Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан. М.В.Ишханян

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

6.17. a

n −1

, a = −

1− 2n

6.18. a

4n +1

, a =

3n + 2

6.19. a

3n −1

, a =

5n +1

6.20. a

4n − 3

, a = 2

2n +1

6.21. a

5n +1

, a =

10n − 3

6.22. a

2 − 2n

, a = −

3 + 4n

6.23. a

23 − 4n

, a = 4

2 − n

6.24. a

1+ 3n

, a = −3

5 − n

6.25. a

2n + 3

, a = 2

n + 5

6.26. a

3n + 2

, a =

4n −1

6.27. a

2 − 3n

, a = −

4 + 5n

6.28. a

n −1

, a = 1

n +1

6.29. a

4n − 3

, a = 2

2n +1

6.30. a

2n −1

, a = −

2 − 3n

Глава 3. Предел функции

3.1.Понятие предела функции

Пусть функция f (x) определена во всех точках интервала (a, b) , за исключением, быть может, точки x0 Î(a, b) . Число

A называется пределом функции f ( x) при x → x0 , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 такое, что для любого x , удовлетворяющего неравенству 0 < x - x0 < δ , выполняется

неравенство f ( x ) − A < ε , при этом пишут lim f ( x) = A .

x→x0

Можно дать другое, равносильное приведенному, определе-

ние: число A называется пределом функции f ( x) в точке x0 ,

если для любой последовательности чисел { xn } Ì (a; b) , схо-

дящейся к x0 , xn ¹ x0 , lim f			( xn ) = A
	n→∞
Если f ( x) определена в интервале							(a, + ¥) , то число
A называется пределом		f ( x)			при x → +∞ ,			если для любого
ε > 0 существует число		b > a ,			такое, что неравенство x > b
влечет за собой неравенство				f ( x ) − A		< ε .

При этом пишут lim f		( x) = A или f (+¥) = A .
	x→+∞		lim f ( x) = A .
Аналогично определяется
			x→−∞				f ( x) в точке x0
Число A называют пределом функции
слева	(справа) и пишут	lim			f ( x) = A или			f ( x0 - 0) = A
		x→x0 −0
( lim	f ( x) = A , или f ( x0 + 0) = A ) , если для любого ε > 0
x→x0 +0
			51

найдется δ > 0 такое, что для всех

x ( x0 − δ ; x0 )

(для всех

x ( x0 ; x0 + δ ) ) справедливо неравенство

f ( x ) − A

< ε .

Число

A является пределом

f ( x) в точке

x0 , если совпа-

дают

пределы

f ( x)

этой

точке

слева

справа:

f ( x0 − 0) = f ( x0 + 0) = A .

Если функция

f ( x) определена в интервале (a; x0 ) (в ин-

тервале ( x0 ; b) ) и для любого M существует

δ > 0

та-

кое,

что

для

любого

x ( x0 − δ ; x0 )

(для

любого

x ( x0 ; x0 + δ ) )

справедливо неравенство

f ( x) > M ,

то говорят, что левый (правый)

предел функции f ( x) в точке

равен

+∞ ,

и при

этом

пишут

lim

f ( x) = +∞

или

x→x0 −0

f ( x0 − 0) = +∞ ( lim f ( x) = +∞ или f ( x0 + 0) = +∞ ).

x→x0 +0

f ( x) = −∞ и

Аналогично, определяются

lim

f ( x) = −∞ .

x→x0 −0

lim

x→x0

lim(2x −1) = 5 .

Пример 1 Доказать, что

x→3

Решение Покажем, что для произвольного сколь угодно малого действительного числа ε > 0 можно найти δ = δ (ε ) такое,

что для

любого x , удовлетворяющего неравенству

0 <

x − 3

< δ , выполняется неравенство

f ( x ) − 5

< ε .

Имеем

f ( x ) − 5

2x −1− 5

= 2

x − 3

< ε

То есть

x − 3

< ε / 2

Поэтому, если по данному ε > 0 взять δ = ε / 2 , то из не-

равенства			x − 3	< δ = ε / 2 будет следовать неравенство
равенства			x − 3	< δ = ε / 2 будет следовать неравенство
	f ( x ) − 5	< ε , а это и означает, что lim f ( x) = 5 .
	f ( x ) − 5	< ε , а это и означает, что lim f ( x) = 5 .
				x→3
				x→3

3.2.Свойства предела функции

Сформулируем основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Если функция f ( x) имеет предел в точке x0 , то

этот предел единственный.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы функций

f ( x) и g ( x)

