x −1

2 + x + 2

x→1 3x

56. lim

x→0

57. lim

x→3

58. lim

x→0

59. lim

x→1

60. lim

x→∞

	5x2					1
				+ 4 x
							.
1− x			2

9 - x2					.
		- 3
	3x

1 + 2x −1 x2 − 3x + 2

x2 + x + 4

3x − 4

x - 2

61.

lim

3x4 − 2

x→∞

x8 + 3x + 4

62.

lim

7 x2 + 5x +1

x→∞ 3 +14x2 + 2x

63.

lim

5x3 − 7x

x→∞ 1 − 2x3

64.

lim

2x − 3

x→∞ x2 + 2

65.

lim

2x3 + 4

x2 + 5

x→∞

− x

66.

lim

4x2 +1

3x + 5

x→∞

(

)

67.

lim

x2 +1 50

( x +1)100

x→∞

3x2 + 1

68.

lim

+ 4 x−1

1− x

x→∞

−

69.

lim

1+ x

1− x

x→0

70.

lim

sin(3x)

x→0

19x

71.

lim

sin(5x2 )

7 x2 + x

x→0

72.

lim

sin(2x)

x→0 sin(3x)

73.

lim

1− cos(4x)

x→0

x2 + x3

74. lim	sin 2x − cos 2x −1	;

x→π	cos x − sin x
4

75.	lim	sin10x		.

	x→π	sin 9x
		(			−		)
76.	lim		x2 + 4			x2 − 3x +1
	x→−∞

77. lim .

x→0 3 1+ x − 3 1 − x

78.limx→∞ (x − 2 − x )

79.xlim→+∞ ( x2 + 3x + 1 − x2 − 3x − 4 )

	lim					1				−			2
80.															.
80.												2		−1	.
	x→1		x			−1 x								−1
	lim					1					+			4
81.																.
81.													2			.
	x→−2		x			+ 2 x								− 4
				2 x
82.	lim 5			x+3			.
	x→∞			1− 2sin x
83.	lim			1− 2sin x									.
83.	lim												.
	x→π	6			π 6 − x
		1− 3
84.	lim	1− 3						x		.
84.	lim									.
	x→1 1− 5							x
85.	lim	x + 1							x
									.
									.
	x→∞	x −1
86.	lim	2x + 3 x+1


	x→∞	2x +							1

	x2		+ 5	x2
87.	lim
		2	− 5
	x→∞ x
	x2		−1	2 x2
88.	lim
		x	2
	x→∞


Определить при x → 0 порядки							малости	бесконечно малых
функций относительно бесконечно малой функции x :
		x5					91.	(2x −1)ln (1 + sin 5x )
89.					arcsin x .
		x7 + 1
	1			+ x			92.	(3x −1)ln cos 2x .
90.	ln					.
			1	− x

Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными, найти пределы:

93.

lim

arctg(2x −1)

4x2 −1

x→1 2

−1

cos x

94.

lim

x→0

5 cos 2x −1

95.

lim

e−2 x −1

x→0 arcsin x

−

99. lim

1+ sin x

1− sin x

x→0

−

sin(x − 3)

+ 4

100. lim

( x−3)2

x→3

− 9

101. lim

2x sin x

x→0

−1

cos 2x


96.	lim	ln(1+ sin x)				.

	x→0		2sin 3x −1
97.	lim		e3 x + x	1 x	.
				)
	x→0 (

98.lim sin 3x − sin 2x x→0 sin 5x − sin 4x

102.	lim			sin2 3x

	x→0		1− 3x2 −1
		( 5			−1)(2x−1 −1)
103.	lim			x
			cos ( x −1) −1
	x→1

104. lim (1+ 3tgx)sin x .

