Матан. М.В.Ишханян
.pdf
Задачи для самостоятельного решения
Задание 27
Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
27.1. 5
32,16
27.2.ln (1, 003)
27.3.3
7,97
27.4.
9, 03
27.5.ln (0, 99)
27.6.4
15, 96
27.7.
8, 76
27.8.4
80, 73
27.9.cos 610
27.10.arcsin 0,08
27.11.3
124, 98
27.12.
25,12
27.13.ctg π − 0,017
4
27.14. 5
32,11 27.15. ln1,03
27.16.
36, 06
27.17.cos π + 0, 001
2
27.18.e0,01
27.19.3
27, 03
27.20.tg (π + 0, 001)
27.21.4
16, 04
27.22.
1, 005
27.23.ln 0,97
27.24.(1, 03)5
27.25.arcsin 0,51
27.26.4
15,8
27.27.arctg1, 05
27.28.ln1,1
27.29.arcsin 0,04
27.30.sin 320
130
5.9. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Раскрытие неопределенностей вида 0 .
0
Первое правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций
x →a есть неопределенность вида |
0 |
, если |
|
|
|||
|
0 |
|
|
lim f (x) = lim g(x) = 0. |
|||
x→a |
x→a |
|
|
f (x) при g (x)
Раскрыть неопределенность – значит вычислить предел
lim f (x) , если он существует, или установить, что он не суще-
x→a g (x)
ствует.
Сформулируем первое правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g ( x) определены и дифференцируемы в некоторой окре-
стности точки a . Пусть, далее,
lim f (x) = lim g(x) = 0 и g′(x) ¹ 0 |
|
x→a |
x→a |
в указанной окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a . Тогда, если существует предел отношения про-
изводных lim f ′(x) (конечный или бесконечный), то существует
x →a g ′(x)
и предел lim f (x) , причем справедлива формула
x→a g (x)
lim f (x) = lim f ′(x) .
x→a g (x) x→a g′(x)
Замечание. Формула (правило Лопиталя) остается верной и в случае, когда x → a − 0, x → a + 0, x → ∞, x → +∞ и x → −∞ .
Пример 1 Найти предел lim |
x2 |
−16 |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
x→4 x2 |
− 5x + 4 |
|||
131
Решение
|
|
x2 − 16 |
0 |
|
(x2 −16)′ |
|
2x |
|
8 |
|
||||
lim |
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
= lim |
|
|
= |
|
. |
|
2 |
− 5x + 4 |
|
(x2 − 5x + 4)′ |
|
|
|
|||||||
x→4 x |
|
|
0 |
x →4 |
x→4 2x |
− 5 3 |
|
|||||||
Пример 2 Найти предел
Решение |
|
|
|
|
||
|
ex −1 |
0 |
|
|
||
lim |
|
|
= |
|
|
= |
|
0 |
|||||
x→0 x |
|
|
|
|||
Пример 3 Найти предел
Решение
lim |
ex |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
e |
x |
− |
1 |
′ |
|
|
|
x |
|
lim ( |
|
|
|
) |
= lim |
e |
= lim ex = 1. |
|||||
|
|
x′ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 1 |
x→0 |
||||||
lim |
|
|
|
|
ex − e− x |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 ln (e − x) + x −1 |
|
|
||||||||||
|
ex − e− x |
0 |
|
|
|
|
|
(ex − e− x )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( ( |
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||
x→0 ln (e − x) + x −1 |
0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ln e − x |
|
+ x − |
1 |
′ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= lim |
ex + e− x |
|
= lim |
1 + 1 |
|
|
= |
2e |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|||||||||
|
|
|
x→0 |
− |
|
+ 1 |
|
|
x→0 |
− |
+ 1 |
|
|
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
e − x |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание. Если производные |
f ′(x) |
|
и g′(x) удовлетворяют |
|||||||||||||||||||||
тем же требованиям, что и сами функции |
f ( x) и g ( x) , то прави- |
|||||||||||||||||||||||
ло Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем:
lim f ( x) = lim f ′( x) = lim f ′′(x) .
x→ a g ( x) x →a g ′(x) x →a g ′′( x)
Пример 4 Найти предел lim 1 − cos x .