в точке x0 , то

lim( f ( x) ± g ( x)) = lim f ( x) ± lim g ( x)

x→x0

lim( f ( x)× g ( x)) = lim f ( x)× lim g ( x)

x→x0

lim(c·f ( x)) = c·lim f ( x) , где c = const

x→x0

f ( x)

lim f ( x)

lim

x→x0

, если lim g ( x) ¹ 0

lim g ( x)

x→ x0 g ( x)

x→x0

Теорема

Еслиlim f (u ) = c иlim g ( x) = b

,то предел

u →b

x→a

сложной функцииlim f ( g (x)) = c

x→a

Теорема

Если

некоторой

окрестности

точки

f (x) ≤ g(x) ,то lim f ( x) £ lim g ( x)

x→x0

Теорема

Если

некоторой

окрестности

точки

v(x) ≤ f (x) ≤ g(x) и lim v ( x) = lim g ( x) = b ,то lim f ( x) = b
x→x0	x→x0	x→x0
	53

Теорема 6.		Если существуют конечные пределы
lim f ( x) = A > 0, lim g ( x) = B ,то
x→x0		x→x0
lim ( f ( x))	g ( x )	lim g ( x )	= AB
lim ( f ( x))		= lim ( f ( x))x→x0	= AB
x→ x0		x→ x0

Замечание Если предельные значения оказываются равными 0 или ∞, то могут возникнуть неопределенности разных видов. При вычислении пределов могут появляться неопределенности вида

∞

(+∞)

, 1∞ .

∞ , ∞ − ∞ , 00 ,

Пример 2 Найти пределы:

x3 −1

а) lim (x3 + 5x2 + 6x + 1) ,б) lim

, в) lim cos x ,

− 4x + 3

x→−1

x→−1 x2

x→0

x +1

x2 +1

x+3

г) lim arctgx , д) lim 5

е)

lim

x→±∞

x →±∞

x→1 2x +1

Решение а) Пользуясь утверждениями о пределе суммы и произведения получаем, что

lim (x3 + 5x2 + 6x +1) = (−1)3 + 5·(− 1)2 + 6·(− 1)+ 1= − 1

x→−1

б) Пользуясь утверждениями о пределе частного получаем,

что lim

x3 −1

−1 −1

= −

− 4x +

+ 4 + 3

x→−1 x2

3 1

в)

lim cos x = cos 0 = 1

x→0

г)

lim arctgx = + π , lim arctgx = − π

x→+∞

x→−∞

д)

lim 5x = +∞ , lim 5x = 0

x→+∞

x→−∞

x2 +1

lim

x2 +1

1/ 2

x +1 x+3

x +1 x→1 x+3

е)

lim

= lim

x→1

2x +1

x→1 2x +1

3.3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f ( x) называется бесконечно большой при x → x0

, если lim f ( x) = +∞ .

x→x0

Функция α ( x) называется бесконечно малой при x → x0 ,

если limα ( x) = 0 .

x→x0

Из определения бесконечно большой и бесконечно малых функций следует, что, если f ( x) бесконечно большая функ-

ций, то ( ) бесконечно малая и наоборот. f x

Основные свойства бесконечно малых функций

1)Сумма двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функция есть бесконечно малая функция

3) Если lim f ( x) = A , то f ( x) = A + α (x) , где α (x) бес-

x→x0

конечно малая функция при x → x0 .

Основные свойства бесконечно больших функций

1) Если	lim f ( x) = +∞	и	lim g ( x) = A ,то
	x→x0		x→x0

lim( f ( x) + g(x)) = ∞

x→x0

Если lim f ( x) = +¥ и lim g ( x) = +¥ ,то

x→x0

lim(

f ( x) + g(x)) = +¥

x→x0

Если lim f ( x) = ¥ и lim g ( x) = A ¹ 0 ,то

x→x0

lim( f ( x) × g(x)) = ¥

x→x0

Если lim f ( x) = A ¹ 0 , g ( x) ¹ 0 и lim g ( x) = 0 ,то

x→x0

lim

f ( x)

= ¥

x→x0 g(x)

f ( x)

Если lim f ( x) = A и lim g ( x) = ¥ ,то lim

= 0

x→x0

x→x0 g(x)

Пример 3 Найти пределы:

а) lim (x3 + 1) ,б) lim

x +1

, в) lim c tgx , г)

lim tgx

x - 2

x→+∞

x→2

x→0

x→π ±0

+1) = +∞ +1 = +∞

Решение а) lim (x3

x→+∞

x +1

б) lim

= ¥

x→2 x - 2

cos x

в) lim ctgx = lim

= ¥

x→0

x→0 sin x

sin x

г) lim tgx =

lim

= −∞

x→π

x→π +0 cos x

−0

3.4.Сравнение бесконечно малых

Пусть α ( x) и β ( x) бесконечно малые при x ® x0 .