x→0

105. lim (tgx )tg 2 x

x→ π

cos x x2

106. lim x→0 cos 3x

Задачи для самостоятельного решения

7.1. lim	9x5	− 4x4 + 2

x→∞ 3x5 − 2x −1
7.2. lim	7 x3 − 4x2 + 6

x→∞ 3x3 + 10x2 + 5x
7.3. lim	x4 − 3x2 + 2
		− 3x − 2
x→∞ 5x4
7.4. lim	x3	− 4x2 + 6
		+ 10x2 + 5x
x→∞ 2x3
7.5. lim	x3 − 3x2 + 2
		+ 8x − 6
x→∞ 5x4
7.6. lim	6x5	− 3x2 +1
		− 2x + 3
x→∞ 3x5
7.7. lim	x3	− 4x2 + 6
		+ 10x2 + 4x
x→∞ 3x3
7.8. lim	x3 − 4x − 2
		+ 3x2 −1
x→∞ 5x3
7.9. lim	( x +1)3 + ( x −1)3
		x3 +1
x→∞
		3x4 − 2
Вычислите пределы:

7.10. lim	+ 3x + 4
x→∞ x8

Задание 7

7.11. lim (3x − 4)( x + 1)

x→∞ x3 + x2 + 2

7.12.		( x + 2)2 − ( x − 2)2
	lim			x + 2
	x→∞
7.13.	lim	6x2		+ 3x
			− 3x + 5
	x→∞ 2x2

7.14.lim ( x − 3)2 − ( x + 3)2

→∞ ( x + 2)2x


7.15. lim	7x2		− 3x
		+ 6x −1
x→∞ 2x2

			x4
7.16.	lim				− x2
			2	+ 2
	x→∞	x
7.17.	lim	2x2		− 3x + 1
				+ x + 4
	x→∞ 3x2
7.18.	lim	5x3		− 2x + 1
				+ x − 3
	x→∞ 2x2

7.19.

lim

3 − x2 − 2x

7.25.

lim

6x5

− 4x2 + 1

x→∞ x2 + 4x +1

x→∞ 3x5 − x + 3

7.20.

lim

x3 − 2x + 1

7.26.

lim

6x4

− 3x5 +1

− 2x + 3

7.21.

x→∞ 2x4 + x + 5

)

7.27.

x→∞ 4x5

lim (

5x − 4

)(

2x + 2

lim

− 2x +1

5x3 + 2x2 + 2

x→∞

2x4 + x3 − 3

− 3x + 4

7.28.

lim

( x +1)3 − ( x −1)3

x3 +1

7.22.

lim

x→∞

x→∞ 2x3 + 5x −1

7.23.

lim

4x4 − 4x3 − 2

7.29.

lim

4x3 − 4x2 − 2

x→∞ 5x3 + 3x2 −1

+ x

+ 4x

x5 − 4x2 +1

x→∞

7.24.

lim

7.30.

lim

x3 − 4x2 + 6

x→∞ 3x5 − 9x + 3

− 4x

+ 4x

x→∞ x

Задание 8

Вычислите пределы:

8.1. lim

2x2

−11x + 5

8.7. lim

3x2

−14x − 5

− 6x + 5

x→2 x2 − 7 x +10

x→5 x2

8.2. lim

2x2

−13x − 7

8.8. lim

2x2 − 7 x + 3

− 9x +14

−16x + 3

x→2 x2

x→

51 5x2

8.3. lim

3x2

− 40x + 128

8.9. lim

3x2 + 5x − 2

x − 8

x→2

x→0,5 2x2 + 3x − 2

8.4. lim

2x2 − x −1

8.10.

lim

x3 − 8

+ x − 4

x→1 3x2

x→2 2x − 4

8.5. lim

5x2

− 51x + 10

8.11.

lim

4x2

− 8x + 3

x −10

− 7 x + 3

x→0

x→3 2x2

8.6. lim

2x2

− 5x − 3

8.12.

lim

5x2

− 2x − 39

− x2

− 2x + 15

x→2 x2 − 5x + 6

x→5

8.13.	lim	x2		+ x −12
			3x − 9
	x→1
8.14.	lim	x3		+ 8
				− 4
	x→2 x2
8.15.	lim	x3		−1
				− 3
	x→1 3x
8.16.	lim	2x2 + x −1
		x		− 6x − 7
	x→7		2
8.17.	lim	x2		+ x −12
		x		+ 2x − 8
	x→2		2
8.18.	lim	x2		− 3x + 2
				x − 2
	x→2
8.19.	lim	x2		− 5x + 6
				− x − 2
	x→2 x2
8.20.	lim	x2		+ 3x −10
			x2 − 25
	x→2
8.21.	lim	2x2 − 3x +1
				x2 −1
	x→−1