x→0 x2
Решение
132
|
1 - cos x |
|
0 |
|
|
|
1 - cos x ¢ |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
(x2 )¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
0 |
|
x→0 |
|
|
x |
→0 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
sin x |
0 |
|
1 |
|
(sin x)¢ |
|
1 |
|
cos x |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
lim |
= |
|
lim |
|
= |
|
×1 = |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 x→0 |
0 |
|
|
|
2 x→0 |
|
x¢ |
|
2 x→0 |
|
|
|
|||||||||||||
Напомним, что lim |
sin x |
=1 и по первому замечательному пре- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5 Найти предел lim |
x - sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
x - sin x |
= |
0 |
|
= lim ( x - sin x)¢ = lim |
1 - cos x |
= |
0 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x |
3 |
|
0 |
|
x→0 |
(x3 )¢ |
|
x→0 |
3x |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 - cos x)¢ |
|
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
sin x |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
×1 = |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
(3x2 )¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 6x |
|
|
6 x→0 |
|
x |
|
6 |
|
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
Раскрытие неопределенностей вида |
¥ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
Второе правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение |
двух функций |
|
x →a есть неопределенность вида ¥ |
, если |
|
|
¥ |
|
lim f (x) = lim g(x) = ¥ , |
+∞ или −∞ . |
|
x→a |
x→a |
|
f ( x) при g ( x)
Сформулируем второе правило Лопиталя. Пусть функции f ( x) и g ( x) определены и дифференцируемы в некоторой окре-
стности точки a . Пусть, далее,
lim f (x) = lim g(x) = ¥ и g′(x) ¹ 0 |
|
x→a |
x→a |
|
133 |
в указанной окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a . Тогда, если существует предел отношения про-
изводных lim f ′(x) (конечный или бесконечный), то существует
x →a g ′(x)
и предел lim f (x) , причем справедлива формула
x→a g (x)
lim f (x) = lim f ′(x) .
x→a g (x) x→a g′(x)
Замечание. Приведенное правило раскрытия неопределенности вида ∞∞ аналогично правилу раскрытия неопределенности вида
|
0 |
. Замечания, относящиеся к неопределенности вида |
0 |
|
оста- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
ются в силе и для всех других неопределенностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6 Найти предел |
lim |
6x2 −11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
6x |
2 |
−11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6x −11 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
12x |
|
12 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
(5x2 + 4)′ |
= lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
5x |
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
∞ |
x→∞ |
|
x→∞ 10x 10 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 7 Найти предел lim |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ln x |
∞ |
|
|
|
|
(ln x)′ |
|
|
1 / x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= lim |
|
′ |
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
= 0. . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
∞ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрытие неопределенностей вида 0 ×¥ и ∞ − ∞ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Неопределенности вида 0 ×¥ и ∞ − ∞ можно свести к неоп- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ределенностям вида |
|
|
|
и |
∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 8 Найти предел |
lim |
x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение Имеем неопределенность вида 0 ×¥ . Так как |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln x = |
ln x |
, то получаем неопределенность вида |
¥ |
. Применяя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¥ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 / x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
второе правило Лопиталя, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim x ln x = lim |
ln x |
= lim |
|
|
(ln x)′ |
|
|
= lim |
|
1 / x |
= lim x = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 / x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
x→0+0 |
|
|
|
x→0+0 1 / x |
x→0 |
+0 (1 / x)′ |
|
|
x→0 |
+0 |
|
|
x |
→0 |
+0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 9 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
( |
ln x |
¢ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
x ln x = [0 ×¥] = lim |
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
= lim |
|
|
|
) |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−1/ 2 )¢ |
|||||||||||||||||||||||||||
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 1 / x |
|
x→0+0 x−1/ 2 |
x→0+0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2x3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= -2 lim x |
|
|
= 0. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0+0 |
- |
x |
−3/ 2 |
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 9 Найти предел lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
- tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение Имеем неопределенность вида ∞ − ∞ . Так как |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
- tgx = |
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
sin x |
= |
1 - sin x |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то при том же условии x ® π получаем неопределенность вида
2
0 . Воспользуемся первым правилом Лопиталя
0
|
1 |
|
|
|
1− sin x |
|
|
|
|
|
1− sin x |
′ |
|
|
cos x |
|
|||
lim |
− tgx |
= lim |
|
= lim |
( |
|
|
) |
= lim |
= 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos x)′ |
|
||||||||||||
π |
|
π |
cos x |
|
|
π |
|
π |
sin x |
||||||||||
x→ 2 |
cos x |
|
|
x→ 2 |
|
x→ |
2 |
|
|
x→ |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
Пример 10 Найти пределlim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→1 ln x |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
||||
135
Глава 6. Исследование функции. Построение графика функции
6.1. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
Говорят, что функция y = f ( x) возрастает (убывает) на
интервале (a; b) , если для любых |
различных точек x1 , x2 |
из (a; b) справедливо неравенство |
( f (x2 ) - f (x1 ))( x2 - x1 ) > 0 |
(( f (x2 ) − f (x1 ))( x2 − x1 ) < 0) , т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Теорема 1 Если функция f ( x) |
дифференцируема на (a; b) и |
f ¢( x ) > 0 ( f ¢( x ) < 0 ) для любого |
x Î(a; b ) , то f ( x) возрастает |
(убывает) на (a; b) . |
|
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функ-
ции f ( x) , определённой в некоторой окрестности x0 , если существует некоторая окрестность ( x0 - δ ; x0 + δ ) этой точки, такая, что для любого x Î ( x0 - δ ; x0 + δ ) , x ¹ x0 справедливо нера-
венство f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 ) ); при этом f (x0 ) называют
максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума) Если функ-
ция f ( x) дифференцируема в промежутке(a; b) и x0 (a;b) является точкой экстремума f ( x) , то f ¢( x0 ) = 0 .
139