(1) Если отношение	α ( x)	двух бесконечно малых величин
	β (x)

само бесконечно мало, тоα ( x) называется величиной более высокого порядка малости, чем β ( x) . При этом

β ( x) называется величиной более низкого порядка ма-

лости, чем α ( x) .

		α ( x)
	(2) Если отношение			двух бесконечно малых величин
	(2) Если отношение		β (x)	двух бесконечно малых величин
	стремится к конечному пределу, не равному нулю, то
	α ( x) и β ( x)	называются бесконечно малыми одного
	порядка малости. Если				lim		α ( x)	= 1 , тоα ( x) и β ( x)
	порядка малости. Если				lim			= 1 , тоα ( x) и β ( x)
					x→x0		β (x)
	называются		эквивалентными.						Обозначение:
	α ( x) β (x) .
	Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
Пусть α ( x) бесконечно малая при						x → 0 . Тогда

	sinα (x) ~ α (x)				arcsin α (x) ~ α (x)
	tgα (x) ~ α (x)				arctgα (x) ~ α (x)
	ln(1+ α (x)) ~ α (x)				aα ( x) -1 ~ α (x) ×ln a
	1 - cosα (x) ~ (α (x))2 / 2				(1 +α (x))p -1 ~ p ×α (x)

Первый и второй замечательный пределы

Имеют место равенства

sin x

1/ x

lim

= 1

lim 1+

= lim(1+ x)

= e .

x→0

x→∞

x→0

Правило замены эквивалентных

Если α ( x) и β ( x) бесконечно малые при

x → x0

α (x) γ (x),

β (x) δ (x) , то lim

α ( x)

= lim

γ ( x)

δ (x)

x→ x0

β (x)

x→x0

Пример 4 Найти предел lim

1 − cos x

x→0 arctgx2

Решение

Функция

1− cos x ~ x2 / 2 , arctgx2

~ x2 при

x → 0 .

lim

1− cos x

= lim

x2 / 2

= lim

x→0 arctgx2

x→0

x→0 2

(

−1)(earctg 2 3x

−1)

Пример 5 Найти lim

1− sin 2x

(1− cos 2x)ln (1+ 5x)

x→0

Решение Так как lim sin 2x = 0 , то

x→0

−1 −

sin 2x

1− sin 2x

sin 2x 2x

−1 −

2x = −x

1− sin 2x

Далее, earctg 2 3 x

−1 ~ (arctg3x )2

~ (3x )2

= 9x2 ;

1− cos 2x (2x)2

2x2 ;

2 ln (1+ 5x) 5x .

Учитывая это, получаем
lim	(		-1)(earctg 2 3x -1)
		1- sin 2x		= lim -x ×9x2	= lim -9x3	= -	9
		(1- cos 2x)ln (1+ 5x)
x→0				x→0 2x2 ×5x	x→0 10x3	10

3.5.Вычисление пределов в случае неопределенности

Пример 6 Найти пределы:
2x2	− 3x + 2			б) lim	3x4 - 2
а) lim			,				.
	2	+ x +1
					x8 +
x→∞ 3x				x→∞		3x + 4

Решение. а) Имеем неопределенность вида .Разделим

числитель и знаменатель дроби на старшую степень x , т.е. на

x2 .

2x2 - 3x + 2

2 -

lim

= lim

x→∞ 3x2 + x +1

→∞

1 1

3 +

lim

- 3·0+ 2·0

x→∞

;

3 + 0 + 0

lim

x→∞

б) Имеем неопределенность вида

.Разделим числитель и

знаменатель дроби на старшую степень x , т.е. на x4 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.201523.18 Кб63Маржинальный анализ.docx
#
09.06.201550.34 Кб8Маркетинг лекции.docx
#
28.03.20162.5 Mб14Мастер редактирования фото и изображений.pdf
#
09.06.2015782.85 Кб32Мат.+ТКМ+Св.doc
#
09.06.2015150.17 Кб22мат.pdf
#
09.06.20151.39 Mб266Матан. М.В.Ишханян.pdf
#
09.06.2015781.97 Кб20матан.pdf
#
28.03.2016322.44 Кб19Математика КР4,5.pdf
#
19.11.20191.02 Mб5Математика новая.doc
#
09.06.20151.98 Mб285Математика ответы на билеты(1курс).docx
#
09.06.20151.05 Mб12Математика работа 1.pdf