Вычислите пределы:

9.1. lim	5x + 4				− 3
9.1. lim
x→1		2x −1 −1
9.2. lim		x − 2


x→2	4x + 1 − 3
				− 3
9.3. lim	1+ 2x			− 3
9.3. lim
x→4			x − 2

8.22.	lim	x3		− 27
			x2 − 9
	x→3
8.23.	lim		2x2 − 7 x + 3
				x − 3
	x→0,5
8.24.	lim		x2 + 3x + 2

	x→−1 2x2 +10x + 12
8.25.	lim	x2		+ x − 56
			x2 − 49
	x→7
8.26.	lim			x3 −1
				− 2x +1
	x→1 x2
8.27.	lim	x4		− 4x2 + 3
				x −1
	x→−1

8.28.lim x2 − 5x + 6

→−1 x2 − 2x − 3x

8.29.	lim	2x2			− x −1
					+ x − 4
	x→1 3x2
8.30.	lim		x2	+ 4x − 21
					x + 7
	x→−7

Задание 9

9.4. lim

1+ x

− 3

x→8

2 − 3 x

− 3

9.5. lim

x + 9

x2 + x

x→0

− 2

9.6. lim

x −1

x→5

2x −1 − 3

3	x − 6	+ 2
9.7. lim
	x3 + 8
x→−2

9.8. lim

2x + 3

− 3

x→3

x − 2 −1

9.9. lim

1−

2x +1

x→0

−1

9.10. lim

2x + 3

x→−1

5 + x − 2

+ 2x

9.11. lim

x2 + 3

x +1

x→−1

−1

9.12. lim

1+ x + x2

x→0

9.13. lim

x − 3

x→3

x2 − 5 − 2

9.14. lim

x − 2

x→2

4x + 1 − 3

−1

9.15. lim

x − 5

36 − x2

x→6

− 2

9.16. lim

x − 3

x2 − 49

x→7

− 3

9.17. lim

1− x

x→−8

2 + 3 x

9.18. lim	1	− 1		− x

x→0 1		− 3 1		+ x
					−1
9.19. lim			x + 4
			x + 3
x→−3


9.20. lim	x2	−1 − x + x2 − 3
			x2 − 4
x→2

x + 3 − 2 9.21. lim x→1 1− 2 − x

x + 9 − 3 9.22. lim

x→0 1− x −1

9.23. lim

x + 1

x→−1 x + 5 − 2

9.24. lim

x + 2

− 2

x→2

x −1 −1

9.25. lim

1−

1− x

x→0 2 − 3 8 − x

9.26. lim

3 −

7 + x

x − 2

x→2

− 2

9.27. lim

x +1

x→3

2x − 2 − 2

− 3

9.28. lim

x +11

x2 + 2x

x→−2

−

9.29. lim

1+ x

1− x

x→0

− 3

9.30. lim

2x +1

x→4

x − 2 −

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.201523.18 Кб63Маржинальный анализ.docx
#
09.06.201550.34 Кб8Маркетинг лекции.docx
#
28.03.20162.5 Mб14Мастер редактирования фото и изображений.pdf
#
09.06.2015782.85 Кб32Мат.+ТКМ+Св.doc
#
09.06.2015150.17 Кб22мат.pdf
#
09.06.20151.39 Mб266Матан. М.В.Ишханян.pdf
#
09.06.2015781.97 Кб20матан.pdf
#
28.03.2016322.44 Кб19Математика КР4,5.pdf
#
19.11.20191.02 Mб5Математика новая.doc
#
09.06.20151.98 Mб285Математика ответы на билеты(1курс).docx
#
09.06.20151.05 Mб12Математика работа 1.pdf